有限表示加群の圏がアーベル圏になることと弱核の存在との同値性（ネーター環・連接環の一般化）

$\mod\CC$がアーベル圏とし、任意に$\mod\CC$での射$M \xrightarrow{\varphi} N$を取る。このとき、$\mod\CC$がアーベル圏だったことから$\mod\CC$での完全列
\begin{CD} 0 @>>> K @>{\iota}>> M @>{\varphi}>> N \end{CD}
が存在する。このとき、上が実は$\Mod\CC$で完全になっていることを確かめれば、$\mod\CC$が核で閉じていることが従う。

実際、$\Mod\CC$で完全であることを確かめるには、各対象$C \in \CC$を代入して完全ならよい。対象$C \in \CC$を取ると、鍵は$\CC(-,C) \in \mod\CC$なことである。よって$\mod\CC$での核の普遍性により次の完全列が得られるが、米田で言い換えられる：
\begin{CD} 0 @>>> \Hom_\CC(\CC(-,C),K) @>{\iota}>> \Hom_\CC(\CC(-,C),M) @>{\varphi}>> \Hom_\CC(\CC(-,C),N ) \\ @. @V{\sim}VV @V{\sim}VV @V{\sim}VV \\ 0 @>>>K(C) @>{\iota}>> M(C) @>{\varphi}>> N(C) \end{CD}
ここで$\CC$加群の準同型の集合（つまり$\Mod\CC$での射）のことを$\Hom_\CC$と書いている。これはまさしく「$C$を代入して完全」を意味するので、一番最初の図式は実は$\Mod\CC$で完全である。よって示された。

主張は、有限表示右$\CC$加群の射$\varphi \colon M \to N$が与えられたとき、$\coker \varphi$が有限表示ならよい。実際、有限表示$\CC(-,A) \to \CC(-,B) \to M \to 0$と$\CC(-,C) \to \CC(-,D) \to N \to 0$が取れるが、射影分解についての標準的な議論により$\varphi \colon M \to N$は次のようにliftできる：
\begin{CD} \CC(-,A) @>>> \CC(-,B) @>>> M @>>> 0 \\ @VVV @VVV @V{\varphi}VV \\ \CC(-,C) @>>> \CC(-,D) @>>> N @>>> 0 \end{CD}
ここで米田の補題により、左の四角に対応する$\CC$での可換図式
\begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @V{f}VV \\ C @>{g}>> D \end{CD}
が取れることに注意。ここで、これらの射の自然な直和を用いて次の図式が作れる：
\begin{CD} \CC(-,A) @>>> \CC(-,B) @>>> M @>>> 0 \\ @VVV @V{\CC(-,f)}VV @V{\varphi}VV \\ \CC(-,C) @>{\CC(-,g)}>> \CC(-,D) @>>> N @>>> 0 \\ @V{[1_C,0]^t}VV @| @VVV \\ \CC(-,C) \oplus \CC(-,B) @>{[\CC(-,g),\CC(-,f)]}>> \CC(-,D) @>>> W @>>> 0\\ @. @. @VVV\\ @.@.0 \end{CD}
正確に言うと、左下の可換な四角があるが、それの余核を伸ばしたのが$W$である。このとき、右の$M \to N \to W \to 0$が完全であることを確かめれば、$W \cong \coker\varphi$は有限表示となる。がこれは$N$や$W$から元を取って単なるdiagram chaseで分かる。（「$N$から元をとって」diagram chaseができることの正当化は次のようになされる：この図式は関手圏での図式だが、完全性は「各$C \in \CC$を代入して完全か？」で判定できるので、各$C \in \CC$を代入してただのアーベル群の図式だと思ってchaseしているとみなせばよい。）詳しくは単なるdiagram chaseなので読者への演習問題とする。

上の命題3（$\mod\CC$は余核で閉じる）ことと2の仮定から、$\mod\CC$は$\Mod\CC$の中で核を取る操作と余核を取る操作で閉じている。よって$\Mod\CC$がアーベル圏なことから明らかに$\mod\CC$もアーベル圏になる。

$\mod\CC$が$\Mod\CC$の中で核で閉じているとする。このとき$\CC$が弱核を持つことを示す。そのため射$f \colon X \to Y$を任意にとり、米田埋め込みして$\Mod\CC$で核を取ることにより、次の$\Mod\CC$での完全列が得られる：
\begin{CD} 0 @>>> K @>>> \CC(-,X) @>{\CC(-,f)}>> \CC(-,Y) \end{CD}
ここで$\CC(-,X)$と$\CC(-,Y)$は$\mod\CC$に属することから、2の仮定により$K$が有限表示となる。とくに$K$が有限生成なので、ある全射$\CC(-,W) \surj K$が取れるが、これを合成すると$\Mod\CC$の完全列
\begin{CD} \CC(-,W) @>>> \CC(-,X) @>{\CC(-,f)}>> \CC(-,Y) \end{CD}
が得られる。米田により対応する$W \to X$が得られるが、これが$f$の弱核を与えていることが定義により分かる。

