行列の累乗を冪乗に拡張する手法

書くのが面倒なので、基本サイズ2の行列を扱います。

行列の$n$乗の一般化

$A$の対角化

$$\det (\lambda E-A)=(\lambda -3)(\lambda +4)-1\cdot (-6)$$
$$={\lambda }^2+\lambda -6$$
$$=(\lambda +3)(\lambda -2)=0$$
$$\therefore \lambda =-3,2$$

$$\det (-3E-A)\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-6& 1\\ -6& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\det (2E-A)\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ -6& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$

よって、$A$を対角化すると
$$A=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ 6& -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 1\end{array}\right]}^{-1}$$

$\log A$を求める

$\log A$が存在して、ある行列$P$を用いて次のように表せるとする。
$$\log A=P\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& b\end{array}\right]P^{-1}$$

両辺を$n$乗して
$$(\log A{)}^n=P\left[\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ 0& b^n\end{array}\right]P^{-1}$$

$x=\log A$を代入すると

$$A=e^{\log A}=P\left(\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{1}{n!}}\left[\begin{array}{cc}{a}^n& 0\\ 0& b^n\end{array}\right]\right)P^{-1}=P\left[\begin{array}{cc}{e}^a& 0\\ 0& e^b\end{array}\right]P^{-1}$$
$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-3& 0\\ 0& 2\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 1\end{array}\right]}^{-1}$$

$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 6& 1\end{array}\right]$とおくと、積の真ん中の成分比較より
$$e^a=-3,e^b=2\iff a=\log (-3)(=i\pi +\log 3),b=\log 2$$

$$\log A=P\left[\begin{array}{cc}\log (-3)& 0\\ 0& \log 2\end{array}\right]P^{-1}$$

$A^x$を求める

$x\log A=\log A^x$より
$$\log A^x=x\log A=P\left[\begin{array}{cc}x\log (-3)& 0\\ 0& x\log 2\end{array}\right]P^{-1}$$

両辺を$n$乗して
$$(\log A^x{)}^n=P\left[\begin{array}{cc}(x\log (-3){)}^n& 0\\ 0& (x\log 2{)}^n\end{array}\right]P^{-1}$$

$e^x$のマクローリン展開より
$$A^x=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{(\log A^x{)}^n}{n!}}$$
$$=P\left(\sum _{n\ge 0}{\displaystyle \frac{1}{n!}}\left[\begin{array}{cc}(x\log (-3){)}^n& 0\\ 0& (x\log 2{)}^n\end{array}\right]\right)P^{-1}$$
$$=P\left[\begin{array}{cc}(-3{)}^x& 0\\ 0& 2^x\end{array}\right]P^{-1}$$

独り言

・これは$A^n(n\in \mathbb{N})$の式をそのまま、$n\to x$に置き換えたものとなっている。
・$A^n$が分かっているとき ${\displaystyle \frac{d}{dx}}{A}^x=A^x\log A$より$\log A$をすぐに求められる。
・$A=PD{P}^{-1}($対角行列$D)$と表せるとき、$D$の各対角成分の$\log$を取った行列$D^{\prime }$を用いて $\log A=P{D}^{\prime }{P}^{-1}$と表せる。