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ド・モルガンの法則の証明

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こんにちは,みるか( @mirucaaura )です.

本記事では,「ド・モルガンの法則」として知られる以下の命題を証明します.

任意の空でない集合$\Lambda$に対して定義される集合$X$の部分集合$A_\lambda\subset X \quad (\lambda \in \Lambda)$からなる集合族$\{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$に対して,次の等式が成り立つ:
\begin{align} \left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \right)^C = \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda, \quad \tag{a} \label{a} \\ \left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \right)^C = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda. \quad \tag{b} \label{b} \end{align}

注意

本記事において,集合$X$の部分集合$A$に対して,$A$$X$での補集合を$A^C$で表す.

証明

任意の$\lambda\in\Lambda$に対して,次の関係が成り立つ:
\begin{align} \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \subset A_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda. \quad\tag{1}\label{1} \end{align}
式(\ref{1})に対して,補集合をとることにより,
\begin{align} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \quad\tag{2}\label{2} \end{align}
が成り立つ.いま,$\lambda\in\Lambda$は任意だから,式(\ref{2})より次の関係も成り立つ:
\begin{align} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C. \quad\tag{3}\label{3} \end{align}
一方,$B_\lambda = A^C_\lambda$として,式(\ref{3})を考えると,
\begin{align} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\right)^C \subset \underbrace{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B^C_\lambda}_{=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \subset \underbrace{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B^C_\lambda}_{=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\right)^C \quad\tag{4}\label{4} \end{align}
となる(文字が重複して分かりにくいが,式(\ref{3})における$A_\lambda$$B_\lambda(=A^C_\lambda)$を代入した式が式(\ref{4})である).式(\ref{4})において,補集合を考えると,
\begin{align} \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \subset \left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \quad\tag{5} \label{5} \end{align}
が成り立つ($B_\lambda = A^C_\lambda$であることを用いた).

以上,式(\ref{3}),(\ref{5})より,
\begin{align} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \quad \text{and} \quad \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \subset \left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C,\\ % \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \quad \text{and} \quad \left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \end{align}
が成り立つので,所望の等式(\ref{a}),(\ref{b})が示された.

余談

証明の中の以下の式:
\begin{align} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \end{align}
に納得できない方のために...集合$\Lambda$として$\Lambda=\{1,2,3\}$くらいを考えて,実際にお絵描きをしてみると納得できるかもしれません.

投稿日:20201117

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みるか
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