5

積分解説15

53
0
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/16に出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/677

$$ \displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx\\ &=&\frac14\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log(1-\sin^2x)}{\sin^2x}2\sin x\cos xdx\\ &=&\frac14\int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}dt~~~~~~~~~~(t=\sin^2x)\\ &=&-\frac14\int_0^1\frac1t\sum_{k=1}^\infty \frac{t^k}k\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\int_0^1 t^{k-1}dt\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\left[\frac1kt^k\right]_0^1\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\\ &=&-\frac{\pi^2}{24} \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle -\frac{\pi^2}{24}$となります。

投稿日:20201117

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
475
12716
遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中