有限表示加群の圏がアーベル圏になることと弱核の存在との同値性（ネーター環・連接環の一般化）

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導入

例えばネーター環 $A$ について、有限生成加群のなす圏 $\mod A$ はアーベル圏になります。非自明なのは核を持つかですが、有限生成と限らない加群圏 $Mod A$ はもちろんアーベル圏で、 $\mod A$ は「 $A$ がネーターであれば」核で閉じることが分かります（有限生成加群の間の準同型の核は、有限生成加群の部分加群より、ネーター性よりまた有限生成）。

ここでネーター環の一般化として連接環 (coherent ring) と呼ばれる環のクラスがあり、それは「有限表示加群のなす圏がアーベル圏」ということで特徴づけられます（知っている定義と違うぞって人は、のちの節「連接加群を用いた別証」を参照のこと）。
正直、環の場合にネーター性を落とすことは自分はあまりないのですが、同じような状況が圏上の加群を考えるときには自然に出てきます。例えば $\mod A$ という加群圏上の加群圏 $\mod (\mod A)$ を考えることがよくあります。これは無茶に例を作っているわけではなく、多元環の表現論の重要な理論であるAuslander-Reiten理論はまさにこの $\mod (\mod A)$ の構造分析の理論と言い直すことができます。

しかし一般に $\mod A$ は（圏を環としてみたときの）ネーターではありません。でも（圏を環と見たときの）連接``環''となっており、 $\mod (\mod A)$ がアーベル圏になるのです。

この記事の目標は、次の定理を示すことです：

主定理 ver 0

加法圏 $C$ に対し、有限表示右 $C$ 加群の圏 $\mod C$ がアーベル圏になるのは、 $C$ が弱核を持つことと同値である。

後で主定理を言い換えるので「ver 0」と名付けています。

これにより、例えば $C$ がアーベル圏だった場合、 $C$ は核を持つので $\mod C$ はアーベル圏になります（よってネーター環 $A$ 上 $\mod (\mod A)$ はアーベル圏です）。この観察がAuslanderが発見した重要な視点です。

前提とする知識

（前）加法圏上の右加群を知っており、それら右加群全体のなす圏がアーベル圏であることを知っている人です（例えば前の記事参照）。弱核についてはこの記事内で解説します。また図式上のdiagram chaseに慣れていることを仮定します。

構成について

主定理の証明にはいくつかの証明方法が考えられ、本記事では著者が関連した研究中に考えた、一番直接的（と見えそう）な証明を与えます。しかし理論的な見通しのためには「連接加群」を用いたほうがよく、それについては別証として後の節で述べます。

主定理を述べるための準備

主定理の正確な意味を述べるために、いくつかの定義や記号を導入します。まず前加法圏 $C$ に対し、右 $C$ 加群（＝アーベル群のなす圏への加法的反変関手）のなす圏を $Mod C$ と書くことにします。

有限表示加群

加法圏 $C$ 上の右加群 $M \in Mod C$ が有限表示であるとは、次のような $Mod C$ での完全列
$\begin{matrix} C (-, X) & \overset{}{\to} & C (-, Y) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
が存在するときをいう（つまり表現可能関手の余核として表される加群）。また $\mod C$ で、有限表示右 $C$ 加群のなす $Mod C$ の充満部分圏を指すことにする。

米田により、上のような表示は、ちょうど $C$ での射 $X \to Y$ を与えることと対応していることに注意。

環の場合の定義との関係は、「加法圏上の表現可能関手＝有限ランク自由加群」という類似があったので、そのもとでよく知られた有限表示の定義と一致しています。

$\mod C$ という記法は論文によって定義が違う場合があるので、論文を読む際には注意してください（上のように有限表示加群の圏で使うこともあれば、単に「有限生成」加群の圏で使うこともあります）。

一方、主定理では弱核という概念が用いられたので、これを定義します。

弱核

加法圏 $C$ が弱核 (weak kernel, たまにpseudo-kernel) を持つとは、任意の $C$ の射 $f : X \to Y$ に対し、ある射 $ι : K \to X$ が存在し（ $f$ の弱核と呼ばれる）、米田埋め込みした次の図式が $Mod C$ で完全になるときをいう：
$\begin{matrix} C (-, K) & \overset{C (-, ι)}{\to} & C (-, X) & \overset{C (-, f)}{\to} & C (-, Y) \end{matrix}$

