平坦加群であるが射影加群ではない例
以下、$R$を環とする。
$M$は射影加群であるとは、任意の$R$加群の完全列$\begin{CD}
0@>{}>> X @>{f}>> Y @>{g}>> Z @>{}>>0\\
\end{CD}$
について、
$\begin{CD}
0@>{}>> {\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}_R(M,X) @>{{\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}(M,f)}>> {\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}_R(M,Y) @>{{\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}(M,g)}>> {\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}_R(M,Z) @>{}>>0\\
\end{CD}$
が完全列であるということである。
${\mathop{\mathrm{Hom}}\nolimits}$は左完全なので右側の$0$が重要である。
$R$加群$M$について次の2条件は同値である。
①$M$は射影加群である。
②$M$は自由加群の直和因子になる。すなわち、ある$R$加群$X$が存在して、$P\oplus X =\bigoplus M$となる。
右$R$加群$M$は平坦加群であるとは、任意の$R$加群の完全列$\begin{CD}
0@>{}>> X @>{f}>> Y @>{g}>> Z @>{}>>0\\
\end{CD}$
について、
$\begin{CD}
0@>{}>> M \otimes_{R} X @> M \otimes f >> M \otimes_{R} Y @>M \otimes g >> M\otimes_{R} Z @>{}>>0\\
\end{CD}$
が完全列であるということである。
$\otimes$は右完全なので左側の$0$が重要である
右$R$加群$M$について次の2条件は同値である。
①$M$は平坦加群である。
②$R$の任意の左ideal$L$について、$M \otimes_{R} L \ni m \otimes l \mapsto ml \in ML $は同型である。
②の写像は全射準同型なので単射であることが重要である。
実は非常に重要なことが知られている。
自由加群は射影加群であり、射影加群は平坦加群である。
自由加群が射影加群であることは命題1よりわかる。射影加群が平坦加群であることを示すのは少し手間がかかったりするので省略する。(命題2を示す過程で射影加群が平坦加群でもある事実が導かれる。)
$\mathbb{Q}$は$\mathbb{Z}$加群として平坦加群ではある。しかし、射影加群ではない。
$\mathbb{Z}$の任意の左idealはある整数$n$を用いて$\mathbb{Z}n$とかける。$\mathbb{Z}n \otimes \mathbb{Q} \ni mn \otimes a/b \mapsto mna/b \in \mathbb{Q}$が単射であることを示せばよい。
(ただし、上の表示においては$a$と$b$は互いに素で$b>0$である。)
$mna/b=m'na'/b'$とすると$ab'm=a'bm'$となる。$m$や$m'$が$0$であれば$mn \otimes a/b =m'n \otimes a'/b'=0$となる。よって$m,m' \neq 0$であるとしてよい。
$a$と$b$と互いに素であるから$mb'=bk,m'b'=ak$となるような$k \in \mathbb{Z}$が存在する。
$m'n \otimes (a'/b')=m'n \otimes (am/bm')=mn \otimes (a/b)$となり単射性が分かる。
よって、$\mathbb{Q}$は平坦加群である。$\mathbb{Q}$が射影加群であると仮定する。
ある$\mathbb{Z}$加群$X$が存在して$\mathbb{Q} \oplus X=\bigoplus \mathbb{Z}$となる。
$(1,0) =(a_1, \dots ,a_n, \dots )$となる。任意の$0$でない整数$m$
について$(a_1/m, \dots ,a_n/m, \dots )=(1/m,0) \in \mathbb{Q} \oplus X=\bigoplus \mathbb{Z}$となる。つまり$a_1, \dots ,a_n$は任意の$0$でない整数$m$で割り切れることになり$a_1= \dots a_n =0$となる。これは明らかに矛盾である。
参考
『環と加群のホモロジー代数的理論』(岩永,佐藤)(日本評論社)