3乗根定理と4乗根定理

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整数の3乗根とか4乗根が存在するための条件の話。平方剰余というのがある。奇素数 $p$ に対し、 $1, 2, \dots, p - 1$ の中にはモジュロ $p$ で平方数に等しいものが半分、そうでないものが半分入ってる。それを判定する相互法則というのがあったりする。相互法則は3乗や4乗のものもある。そんな感じ。

3乗根定理

2の3乗根定理

$p$ は3で割って1余る素数とする。このとき、
$\exists x \in Z x^{3} \equiv 2 \mod p \Leftrightarrow \exists A, B \in Z p = A^{2} + 27 B^{2} .$

2の3乗根定理

具体例。
$31 = 2^{2} + 27 \cdot 1^{2}, 43 = 4^{2} + 27 \cdot 1^{2}, 109 = 1^{2} + 27 \cdot 2^{2} .$
2の3乗根。
$4^{3} \equiv 2 \mod 31, 20^{3} \equiv 2 \mod 43, 57^{3} \equiv 2 \mod 109.$

3の3乗根定理

$p$ は3で割って1余る素数とする。このとき、
$\exists x \in Z x^{3} \equiv 3 \mod p \Leftrightarrow \exists A, B \in Z 4 p = A^{2} + 243 B^{2} .$

3の3乗根定理

具体例。
$4 \cdot 61 = 1^{2} + 243 \cdot 1^{2}, 4 \cdot 73 = 5^{2} + 243 \cdot 1^{2}, 4 \cdot 193 = 23^{2} + 243 \cdot 1^{2} .$
3の3乗根。
$4^{3} \equiv 3 \mod 61, 25^{3} \equiv 3 \mod 73, 48^{3} \equiv 3 \mod 193.$

5と7の3乗根はちょっと混み入っている。

5の3乗根定理

$p$ は3で割って1余る素数とする。このとき、 $x^{3} \equiv 5 \mod p$ を満たす整数 $x$ が存在するためには、 $p$ がある整数 $A, B$ を用いて次の形で書けることが必要かつ十分である。
$4 p = A^{2} + 25 \cdot 27 B^{2} または 4 p = 25 A^{2} + 27 B^{2} .$

5の3乗根定理

具体例。
$4 \cdot 13 = 25 \cdot 1^{2} + 27 \cdot 1^{2}, 4 \cdot 181 = 7^{2} + 25 \cdot 27 \cdot 1^{2} .$
5の3乗根。
$8^{3} \equiv 5 \mod 13, 102^{3} \equiv 5 \mod 181.$

7の3乗根定理

$p$ は3で割って1余る素数とする。このとき、 $x^{3} \equiv 7 \mod p$ を満たす整数 $x$ が存在するためには、 $p$ がある整数 $A, B$ を用いて次の形で書けることが必要かつ十分である。
$4 p = A^{2} + 49 \cdot 27 B^{2} または 4 p = 49 A^{2} + 27 B^{2} .$

7の3乗根定理

具体例。
$4 \cdot 19 = 49 \cdot 1^{2} + 27 \cdot 1^{2}, 4 \cdot 73 = 49 \cdot 1^{2} + 27 \cdot 3^{2} .$
7の3乗根。
$4^{3} \equiv 7 \mod 19, 31^{3} \equiv 7 \mod 73.$
もうちょっとだけ。
$4 \cdot 181 = 49 \cdot 1^{2} + 27 \cdot 5^{2}, 4 \cdot 331 = 1^{2} + 49 \cdot 27 \cdot 1^{2} .$
7の3乗根。
$32^{3} \equiv 7 \mod 181, 10^{3} \equiv 7 \mod 331.$

4乗根定理

2の4乗根定理

$p$ は4で割って1余る素数とする。このとき、
$\exists x \in Z x^{4} \equiv 2 \mod p \Leftrightarrow \exists A, B \in Z p = A^{2} + 64 B^{2} .$

2の4乗根定理

具体例。
$73 = 3^{2} + 64 \cdot 1^{2}, 89 = 5^{2} + 64 \cdot 1^{2}, 113 = 7^{2} + 64 \cdot 1^{2} .$
2の4乗根。
$25^{4} \equiv 2 \mod 73, 8^{4} \equiv 2 \mod 89, 27^{4} \equiv 2 \mod 113.$

3の4乗根定理

$p$ は4で割って1余る素数とする。このとき、 $x^{4} \equiv 3 \mod p$ を満たす整数 $x$ があるためには、 $p$ が次のいずれかの条件を満たすことが必要かつ十分である。
$(1) : p \equiv 1 \mod 8 かつ \exists A, B \in Z p = A^{2} + 36 B^{2} .$
$(2) : p \equiv 5 \mod 8 かつ \exists A, B \in Z p = 9 A^{2} + 4 B^{2} .$

3の4乗根定理

$(1)$ の例。
$p = 193 = 7^{2} + 36 \cdot 2^{2}, 20^{4} \equiv 3 \mod 193.$
$(2)$ の例を3つほど。
$13 = 9 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1^{2}, 109 = 9 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 5^{2}, 181 = 9 \cdot 3^{2} + 4 \cdot 5^{2} .$
181何回も出てくるけど、この数が特殊なだけでバグではないです。
$2^{4} \equiv 3 \mod 13, 7^{4} \equiv 3 \mod 109, 24^{4} \equiv 3 \mod 181.$

5の4乗根定理

$p$ は4で割って1余る素数とする。このとき、
$\exists x \in Z x^{4} \equiv 5 \mod p \Leftrightarrow \exists A, B \in Z p = A^{2} + 100 B^{2} .$

5の4乗根定理

具体例。
$101 = 1^{2} + 100 \cdot 1^{2}, 109 = 3^{2} + 100 \cdot 1^{2}, 149 = 7^{2} + 100 \cdot 1^{2} .$
5の4乗根。
$64^{4} \equiv 5 \mod 101, 81^{4} \equiv 5 \mod 109, 51^{4} \equiv 5 \mod 149.$

7の4乗根定理

$p$ は4で割って1余る素数とする。このとき、 $x^{4} \equiv 7 \mod p$ を満たす整数 $x$ があるためには、 $p$ が次のいずれかの条件を満たすことが必要かつ十分である。
$(1) : p \equiv 1 \mod 8 かつ \exists A, B \in Z p = A^{2} + 49 B^{2} .$
$(2) : p \equiv 5 \mod 8 かつ \exists A, B \in Z 2 p = A^{2} + 49 B^{2} .$

7の4乗根定理

$(1)$ の例から。
$113 = 8^{2} + 49 \cdot 1^{2}, 193 = 12^{2} + 49 \cdot 1^{2} .$
7の4乗根。
$9^{4} \equiv 7 \mod 113, 32^{4} \equiv 7 \mod 193.$
$(2)$ の例。
$2 \cdot 29 = 3^{2} + 49 \cdot 1^{2}, 2 \cdot 109 = 13^{2} + 49 \cdot 1^{2} .$
7の4乗根。
$8^{4} \equiv 7 \mod 29, 48^{4} \equiv 7 \mod 109.$

ガウス和とかヤコビ和とか使って証明されるんだけど長すぎてここには書けないので参考文献だけ。
　参考文献：A Classical Introduction to Modern Number Theory, Kenneth Ireland, Michael Rosen. Springer Verlag, 1990. 2nd Edition.
整数論について色々書いてある本で、第9章だと思う、3次と4次の相互法則が載っててそこら辺参考にして自分でいろいろ計算して出した気がする。懐かしい・・。

投稿日：2020年11月16日

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黒狐

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