ド・モルガンの法則の証明
こんにちは，みるか（ @mirucaaura ）です．
本記事では，「ド・モルガンの法則」として知られる以下の命題を証明します．
任意の空でない集合$\Lambda$に対して定義される集合$X$の部分集合$A_\lambda\subset X \quad (\lambda \in \Lambda)$からなる集合族$\{A_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}$に対して，次の等式が成り立つ：
\begin{align}
\left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \right)^C = \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda, \quad \tag{a} \label{a} \\
\left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \right)^C = \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda. \quad \tag{b} \label{b}
\end{align}
注意
本記事において，集合$X$の部分集合$A$に対して，$A$の$X$での補集合を$A^C$で表す．
証明
任意の$\lambda\in\Lambda$に対して，次の関係が成り立つ：
\begin{align}
\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda \subset A_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda. \quad\tag{1}\label{1}
\end{align}
式(\ref{1})に対して，補集合をとることにより，
\begin{align}
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C
\quad\tag{2}\label{2}
\end{align}
が成り立つ．いま，$\lambda\in\Lambda$は任意だから，式(\ref{2})より次の関係も成り立つ：
\begin{align}
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C.
\quad\tag{3}\label{3}
\end{align}
一方，$B_\lambda = A^C_\lambda$として，式(\ref{3})を考えると，
\begin{align}
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\right)^C \subset \underbrace{\bigcap_{\lambda\in\Lambda}B^C_\lambda}_{=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \subset \underbrace{\bigcup_{\lambda\in\Lambda}B^C_\lambda}_{=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda} \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} B_\lambda\right)^C
\quad\tag{4}\label{4}
\end{align}
となる（文字が重複して分かりにくいが，式(\ref{3})における$A_\lambda$に$B_\lambda(=A^C_\lambda)$を代入した式が式(\ref{4})である）．式(\ref{4})において，補集合を考えると，
\begin{align}
\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \subset \left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \quad\tag{5} \label{5}
\end{align}
が成り立つ（$B_\lambda = A^C_\lambda$であることを用いた）．
以上，式(\ref{3}),(\ref{5})より，
\begin{align}
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \quad \text{and} \quad \bigcap_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda \subset \left( \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C,\\
%
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \quad \text{and} \quad \left( \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda \right)^C \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A^C_\lambda
\end{align}
が成り立つので，所望の等式(\ref{a}),(\ref{b})が示された．
余談
証明の中の以下の式：
\begin{align}
\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C \subset \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A^C_\lambda \subset \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda\right)^C
\end{align}
に納得できない方のために...集合$\Lambda$として$\Lambda=\{1,2,3\}$くらいを考えて，実際にお絵描きをしてみると納得できるかもしれません．
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