積分解説15

2020/11/16に出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/677

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx\\ &=&\frac14\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log(1-\sin^2x)}{\sin^2x}2\sin x\cos xdx\\ &=&\frac14\int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}dt~~~~~~~~~~(t=\sin^2x)\\ &=&-\frac14\int_0^1\frac1t\sum_{k=1}^\infty \frac{t^k}k\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\int_0^1 t^{k-1}dt\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\left[\frac1kt^k\right]_0^1\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\\ &=&-\frac{\pi^2}{24} \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle -\frac{\pi^2}{24}$となります。