$M$から元を取りdiagram chaseで容易に分かる（厳密には先ほどやったように各$\CC$の対象を代入して元を取る、が慣れればあまり気にしなくて良い）ので読者への演習問題とする。

米田により$\CC$での図式
\begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ C @>>> D \end{CD}
が得られる。ここで、$\CC$が弱核を持つので、$\CC$は弱pullbackも持つ（通常の「核を持つ加法圏はpullbackを持つ」ことと同様）。よって次の弱pullback図式が作れる：
\begin{CD} E @>>> B \\ @VVV @VVV \\ C @>>> D \end{CD}
さらに、最初の可換図式と、弱pullbackの普遍性から、$\CC$の射$A \to E$が存在し、次が可換になる：
\begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @| \\ E @>>> B \\ @VVV @VVV \\ C @>>> D \end{CD}
これを米田で埋め込むと、補題に出てくる図式が得られる。ここで$\varphi = \iota\pi$なことは、全射$\CC(-,B) \surj M$を前から合成すれば簡単に分かり、$\pi$が全射なことは、右上の四角形から明らかである。さらに$\iota$が単射なことは、弱pullbackについての先程の補題より得られる。

加法圏$\CC$が弱核を持つとき、$\mod\CC$が核で閉じることを示す。
有限表示加群の間の射$\varphi \colon M \to N$を取ろう。まず上の補題5（$\mod\CC$の射の分解）の主張する図式が作れる：
\begin{CD} \CC(-,A) @>>> \CC(-,B) @>>> M @>>> 0 \\ @VVV @| @V{\pi}VV \\ \CC(-,E) @>>> \CC(-,B) @>>> W @>>> 0 \\ @VVV @VVV @V{\iota}VV \\ \CC(-,C) @>>> \CC(-,D) @>>> N @>>> 0 \end{CD}
ここで$\varphi = \iota\pi$であったことと、$\iota$が単射なことにより、$\varphi$の核は$\pi$の核と一致している。よって$\pi$の核が有限表示ならよいが、次の図式を考える：
\begin{CD} @.@.0\\ @.@.@VVV\\ \CC(-,A) @>>> \CC(-,E) @>>> K @>>> 0 \\ @| @VVV @VVV \\ \CC(-,A) @>>> \CC(-,B) @>>> M @>>> 0 \\ @VVV @| @V{\pi}VV \\ \CC(-,E) @>>> \CC(-,B) @>>> W @>>> 0 \end{CD}
詳しく言うと、新しく出てきた横の射$\CC(-,A)\to \CC(-,E)$は左下の射と同じものであり、それの余核を$K$とおき、縦の$\CC(-,E) \to \CC(-,B)$も一番左下の射として定義すると、左上の四角が可換であることから$K \to M$が誘導される。ここで、縦の列
\begin{CD} 0 @>>> K @>>> M @>{\pi}>> W \end{CD}
が完全であればよいが、これも$K$と$M$から元をとり単なるdiagram chaseで分かる。

3 $\imp$ 2：定理6を認めると、連接加群の圏は有限直和で閉じるので、表現可能関手の有限直和もまた連接であり、さらに連接性が余核でも閉じることから、それらの余核（＝有限表示関手）は連接となる。逆に連接加群は定義からして有限表示である。

2 $\imp$ 1：定理6より明らか。

1 $\imp$ 3：主定理により1は「$\mod\CC$が核で閉じる」と同値だったことに注意。
表現可能関手$\CC(-,Y)$を選び、その有限生成部分加群$M$を取ると、有限生成性より全射
$$ \pi \colon \CC(-,X_1) \oplus\cdots \oplus \CC(-,X_n) \surj M $$
が取れるが、合成$\CC(-,X_1) \oplus \cdots \oplus \CC(-,X_m) \surj M \inj \CC(-,Y)$は$\mod\CC$での射になっている。よってこれの核も有限表示だが、これの核は$\pi$の核と一致している。よって$\ker \pi$が有限生成になるので、これは$M$が有限表示なことを意味する。

1 $\imp$ 4：これは主定理の証明のそんなに大変じゃないとこだったので省略。

4 $\imp$ 3：これが連接性を導入したときの主定理との関係で大事なところである。$\CC$を弱核を持つ加法圏とする。このとき上と同じように表現可能関手$\CC(-,Y)$とその有限生成部分加群$M$を取ると、有限生成性より次の分解が得られる：
$$ \CC(-,X_1) \oplus\cdots \oplus \CC(-,X_n) \surj M \inj \CC(-,Y) $$
ここで$\CC$が加法圏なので、一番左は$\CC(-,X_1 \oplus \cdots \oplus X_n)$と同一視でき、合成$\CC(-,X_1 \oplus \cdots \oplus X_n) \to \CC(-,Y)$に対応する射が米田により$\CC$で取れる。あとは$\CC$が弱核を持つので、この射の弱核を考えれば、容易に$M$の有限表示が与えられる。

$\AA$が核を持つなら明らかに弱核を持つので、主定理により従う。