大学数学基礎解説

文献あり

確率空間における平均収束とノルム，そしてL^p空間

確率論,解析学

1237

概要

本稿では，確率論の記法を用いて「平均収束」や「 $L^{p}$ 空間」について述べます．ただし，個人的な学習のメモなので，内容が体系的ではないことに注意してください．

$L^{p}$ 半ノルム

以下，確率空間 $(Ω, F, P)$ 上の確率変数 $X$ および確率変数列 $(X_{n} : n \geq 1)$ を考える．

L^{p}

空間

$1 \leq p < \infty$ に対して， $E (| X |^{p}) < \infty$ であることを $X \in L^{p}$ と表す．

$L^{p}$ は線形空間である．

$a, b \in R$ および $X, Y \in L^{p}$ に対して $a X + b Y \in L^{p}$ であることを示せばよい．

$s, t \geq 0$ に対して $(s + t)^{p} \leq (2 max {s, t})^{p} \leq 2^{p} (s^{p} + t^{p})$ が成り立つ．実際，最初の不等号は $s + t \leq 2 max {s, t}$ であることからわかり，2番目の不等号は $s^{p} \leq s^{p} + t^{p}$ ， $t^{p} \leq s^{p} + t^{p}$ より $max {s, t}^{p} = max {s^{p}, t^{p}} \leq s^{p} + t^{p}$ であることからわかる．
三角不等式と1より $| a X + b Y |^{p} \leq (| a | | X | + | b | | Y |)^{p} \leq 2^{p} (| a |^{p} | X |^{p} + | b |^{p} | Y |^{p})$ であるから $E (| a X + b Y |^{p}) \leq 2^{p} E (| a |^{p} | X |^{p} + | b |^{p} | Y |^{p}) = 2^{p} {| a |^{p} E (| X |^{p}) + | b |^{p} E (| Y |^{p})} < \infty$ となり， $a X + b Y \in L^{p}$ であることが従う．

以上より， $L^{p}$ は線形空間である．

$X \in L^{p}$ に対して $∥ X ∥_{p} := E (| X |^{p})^{1 / p}$ と定める．

$∥ \cdot ∥_{p}$ は $L^{p}$ 上の半ノルムである．

$∥ \cdot ∥_{p}$ が半ノルムの定義を満たすことを示す．

$a \in R$ と $X \in L^{p}$ に対して， $∥ a X ∥_{p} = E (| a X |^{p})^{1 / p} = E (| a |^{p} | X |^{p})^{1 / p} = {| a |^{p} E (| X |^{p})}^{1 / p} = | a | E (| X |^{p})^{1 / p} = | a | ∥ X ∥_{p}$ となる．
$X, Y \in L^{p}$ に対して，Minkowskiの不等式より $∥ X + Y ∥_{p} \leq ∥ X ∥_{p} + ∥ Y ∥_{p}$ が成り立つ．

以上より， $∥ \cdot ∥_{p}$ は $L^{p}$ 上の半ノルムである．

半ノルムの連続性

$X, Y \in L^{p}$ に対して $| ∥ X ∥_{p} - ∥ Y ∥_{p} | \leq ∥ X - Y ∥_{p}$ が成り立つ．

Minkowskiの不等式より $∥ X ∥_{p} = ∥ (X - Y) + Y ∥_{p} \leq ∥ X - Y ∥_{p} + ∥ Y ∥_{p}$ すなわち $∥ X ∥_{p} - ∥ Y ∥_{p} \leq ∥ X - Y ∥_{p}$ ， $∥ Y ∥_{p} = ∥ (Y - X) + X ∥_{p} \leq ∥ Y - X ∥_{p} + ∥ X ∥_{p} = ∥ X - Y ∥_{p} + ∥ X ∥_{p}$ すなわち $∥ Y ∥_{p} - ∥ X ∥_{p} \leq ∥ X - Y ∥_{p}$ である．従って $| ∥ X ∥_{p} - ∥ Y ∥_{p} | \leq ∥ X - Y ∥_{p}$ が成り立つ．

