eの定義

まず、$1$と$2$の同値性を示そう。$2\Rightarrow 1$は明らかなので、$1\Rightarrow 2$を示す。
正の実数$x$に対し、以下の不等式が成り立つ。
$${(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })}^{\lfloor x\rfloor +1}<{(1+\frac{1}{x})}^x<{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor +1})}^{\lfloor x\rfloor }$$
ここで、左辺について$x\to \mathrm{\infty }$の極限をとると、
$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })}^{\lfloor x\rfloor +1}& =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })}^{\lfloor x\rfloor }(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor })\\ & =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n(1+\frac{1}{n})\\ & =& e\cdot 1\\ & =& e\end{array}$$
また、右辺について、同様に極限をとると、
$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor +1})}^{\lfloor x\rfloor }& =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor +1})}^{\lfloor x\rfloor +1}\frac{1}{(1+\frac{1}{\lfloor x\rfloor +1})}\\ & =& \frac{e}{1}\\ & =& e\end{array}$$
よって、$1\iff 2$が示された。

まず、$3$を用いて$5$を示す。$5$において、$e^x-1=t$とおくと、
$$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}& =& \underset{t\to 0}{lim}\frac{t}{{\log }_e(1+t)}\\ & =& \underset{t\to 0}{lim}\frac{1}{{\log }_e(1+t{)}^{\frac{1}{t}}}\\ & =& 1\end{array}$$
また、逆の操作を行えば、$5\Rightarrow 3$が示せる。よって、$3\iff 5$が示された。

まず、$5\Rightarrow 6$を示す。微分係数の定義より、$e^x$を微分すると、
$$\begin{array}{rcl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}& =& e^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{e^h-1}{h}\\ & =& e^x\end{array}$$
これは指数関数であるので、$5\Rightarrow 6$が示された。
次に、$6\Rightarrow 5$を示す。
定義における微分方程式において、$1$でない正の定数$a$に対し、
$$y=a^x$$
とおく。微分係数の定義に従ってこれを微分すると、
$$\begin{array}{rcl}{y}^{\prime }& =& \underset{h\to 0}{lim}\frac{a^{x+h}-a^x}{h}\\ & =& a^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}\end{array}$$
これと定義から、
$$y^{\prime }=a^x\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=a^x=y$$
なので、
$$\underset{h\to 0}{lim}\frac{a^h-1}{h}=1$$
であり、$6\Rightarrow 5$が示された。よって、$5\iff 6$。

まず、$6\Rightarrow 4$を示す。先ほどの証明から、定義$6$を満たす指数関数の底を$e$とおくと、$y=e^x$は無限回微分可能であり、かつ区間$[-\mathrm{\infty },R]$上で有界である。ここで$R$は任意の実数である。原点周りでテイラー展開すると、
$$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$
であり、$x=1$とすると、
$$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$$
よって、$6\Rightarrow 4$が示された。
次に、$4\Rightarrow 6$を示す。まず、$4$における級数の母関数は、
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$
である。ダランベールの収束判定法からこの級数の収束半径は$\mathrm{\infty }$であり、任意の正の実数$R$を与えたときに区間$[-R,R]$で一様収束するので、
$$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}$$
とおけば、
$$\begin{gathered} y=y^{\prime } \\ y(0)=1 \end{gathered}$$
を満たす。よって$4\Rightarrow 6$が示される。よって、$6\iff 4$。

$$a_n={(1+\frac{1}{n})}^n$$
とおき、この数列が単調増加かつ上に有界であることを示す。まず、単調増加であることを示す。
$n$個の$\frac{n+1}{n}$と$1$個の$n$に相加相乗平均の不等式を用いると、

$$\frac{\frac{n+1}{n}\cdot n+1}{n+1}>\sqrt[n+1]{{\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n}$$
両辺$n+1$乗して整理すれば、
$$a_{n+1}>a_n$$
が得られる。
次に、上に有界であることを示す。二項係数を
$$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$
と定め、二項定理を用いて$\{a_n\}$を展開すると、
$$\begin{array}{rcl}{a}_n& =& {(1+\frac{1}{n})}^n\\ & =& \sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{n^k}\\ & =& \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{n^k}n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)\\ & =& \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots \frac{n-k+1}{n}\\ & =& \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}1\cdot (1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})\cdots (1-\frac{k-1}{n})\\ & \le & \sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\\ & \le & 1+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k}\\ & \le & 1+\frac{1}{1-\frac{1}{2}}\\ & =& 3\end{array}$$
よって、$\{a_n\}$は上に有界である。
これらの議論から、数列$\{a_n\}$は収束する。