算術四面体からトリボナッチ数列を作る
トリボナッチ数列とは
以下の漸化式で定義される数列をトリボナッチ数列$(T_n)$という。
$$
T_0=T_1=0,\ T_2=1,\ T_{n+3}=T_{n+2}+T_{n+1}+T_n
$$
見ればわかる通り、フィボナッチ数列が隣接二項の和をとったのに対し、トリボナッチ数列は隣接三項の和をとったものになります。具体的に計算すると、$0$, $0$, $1$, $1$, $2$, $4$, $7$, $13,\dots$となります。
また、隣接四項ならテトラナッチ数列、隣接五項ならペンタナッチ数列、$\cdots$のように呼ばれます。
算術四面体からトリボナッチ数列を作る
フィボナッチ数列は算術三角形から作ることができました。これは、フィボナッチ数列の「前の二項を足して次の項とする」性質と、算術三角形の「上の二つを足して下の数にする」性質が似ているためです。
では、トリボナッチ数列が「前の三項を足して次の項とする」性質をもつなら、「上の三つを足して下の数にする」性質を持つものがあればよいのではないでしょうか。そして、算術四面体はこの性質を満たします。（算術四面体については こちら をご覧ください。）
それでは、算術三角形とフィボナッチ数列のときと同様に算術四面体に操作を加えようと思います。算術三角形では直線上に並んでいる数を足しましたが、今度は立体ですので、平面上の数を足すことにします。とはいえ、空間図形を考えるのは大変なので、各段の断面図で考えようと思います。
まず、各段の縦に並んでいる数を足します。
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\\hline
&&&&1
\end{array}$
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&1&&1&&&\\ \hline
&&&1&1&1&&&
\end{array}$
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&2&&2&&&\\
&&1&&2&&1&&\\ \hline
&&1&2&3&2&1&&
\end{array}$
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&3&&3&&&\\
&&3&&6&&3&&\\
&1&&3&&3&&1&\\ \hline
&1&3&6&7&6&3&1&
\end{array}$
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&4&&4&&&\\
&&6&&12&&6&&\\
&4&&12&&12&&4&\\
1&&4&&6&&4&&1\\ \hline
1&4&10&16&19&16&10&4&1
\end{array}$
そして足した結果を並べてみると、下図のようになります。
$\begin{array}{ccccccccc}
&&&&1&&&&\\
&&&1&1&1&&&\\
&&1&2&3&2&1&&\\
&1&3&6&7&6&3&1&\\
1&4&10&16&19&16&10&4&1
\end{array}$
あとはこれを斜めにして足すと、トリボナッチ数列が現れます。
$\begin{array}{cccccccc}
1\\
&1&1&1\\
&&1&2&3&2\\
&&&1&3&6\\
&&&&1&4\\
&&&&&1\\ \hline
1&1&2&4&7&13
\end{array}$
