行列の累乗を冪乗に拡張する手法
書くのが面倒なので、基本サイズ2の行列を扱います。
行列の$n$乗の一般化
$A=\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & -4 \\ \end{bmatrix}$のとき$A^x\ (x\in\mathbb{C})$を求めよ。
$A$の対角化
$$
\det(\lambda E-A)
=(\lambda-3)(\lambda+4)-1\cdot(-6)
$$
$$
=\lambda^2+\lambda-6
$$
$$
=(\lambda+3)(\lambda-2)=0
$$
$$
\therefore \lambda=-3,\ 2
$$
$$ \det(-3 E-A) \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -6 & 1 \\ -6 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 6 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} ,\ \det(2 E-A) \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ -6 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} $$
よって、$A$を対角化すると
$$
A=
\begin{bmatrix}
3 & -1 \\
6 & -4 \\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
6 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
6 & 1 \\
\end{bmatrix}^{-1}
$$
$\log{A}$を求める
$\log{A}$が存在して、ある行列$P$を用いて次のように表せるとする。
$$
\log{A}=
P
\begin{bmatrix}
a & 0 \\
0 & b \\
\end{bmatrix}
P^{-1}
$$
両辺を$n$乗して
$$
(\log{A})^n=
P
\begin{bmatrix}
a^n & 0 \\
0 & b^n \\
\end{bmatrix}
P^{-1}
$$
$$ e^x=\sum_{n \geq 0} \dfrac{x^n}{n!}\ (x\in\mathbb{C}) $$
$x=\log{A}$を代入すると
$$
A=e^{\log{A}}
=P\left(\sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{n!}\begin{bmatrix} a^n & 0 \\ 0 & b^n \\ \end{bmatrix}\right) P^{-1}
=P\begin{bmatrix} e^a & 0 \\ 0 & e^b \\ \end{bmatrix}P^{-1}
$$
$$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
6 & 1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-3 & 0 \\
0 & 2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
6 & 1 \\
\end{bmatrix}^{-1}
$$
$P=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 6 & 1 \\ \end{bmatrix}$とおくと、積の真ん中の成分比較より
$$
e^a=-3,\ e^b=2\Leftrightarrow a=\log(-3)\ (=i\pi+\log{3}),\ b=\log{2}
$$
$$ \log{A}= P \begin{bmatrix} \log(-3) & 0 \\ 0 & \log{2} \\ \end{bmatrix} P^{-1} $$
$A^x$を求める
$x\log{A}=\log{A^x}$より
$$
\log{A^x}=
x\log{A}=
P
\begin{bmatrix}
x\log(-3) & 0 \\
0 & x\log{2} \\
\end{bmatrix}
P^{-1}
$$
両辺を$n$乗して
$$
(\log{A^x})^n=
P
\begin{bmatrix}
(x\log(-3))^n & 0 \\
0 & (x\log{2})^n \\
\end{bmatrix}
P^{-1}
$$
$e^x$のマクローリン展開より
$$
A^x=\sum_{n \geq 0} \dfrac{(\log{A^x})^n}{n!}
$$
$$
=P\left(\sum_{n \geq 0} \dfrac{1}{n!}\begin{bmatrix}(x\log(-3))^n & 0 \\ 0 & (x\log{2})^n \\ \end{bmatrix}\right) P^{-1}
$$
$$
=P\begin{bmatrix} (-3)^x & 0 \\ 0 & 2^x \\ \end{bmatrix} P^{-1}
$$
$$ \therefore A^x=\dfrac{1}{5} \begin{bmatrix} 6\cdot 2^x-(-3)^x & (-3)^x-2^x \\ 6\cdot 2^x-6\cdot(-3)^x & 6\cdot(-3)^x-2^x \\ \end{bmatrix} $$
独り言
・これは$A^n\ (n\in\mathbb{N})$の式をそのまま、$n\to x$に置き換えたものとなっている。
・$A^n$が分かっているとき $\dfrac{d}{dx} A^x=A^x \log{A}$より$\log{A}$をすぐに求められる。
・$A=PDP^{-1}\ ($対角行列$D)$と表せるとき、$D$の各対角成分の$\log$を取った行列$D'$を用いて $\log{A}=PD'P^{-1}$と表せる。