eの定義

まず、$1$と$2$の同値性を示そう。$2\Rightarrow1$は明らかなので、$1\Rightarrow2$を示す。
正の実数$x$に対し、以下の不等式が成り立つ。
$$ \left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor+1}<\left(1+\frac1x\right)^x<\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor +1}\right)^{\lfloor x \rfloor} $$
ここで、左辺について$x\to\infty$の極限をとると、
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor+1} &=&\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right)^{\lfloor x \rfloor}\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor}\right) \\ &=&\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n\left(1+\frac1n\right) \\ &=&e\cdot1 \\ &=&e \end{eqnarray*}
また、右辺について、同様に極限をとると、
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor +1}\right)^{\lfloor x \rfloor}&=&\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor +1}\right)^{\lfloor x \rfloor+1}\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\lfloor x \rfloor +1}\right)} \\ &=&\frac{e}{1} \\ &=&e \end{eqnarray*}
よって、$1\Leftrightarrow2$が示された。

まず、$3$を用いて$5$を示す。$5$において、$e^x-1=t$とおくと、
\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}&=&\lim_{t\to 0}\frac{t}{\log_e(1+t)} \\ &=&\lim_{t\to0}\frac{1}{\log_e(1+t)^{\frac1t}} \\ &=&1 \end{eqnarray*}
また、逆の操作を行えば、$5\Rightarrow3$が示せる。よって、$3\Leftrightarrow5$が示された。

まず、$5\Rightarrow6$を示す。微分係数の定義より、$e^x$を微分すると、
\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h}&=&e^x\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h} \\ &=&e^x \end{eqnarray*}
これは指数関数であるので、$5\Rightarrow6$が示された。
次に、$6\Rightarrow5$を示す。
定義における微分方程式において、$1$でない正の定数$a$に対し、
$$ y=a^x $$
とおく。微分係数の定義に従ってこれを微分すると、
\begin{eqnarray*} y'&=&\lim_{h\to0}\frac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &=&a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h} \\ \end{eqnarray*}
これと定義から、
$$ y'=a^x\lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=a^x=y $$
なので、
$$ \lim_{h\to0}\frac{a^h-1}{h}=1 $$
であり、$6\Rightarrow5$が示された。よって、$5\Leftrightarrow6$。

まず、$6\Rightarrow4$を示す。先ほどの証明から、定義$6$を満たす指数関数の底を$e$とおくと、$y=e^x$は無限回微分可能であり、かつ区間$[-\infty,R]$上で有界である。ここで$R$は任意の実数である。原点周りでテイラー展開すると、
$$ e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
であり、$x=1$とすると、
$$ e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} $$
よって、$6\Rightarrow4$が示された。
次に、$4\Rightarrow6$を示す。まず、$4$における級数の母関数は、
$$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
である。ダランベールの収束判定法からこの級数の収束半径は$\infty$であり、任意の正の実数$R$を与えたときに区間$[-R,R]$で一様収束するので、
$$ y=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} $$
とおけば、
$$ y=y'　\\ y(0)=1 $$
を満たす。よって$4\Rightarrow6$が示される。よって、$6\Leftrightarrow4$。

$$ a_n=\left(1+\frac1n\right)^n $$
とおき、この数列が単調増加かつ上に有界であることを示す。まず、単調増加であることを示す。
$n$個の$\frac{n+1}{n}$と$1$個の$n$に相加相乗平均の不等式を用いると、

$$ \frac{\frac{n+1}{n}\cdot n+1}{n+1}>\sqrt[n+1]{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} $$
両辺$n+1$乗して整理すれば、
$$ a_{n+1}>a_n $$
が得られる。
次に、上に有界であることを示す。二項係数を
$$ \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$
と定め、二項定理を用いて$\{a_n\}$を展開すると、
\begin{eqnarray*} a_n&=&\left(1+\frac1n\right)^n \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{1}{n^k}n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1) \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\frac{n}{n}\frac{n-1}{n}\frac{n-2}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n} \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}1\cdot\left(1-\frac1n\right)\left(1-\frac2n\right) \cdots \left(1-\frac{k-1}{n}\right) \\ &\leq&\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} \\ &\leq&1+\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{2^k} \\ &\leq&1+\frac{1}{1-\frac12} \\ &=&3 \end{eqnarray*}
よって、$\{a_n\}$は上に有界である。
これらの議論から、数列$\{a_n\}$は収束する。