平均収束

p

次平均収束

$L^{p}$ の元の列 $(X_{n} : n \geq 1)$ および $X \in L^{p}$ に対して， $X_{n}$ が $X$ に $p$ 次平均収束するとは
$lim_{n \to \infty} ∥ X_{n} - X ∥_{p} = 0 すなわち lim_{n \to \infty} E (| X_{n} - X |^{p}) = 0$ であることをいい，このことを $X_{n} \to X$ in $L^{p}$ と書く．

$X_{n} \to X$ in $L^{p}$ ならば $E (| X_{n} |^{p})$ は $E (| X |^{p})$ に収束する．

命題3より $| ∥ X_{n} ∥_{p} - ∥ X ∥_{p} | \leq ∥ X_{n} - X ∥_{p}$ が成り立つ．よって $X_{n} \to X$ in $L^{p}$ より $∥ X_{n} ∥_{p}$ は $∥ X ∥_{p}$ に収束する．従って， $E (| X_{n} |^{p})$ は $E (| X |^{p})$ に収束する．

$L^{p}$ 空間

$N = {X \in L^{p} : P (X = 0) = 1}$ とおく．

L^{p}

空間

$L^{p} := L^{p} / N$ と定め， $X \in L^{p}$ の同値類を $[X]_{p}$ と書く．

$L^{p}$ は $X \sim Y \Leftrightarrow X - Y \in N$ によって定義される $L^{p}$ 上の二項関係 $\sim$ による商空間である．すなわち， $L^{p}$ のほとんど確実に等しい元を同一視した空間が $L^{p}$ である．

$L^{p}$ は線形演算について閉じている．すなわち，次が成り立つ．

$X, Y \in L^{p}$ に対して $[X]_{p} + [Y]_{p} = [X + Y]_{p}$ である．ただし，左辺の集合を次のように定義する．
$$[X]_p+[Y]_p:={\tilde{X}+\tilde{Y}:\tilde{X}\in[X]_p, \tilde{Y}\in[Y]_p}$$
$a \in R$ ， $X \in L^{p}$ に対して $a [X]_{p} = [a X]_{p}$ である．ただし，左辺の集合を次のように定義する． $a [X]_{p} := {\begin{cases} {a \tilde{X} : \tilde{X} \in [X]_{p}} & (a \neq 0) \\ [0]_{p} & (a = 0) \end{cases}$

以下， $\tilde{X} \in [X]_{p}, \tilde{Y} \in [Y]_{p}, \tilde{W} \in [X + Y]_{p}, \tilde{Z} \in [a X]_{p}$ とする．

$P (\tilde{X} + \tilde{Y} = X + Y) = P (\tilde{X} - X = Y - \tilde{Y}) \geq P (\tilde{X} - X = Y - \tilde{Y} = 0) = 1$ より $\tilde{X} + \tilde{Y} \in [X + Y]_{p}$ である．また， $1 = P (\tilde{W} = X + Y) = P (X = \tilde{W} - Y)$ かつ $\tilde{W} = (\tilde{W} - Y) + Y$ より $\tilde{W} \in [X]_{p} + [Y]_{p}$ である．
- $a \neq 0$ のとき， $P (a \tilde{X} = a X) = P (\tilde{X} = X) = 1$ より $a \tilde{X} \in [a X]_{p}$ である．また， $1 = P (\tilde{Z} = a X) = P (X = a^{- 1} \tilde{Z})$ かつ $\tilde{Z} = a (a^{- 1} \tilde{Z})$ より $\tilde{Z} \in a [X]_{p}$ である．
  - $a = 0$ のときは定義から直ちに従う．

以上より， $L^{p}$ は線形演算について閉じていることがわかる．

$L^{p}$ は線形空間である．

$a, b \in R$ および $[X]_{p}, [Y]_{p} \in L^{p}$ に対して，命題5より $a [X]_{p} + b [Y]_{p} = [a X + b Y]_{p} \in L^{p}$ であるから， $L^{p}$ は線形空間である．

$[X]_{p} \in L^{p}$ に対して $∥ [X]_{p} ∥_{p} := ∥ X ∥_{p}$ と定める． $∥ [X]_{p} ∥_{p}$ はwell-definedである．

well-definedness

任意の $\tilde{X} \in [X]_{p}$ に対して， $P (\tilde{X} = X) = 1$ より $∥ \tilde{X} ∥_{p} = E (| \tilde{X} |^{p})^{1 / p} = E (| X |^{p})^{1 / p} = ∥ X ∥_{p}$ であることからわかる．

