数オリ解説1 (予選)

今回は要望があったので、JMO予選を解説していこうと思います。シリーズ化します。
解いている途中の思考過程をできるだけ書いていこうと思います。
この点で他の記事と一線を画したい。

まず1問目。2002年JMO予選9番，A分野です。

パッと見た感じでは、次数が揃っていないのでやりにくいなぁという印象ですね。
試しに適当な数を代入してみるのも良いですが、$x^2$の係数が1であることを踏まえると、$x$の２次方程式とみてとくのが多少計算するかもしれないけれどもいいかなぁ。

ということでその方針でやっていこうと思います。

さて。$x$の2次方程式と見たとき、$x$が整数解をもつためには、上式を$x$について整理して得られる、
$x^2+(y^2+y)x-2y-1=0$が、
整数の範囲で因数分解できればよい。

一般に、$x^2+ax+b=0$が因数分解できるための必要条件は、
$|a|$$\leqq$$|b|+1$
であることは容易にわかります。
わからない場合は適当な式で試してみましょう。

これをこの問題に適応すると、$y$の範囲が絞れます。
$y^2+y$は全ての整数で正であることに注意すると楽。

$-3$$\leqq$$y$$\leqq$$2$であることがわかるので、6回2次方程式をとけば答えが出る。

Ａ．6組

因数分解できるための必要条件を考えるのが肝です。

さて、次は2003年JMO予選9番です。G問題です。

図は各々で用意しながら読み進めてください。

図をパッと見た感じでは36度関係に見えるので、$\mathrm{\angle }$BAC=72度っぽいなぁ。と。
もしも本番なら、9番の問題なので難しそうと思ったら一旦上のように仮定して、成り立っていたらそのまま答えにして提出でいいと思います。
エスパーしていきましょう。

$cos{36}^{\circ },sin{36}^{\circ }$あたりは覚えておくとたまに役に立つのでぜひ覚えましょう。勿論導出もね。正五角形を使うと早いですね。

さて。72度っぽいということは一旦忘れて普通に解いていきましょう。

一個も角度の情報が無いのに角度を求めさせてこようとしてくるということはやはり72度っぽいなあ。

$AB=c,BC=a,CA=b$とする。$c:b=BD:CD=a-c:c$より、
$c^2=b(a-c)$が成り立つ。

また、$\mathrm{△}ABE～\mathrm{△}ACB$より、$c^2=bAE$である。
上式と併せて、$AE=a-c$がわかる。
$ADは\mathrm{\angle }BAC$の二等分線なので、$ACと\mathrm{\angle }ABC$の二等分線の交点を$E$,$ADとBE$の交点を$I$とおくと、
$BI:IE=c:a-c$$⟹$$BI:BE=c:a$

よって、$\mathrm{△}ABP～\mathrm{△}CBE$（対応順）なので、
$\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }ABE$

故に、$5\mathrm{\angle }BAD={180}^{\circ }$$⟹$$\mathrm{\angle }BAD={36}^{\circ }$なので、

$\mathrm{\angle }BAC=2\mathrm{\angle }BAD={72}^{\circ }$

いかがだったでしょうか。きちんとした記事を初投稿したので、至らぬ点も多々あるとは思います。
これから精進していこうと思いますので、是非ともこれからもよろしくお願いします。

2020/11/18