これはよく考えれば、核の普遍性のうち一意性の条件を取り払ったものになっているので、弱核と呼ばれます。
さて、もう主定理を実際の証明に用いるように言い換えておきます。

主定理

加法圏 $C$ に対し、次は同値である。

有限表示右 $C$ 加群のなす圏 $\mod C$ がアーベル圏である。
$\mod C$ は $Mod C$ の中で「核を閉じる操作」で閉じている、つまり「有限表示加群の間の射の核もまた有限表示」である。
$C$ は弱核を持つ。

ここで1の条件は、アーベル圏であることをいちいち全て確かめるのは面倒なので、中間条件として2をも置けました。まず1と2が同値なことから片付けます。

主定理の証明

1ならば2

これはすぐ証明を書けます。ここで1ならば2が自明に見える方は、1の仮定からは「 $\mod C$ のアーベル圏構造と $Mod C$ のアーベル圏構造の関係はわからない」ことに注意してください（要するに埋め込みが完全とは限らない）。でも以下で見るように実際は埋め込みは自動的に完全になり、このことから証明できます。

主定理1

\Rightarrow

$\mod C$ がアーベル圏とし、任意に $\mod C$ での射 $M \overset{φ}{\to} N$ を取る。このとき、 $\mod C$ がアーベル圏だったことから $\mod C$ での完全列
$\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & K & \overset{ι}{\to} & M & \overset{φ}{\to} & N \end{matrix}$
が存在する。このとき、上が実は $Mod C$ で完全になっていることを確かめれば、 $\mod C$ が核で閉じていることが従う。

実際、 $Mod C$ で完全であることを確かめるには、各対象 $C \in C$ を代入して完全ならよい。対象 $C \in C$ を取ると、鍵は $C (-, C) \in \mod C$ なことである。よって $\mod C$ での核の普遍性により次の完全列が得られるが、米田で言い換えられる：
$\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & {Hom}_{C} (C (-, C), K) & \overset{ι}{\to} & {Hom}_{C} (C (-, C), M) & \overset{φ}{\to} & {Hom}_{C} (C (-, C), N) \\ \sim ↓ & \sim ↓ & \sim ↓ \\ 0 & \overset{}{\to} & K (C) & \overset{ι}{\to} & M (C) & \overset{φ}{\to} & N (C) \end{matrix}$
ここで $C$ 加群の準同型の集合（つまり $Mod C$ での射）のことを ${Hom}_{C}$ と書いている。これはまさしく「 $C$ を代入して完全」を意味するので、一番最初の図式は実は $Mod C$ で完全である。よって示された。

このパートは簡単でしたね（表現可能関手が全て $\mod C$ に予め入っていることが効いています）。

2ならば1

この証明は、次の観察から従います。

\mod C

は余核で閉じる

（弱核を持つとは限らない一般の）加法圏 $C$ に対して、 $\mod C$ はアーベル圏 $Mod C$ の中で余核を取る操作で閉じている。

主張は、有限表示右 $C$ 加群の射 $φ : M \to N$ が与えられたとき、 $Coker φ$ が有限表示ならよい。実際、有限表示 $C (-, A) \to C (-, B) \to M \to 0$ と $C (-, C) \to C (-, D) \to N \to 0$ が取れるが、射影分解についての標準的な議論により $φ : M \to N$ は次のようにliftできる：
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & φ ↓ \\ C (-, C) & \overset{}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
ここで米田の補題により、左の四角に対応する $C$ での可換図式
$\begin{matrix} A & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & f ↓ \\ C & \overset{g}{\to} & D \end{matrix}$
が取れることに注意。ここで、これらの射の自然な直和を用いて次の図式が作れる：
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & C (-, f) ↓ & φ ↓ \\ C (-, C) & \overset{C (-, g)}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \\ [1_{C}, 0]^{t} ↓ & ∥ & ↓ \\ C (-, C) \oplus C (-, B) & \overset{[C (-, g), C (-, f)]}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & W & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ \\ 0 \end{matrix}$
正確に言うと、左下の可換な四角があるが、それの余核を伸ばしたのが $W$ である。このとき、右の $M \to N \to W \to 0$ が完全であることを確かめれば、 $W ≅ Coker φ$ は有限表示となる。がこれは $N$ や $W$ から元を取って単なるdiagram chaseで分かる。（「 $N$ から元をとって」diagram chaseができることの正当化は次のようになされる：この図式は関手圏での図式だが、完全性は「各 $C \in C$ を代入して完全か？」で判定できるので、各 $C \in C$ を代入してただのアーベル群の図式だと思ってchaseしているとみなせばよい。）詳しくは単なるdiagram chaseなので読者への演習問題とする。

