相関係数の絶対値が1以下であることの証明

目標・方針

相関係数$r$が$-1\le r\le 1$を満たすことを示す。
そのために、コーシーシュワルツの不等式、
$(\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)\ge (\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2$
を示す。

定義

$A=:B$はAはBによって定義されることを表す
$(x_i,y_i)$の組がn個あるとする
$r=:\frac{Cov(X,Y)}{{\sigma }_x{\sigma }_y}$
${\mu }_x=:\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$
${\sigma }_x=:\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2}$
$Cov(X,Y)=:\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y)$

コーシーシュワルツの不等式

$(\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)\ge (\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2$
これを示す。以下、$\sum$は特に断りの無い限り$\sum _{i=1}^n$を表し、明らかな場合には添字を省略する。
まず、2次関数$f(t)=:\sum (at-b{)}^2$を考える。
この右辺は負にならないから、$f(t)=0$の解は高々1つである。
すなわち、この2次関数の判別式を$D$と置くと$D\le 0$となる。
さて、$f(t)$を展開して標準形に書き直すと、$f(t)=\sum a^{2}t-2abt+b^2$となる。ここで$\sum$の影響を受けるのは$a,b$であるから整理して
$f(t)=(\sum a^2)t^2-2(\sum ab)t+(\sum b^2)$
1次の係数が$2n$の形をしているので$\frac{D}{4}$を用いる。
$\frac{D}{4}=(\sum ab{)}^2-(\sum a^2)(\sum b^2)\le 0$
故に、$(\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)\ge (\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2$
(省略していた添字をもとに戻したことに注意。)
証明終

相関係数の絶対値が1以下であることの証明

先程示した$(\sum _{i=1}^n{a}_i^2)(\sum _{i=1}^n{b}_i^2)\ge (\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i{)}^2$を用いる。
$\begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{a}_i=x_i-{\mu }_x\\ b_i=y_i-{\mu }_y\end{array}\end{array}$
を代入し、左辺で両辺を割ると
$1\ge \frac{(\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y){)}^2}{(\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2)(\sum _{i=1}^n(y_i-{\mu }_y{)}^2)}$
また、右辺の分子分母を$\frac{1}{n^2}$倍すると
$1\ge \frac{(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x)(y_i-{\mu }_y){)}^2}{(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-{\mu }_x{)}^2)(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(y_i-{\mu }_y{)}^2)}$
となる。これと定義を比較すると
$1\ge \frac{Cov(X,Y{)}^2}{{\sigma }_x^2{\sigma }_y^2}$
つまり
$1\ge r^2$
よって
$-1\le r\le 1$
証明終

いかがでしたか?

調べて見ましたがよくわかりませんでした。
$TeX$初心者なので許してください。