ド・モルガンの法則の証明

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こんにちは，みるか（ @mirucaaura ）です．

本記事では，「ド・モルガンの法則」として知られる以下の命題を証明します．

任意の空でない集合 $Λ$ に対して定義される集合 $X$ の部分集合 $A_{λ} \subset X (λ \in Λ)$ からなる集合族 ${A_{λ} ∣ λ \in Λ}$ に対して，次の等式が成り立つ：
$\begin{array}{r} (a) & {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} = ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C}, \\ (b) & {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} = ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} . \end{array}$

注意

本記事において，集合 $X$ の部分集合 $A$ に対して， $A$ の $X$ での補集合を $A^{C}$ で表す．

証明

任意の $λ \in Λ$ に対して，次の関係が成り立つ：
$\begin{array}{r} (1) & ⋂_{λ \in Λ} A_{λ} \subset A_{λ} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ} . \end{array}$
式( $1$ )に対して，補集合をとることにより，
$\begin{array}{r} (2) & {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset A_{λ}^{C} \subset {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \end{array}$
が成り立つ．いま， $λ \in Λ$ は任意だから，式( $2$ )より次の関係も成り立つ：
$\begin{array}{r} (3) & {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} . \end{array}$
一方， $B_{λ} = A_{λ}^{C}$ として，式( $3$ )を考えると，
$\begin{array}{r} (4) & {(⋃_{λ \in Λ} B_{λ})}^{C} \subset \underset{= ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}}{\underset{⏟}{⋂_{λ \in Λ} B_{λ}^{C}}} \subset \underset{= ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}}{\underset{⏟}{⋃_{λ \in Λ} B_{λ}^{C}}} \subset {(⋂_{λ \in Λ} B_{λ})}^{C} \end{array}$
となる（文字が重複して分かりにくいが，式( $3$ )における $A_{λ}$ に $B_{λ} (= A_{λ}^{C})$ を代入した式が式( $4$ )である）．式( $4$ )において，補集合を考えると，
$\begin{array}{r} (5) & ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \end{array}$
が成り立つ（ $B_{λ} = A_{λ}^{C}$ であることを用いた）．

以上，式( $3$ ),( $5$ )より，
$\begin{array}{r} {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} and ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C}, \\ ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} and {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \end{array}$
が成り立つので，所望の等式( $a$ ),( $b$ )が示された．

余談

証明の中の以下の式：
$\begin{array}{r} {(⋃_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \subset ⋂_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset ⋃_{λ \in Λ} A_{λ}^{C} \subset {(⋂_{λ \in Λ} A_{λ})}^{C} \end{array}$
に納得できない方のために...集合 $Λ$ として $Λ = {1, 2, 3}$ くらいを考えて，実際にお絵描きをしてみると納得できるかもしれません．

投稿日：2020年11月17日

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