途中で、人工的な $W$ の射影分解が出てきましたが、お察しがいい方は気づいている通り、これは $M$ と $N$ の射影分解のmapping coneをとったものです（実際、完全性はmapping coneの議論からも従うはず）。

さて主定理の2ならば1はもう簡単です。

主定理2

\Rightarrow

上の命題3（ $\mod C$ は余核で閉じる）ことと2の仮定から、 $\mod C$ は $Mod C$ の中で核を取る操作と余核を取る操作で閉じている。よって $Mod C$ がアーベル圏なことから明らかに $\mod C$ もアーベル圏になる。

2ならば3

これも比較的簡単です。

主定理2

\Rightarrow

$\mod C$ が $Mod C$ の中で核で閉じているとする。このとき $C$ が弱核を持つことを示す。そのため射 $f : X \to Y$ を任意にとり、米田埋め込みして $Mod C$ で核を取ることにより、次の $Mod C$ での完全列が得られる：
$\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & K & \overset{}{\to} & C (-, X) & \overset{C (-, f)}{\to} & C (-, Y) \end{matrix}$
ここで $C (-, X)$ と $C (-, Y)$ は $\mod C$ に属することから、2の仮定により $K$ が有限表示となる。とくに $K$ が有限生成なので、ある全射 $C (-, W) ↠ K$ が取れるが、これを合成すると $Mod C$ の完全列
$\begin{matrix} C (-, W) & \overset{}{\to} & C (-, X) & \overset{C (-, f)}{\to} & C (-, Y) \end{matrix}$
が得られる。米田により対応する $W \to X$ が得られるが、これが $f$ の弱核を与えていることが定義により分かる。

3ならば2

ここが一番非自明な箇所です。便利な補題を準備します。

加法圏 $C$ での図式
$\begin{matrix} A & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & ↓ \\ C & \overset{}{\to} & D \end{matrix}$
が弱pullbackとする（pullbackの普遍性のうち一意性を取り除いたもの）と、米田埋め込みして次の図式を作り、
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & φ ↓ \\ C (-, C) & \overset{}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
誘導された $φ : M \to N$ は単射である。

$M$ から元を取りdiagram chaseで容易に分かる（厳密には先ほどやったように各 $C$ の対象を代入して元を取る、が慣れればあまり気にしなくて良い）ので読者への演習問題とする。

以下、 $C$ が弱核を持つときに $\mod C$ が核で閉じることの証明へ向かいます。が、見通しをよくするため、少し分割して次の補題をまず示します。

\mod C

の射の分解

加法圏 $C$ が弱核を持つとする。このとき、 $\mod C$ の任意の射 $φ : M \to N$ をとり、それを有限表示へリフトした次の図式を考える。
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & φ ↓ \\ C (-, C) & \overset{}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
このとき、次のような図式が存在し：
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ∥ & π ↓ \\ C (-, E) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & W & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & ι ↓ \\ C (-, C) & \overset{}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
$π$ が全射、 $ι$ が単射（両方 $Mod C$ のなかで）であり $φ = ι π$ となるようにできる。つまり $W$ は $φ$ の $Mod C$ での像である。とくに $Im φ ≅ W$ は $\mod C$ に属する。