$∥ \cdot ∥_{p}$ は $L^{p}$ 上のノルムである．

$∥ \cdot ∥_{p}$ がノルムの定義を満たすことを示す．

$∥ [0]_{p} ∥_{p} = ∥ 0 ∥_{p} = E (| 0 |^{p})^{1 / p} = 0$ である．逆に $[X]_{p} \neq [0]_{p}$ のとき， $P (X \neq 0) > 0$ より $∥ [X]_{p} ∥_{p} = ∥ X ∥_{p} > 0$ すなわち $∥ [X] ∥_{p} \neq 0$ である．よって $∥ [X]_{p} ∥_{p} = 0$ ならば $[X]_{p} = [0]_{p}$ である．
$a \in R$ と $[X]_{p} \in L^{p}$ に対して， $∥ a [X]_{p} ∥_{p} = ∥ [a X]_{p} ∥_{p} = ∥ a X ∥_{p} = | a | ∥ X ∥_{p} = | a | ∥ [X]_{p} ∥_{p}$ となる．
$[X]_{p}, [Y]_{p} \in L^{p}$ に対して， $∥ [X]_{p} + [Y]_{p} ∥_{p} = ∥ [X + Y]_{p} ∥_{p} = ∥ X + Y ∥_{p} \leq ∥ X ∥_{p} + ∥ Y ∥_{p} = ∥ [X]_{p} ∥_{p} + ∥ [Y]_{p} ∥_{p}$ となる．

以上より， $∥ \cdot ∥_{p}$ は $L^{p}$ 上のノルムである．

写像 $d : L^{p} \times L^{p} \to R$ を $d ([X]_{p}, [Y]_{p}) := ∥ X - Y ∥_{p}$ で定める．

$d$ は $L^{p}$ 上の距離である．

$d$ が距離の定義を満たすことを示す．

定義より $d ([X]_{p}, [Y]_{p}) \geq 0$ ， $d ([X]_{p}, [X]_{p}) = 0$ である． $d ([X]_{p}, [Y]_{p}) = 0$ のとき， $∥ X - Y ∥_{p} = 0$ より $P (X = Y) = 1$ であるから $[X]_{p} = [Y]_{p}$ となる．
$d ([X]_{p}, [Y]_{p}) = ∥ X - Y ∥_{p} = ∥ Y - X ∥_{p} = d ([Y]_{p}, [X]_{p})$ である．
$d ([X]_{p}, [Y]_{p}) + d ([Y]_{p}, [Z]_{p}) = ∥ X - Y ∥_{p} + ∥ Y - Z ∥_{p} \geq ∥ (X - Y) + (Y - Z) ∥_{p} = ∥ X - Z ∥_{p} = d ([X]_{p}, [Z]_{p})$ である．

以上より， $d$ は $L^{p}$ 上の距離である．

命題3が(半)ノルムの連続性と呼ばれる理由は次の命題である．

写像 $∥ \cdot ∥_{p} : (L^{p}, d) \to (R, | \cdot |)$ は連続である．

任意の $ε > 0$ に対して $δ = ε$ とおけば， $d ([X]_{p}, [Y]_{p}) < δ$ を満たす $[X]_{p}, [Y]_{p} \in L^{p}$ に対して，命題3より $| ∥ [X]_{p} ∥_{p} - ∥ [Y]_{p} ∥_{p} | = | ∥ X ∥_{p} - ∥ Y ∥_{p} | \leq ∥ X - Y ∥_{p} = d ([X]_{p}, [Y]_{p}) < δ = ε$ すなわち $| ∥ [X]_{p} ∥_{p} - ∥ [Y]_{p} ∥_{p} | < ε$ となる．従って，写像 $∥ \cdot ∥_{p} : (L^{p}, d) \to (R, | \cdot |)$ は連続である．

参考文献

[1]

David Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991

[2]

谷島賢二, ルベーグ積分と関数解析, 朝倉書店, 2015

投稿日：2020年11月17日

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