2020/11/17に 白茶 さんが出題した問題です。
https://mathlog.info/articles/721
∫0∞1−cosxx(ex−1)dx
[解説]
∫0∞1−cosxx(ex−1)dx=−∫0∞1x(ex−1)∫01∂∂xcostxdtdx=∫01∫0∞sintxex−1dxdt=∫01∫0∞sintx∑k=1∞e−kxdxdt=Im∑k=1∞∫01∫0∞e−(k−it)xdxdt=Im∑k=1∞∫01[−1k−ite−(k−it)x]0∞dt=Im∑k=1∞∫011k−itdt=Im∑k=1∞∫01k+itk2+t2dt=∑k=1∞∫01tk2+t2dt=12∑k=1∞[log(k2+t2)]01=12∑k=1∞log(1+1k2)=12log∏k=1∞(1+1k2)=12logsinhππ
よって、この問題の解答は12logsinhππとなります。
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