米田により $C$ での図式
$\begin{matrix} A & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & ↓ \\ C & \overset{}{\to} & D \end{matrix}$
が得られる。ここで、 $C$ が弱核を持つので、 $C$ は弱pullbackも持つ（通常の「核を持つ加法圏はpullbackを持つ」ことと同様）。よって次の弱pullback図式が作れる：
$\begin{matrix} E & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & ↓ \\ C & \overset{}{\to} & D \end{matrix}$
さらに、最初の可換図式と、弱pullbackの普遍性から、 $C$ の射 $A \to E$ が存在し、次が可換になる：
$\begin{matrix} A & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & ∥ \\ E & \overset{}{\to} & B \\ ↓ & ↓ \\ C & \overset{}{\to} & D \end{matrix}$
これを米田で埋め込むと、補題に出てくる図式が得られる。ここで $φ = ι π$ なことは、全射 $C (-, B) ↠ M$ を前から合成すれば簡単に分かり、 $π$ が全射なことは、右上の四角形から明らかである。さらに $ι$ が単射なことは、弱pullbackについての先程の補題より得られる。

さて上の補題さえ準備すれば、もう簡単です。

主定理3

\Rightarrow

加法圏 $C$ が弱核を持つとき、 $\mod C$ が核で閉じることを示す。
有限表示加群の間の射 $φ : M \to N$ を取ろう。まず上の補題5（ $\mod C$ の射の分解）の主張する図式が作れる：
$\begin{matrix} C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ∥ & π ↓ \\ C (-, E) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & W & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ↓ & ι ↓ \\ C (-, C) & \overset{}{\to} & C (-, D) & \overset{}{\to} & N & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
ここで $φ = ι π$ であったことと、 $ι$ が単射なことにより、 $φ$ の核は $π$ の核と一致している。よって $π$ の核が有限表示ならよいが、次の図式を考える：
$\begin{matrix} 0 \\ ↓ \\ C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, E) & \overset{}{\to} & K & \overset{}{\to} & 0 \\ ∥ & ↓ & ↓ \\ C (-, A) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & M & \overset{}{\to} & 0 \\ ↓ & ∥ & π ↓ \\ C (-, E) & \overset{}{\to} & C (-, B) & \overset{}{\to} & W & \overset{}{\to} & 0 \end{matrix}$
詳しく言うと、新しく出てきた横の射 $C (-, A) \to C (-, E)$ は左下の射と同じものであり、それの余核を $K$ とおき、縦の $C (-, E) \to C (-, B)$ も一番左下の射として定義すると、左上の四角が可換であることから $K \to M$ が誘導される。ここで、縦の列
$\begin{matrix} 0 & \overset{}{\to} & K & \overset{}{\to} & M & \overset{π}{\to} & W \end{matrix}$
が完全であればよいが、これも $K$ と $M$ から元をとり単なるdiagram chaseで分かる。

証明おわりです。単なるdiagram chaseをめっちゃやるだけでしたね。

連接加群 (coherent module) を用いた別証

主定理の一番非自明で大事なところは、「 $C$ が弱核を持つならば $\mod C$ が核で閉じる」というところでした。本記事で与えた証明は、具体的に有限表示加群の間の射の核を構成する直接的な証明でしたが、連接加群 (coherent module)の概念を使えば、より見通しよく証明できます。

詳しい証明は本記事では述べませんが、定義や流れだけ与えておきます。

連接加群

前加法圏 $C$ 上の右加群 $M$ が連接であるとは、次の二つの条件を満たすときである。

$M$ は有限表示である。
$M$ の任意の有限生成部分加群は有限表示である。

前加法圏上の加群については、有限表示性や有限生成性は、加法圏の場合の「表現可能関手」の場所を「表現可能関手の有限直和」に置き換えたものです（これにより環上の加群についても言葉を適応できます）。

よく分かりくい定義かもしれませんが（もしくは環の場合に連接加群の定義を聞いたことあれば同じだと思うかも）、ありがたみが次です。

前加法圏 $C$ に対して、連接右 $C$ 加群のなす圏は $Mod C$ の中で拡大（特に有限直和）と核と余核で閉じ、とくにアーベル圏となる。

つまり何の条件もなく、何らかの有限性を満たすアーベル圏が作れるわけです。しかし問題は表現可能関手が連接とは限らないことです（よって一般にはあまり連接加群はないかもしれない）。
これの証明が気になる人は、著者によるpdf Grothendieckアーベル圏の基礎の命題7.14を参照してください（pullbackとpushoutをとりまくるパズルです）。

この連接加群の圏を用いて、主定理は次の形に言い換えることができます（また前加法圏なので、環上の加群の場合にも適応できます）。

前加法圏 $C$ に対して、次は同値である。

$\mod C$ がアーベル圏となる。
$\mod C$ の任意の対象が連接である、つまり「有限表示＝連接」が成り立つ。
任意の表現可能関手が連接である。
また $C$ が加法圏の場合、次も同値である：
$C$ が弱核を持つ。

