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解説大学数学以上
積分解説15
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{d}[0]{\displaystyle}
\newcommand{f}[0]{<}
\newcommand{l}[0]{\left(}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{r}[0]{\right)}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha}
\newcommand{v}[0]{\varnothing}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{z}[0]{\zeta}
$$
2020/11/16に出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/677
$$ \displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx $$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log\cos x}{\tan x}dx\\ &=&\frac14\int_0^{\frac\pi2}\frac{\log(1-\sin^2x)}{\sin^2x}2\sin x\cos xdx\\ &=&\frac14\int_0^1 \frac{\log(1-t)}{t}dt~~~~~~~~~~(t=\sin^2x)\\ &=&-\frac14\int_0^1\frac1t\sum_{k=1}^\infty \frac{t^k}k\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\int_0^1 t^{k-1}dt\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1k\left[\frac1kt^k\right]_0^1\\ &=&-\frac14\sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2}\\ &=&-\frac{\pi^2}{24} \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle -\frac{\pi^2}{24}$となります。
投稿日：2020年11月17日
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