3 $\Rightarrow$ 2：定理6を認めると、連接加群の圏は有限直和で閉じるので、表現可能関手の有限直和もまた連接であり、さらに連接性が余核でも閉じることから、それらの余核（＝有限表示関手）は連接となる。逆に連接加群は定義からして有限表示である。

2 $\Rightarrow$ 1：定理6より明らか。

1 $\Rightarrow$ 3：主定理により1は「 $\mod C$ が核で閉じる」と同値だったことに注意。
表現可能関手 $C (-, Y)$ を選び、その有限生成部分加群 $M$ を取ると、有限生成性より全射
$π : C (-, X_{1}) \oplus \dots \oplus C (-, X_{n}) ↠ M$
が取れるが、合成 $C (-, X_{1}) \oplus \dots \oplus C (-, X_{m}) ↠ M ↪ C (-, Y)$ は $\mod C$ での射になっている。よってこれの核も有限表示だが、これの核は $π$ の核と一致している。よって $Ker π$ が有限生成になるので、これは $M$ が有限表示なことを意味する。

1 $\Rightarrow$ 4：これは主定理の証明のそんなに大変じゃないとこだったので省略。

4 $\Rightarrow$ 3：これが連接性を導入したときの主定理との関係で大事なところである。 $C$ を弱核を持つ加法圏とする。このとき上と同じように表現可能関手 $C (-, Y)$ とその有限生成部分加群 $M$ を取ると、有限生成性より次の分解が得られる：
$C (-, X_{1}) \oplus \dots \oplus C (-, X_{n}) ↠ M ↪ C (-, Y)$
ここで $C$ が加法圏なので、一番左は $C (-, X_{1} \oplus \dots \oplus X_{n})$ と同一視でき、合成 $C (-, X_{1} \oplus \dots \oplus X_{n}) \to C (-, Y)$ に対応する射が米田により $C$ で取れる。あとは $C$ が弱核を持つので、この射の弱核を考えれば、容易に $M$ の有限表示が与えられる。

このように、連接性の概念を用いれば、diagram chaseさえあまりする必要がなく主定理が証明できます（その分の面倒くささを上の定理6に押し付けていると言えますが）。

この定理から、連接環を知っている人には馴染み深いであろう次の定義が自然になされます。

連接環

前加法圏 $C$ が環とみて連接環であるとは、定理7の同値な条件を満たすときをいう。とくに、

$C$ が環の場合、これは「任意の有限生成右イデアルが有限表示」なこと
$C$ が加法圏の場合、これは「 $C$ が弱核を持つ」こと

で定義される。

「表現可能関手」はこの場合環自体を右加群とみたものなので、上のようになります。

わざわざ「環とみて連接」と書いて、連接圏と書かないのは、coherent categoryには別の違う文脈での定義が存在するからです。

いつ使うの？

環について連接環を考えることは、自分は正直ありません（環は少なくとも両側ネーター環くらいを仮定する流派です）。しかし、圏が環とみて連接、つまり有限表示加群の圏がアーベル圏になる状況は、いくらでも出てきます。典型例は：

アーベル圏 $A$ は環とみて連接である、つまり $\mod A$ はアーベル圏となる。より一般に前アーベル圏でも同様である。

$A$ が核を持つなら明らかに弱核を持つので、主定理により従う。

ここから分かることは、例えばネーター環 $A$ があると、有限生成＝有限表示加群のなす圏 $\mod A$ はアーベル圏なので、 $\mod A$ を環とみて連接です。よって $\mod (\mod A)$ というアーベル圏ができます。これはさらにアーベル圏なので、同様に $\mod (\mod (\mod A))$ もアーベル圏です。以下無限に続く……

さすがに $\mod \mod \mod A$ を考えることはないですが、冒頭で述べたとおり「環 $A$ の表現論の現代的な理論（＝Auslander-Reiten理論）は、アーベル圏 $\mod (\mod A)$ の理論に基づいている」といえます。なのでこのように有限表示関手のなす圏を頻繁に用いますし、用いずにやることもできますが用いたほうが整理されて見やすいです。