軌跡のベクトル解釈

高校数学Ⅱ教科書で頻出な次の2つの軌跡

について，数学Ⅱでは${\rm P}(x,y)$とおくことで，(1)は直線，(2)は円をなすことがすぐに分かり，楕円や双曲線の一歩手前の問題としてよく演習される。
が，これをベクトルを用いて表すことで「どのような直線」「どのような円」かを表せるようにしたい。

これらを用いて，最初の問題を解くことを考える。以下，$\overrightarrow{\r{OP}} = \vec{p}$，$\overrightarrow{\r{OA}} = \vec{a}$，$\overrightarrow{\r{OB}} = \vec{b}$，$L = \r{AB} = |\vec{b} - \vec{a}|$ としてこれを用いる。

(1)の解法

$\begin{align} \r{AP}^2 - \r{BP}^2=k \ \ &\Leftrightarrow \ \ |\vec{p} - \vec{a}|^2 - |\vec{p} - \vec{b}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \ 2\vec{b} \cdot \vec{p} - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - k - |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ 2(\vec{b}-\vec{a}) \cdot \vec{p} - k - (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ 2(\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{p} - \frac{k (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})}{L^2} - (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \frac{k(\vec{b} - \vec{a})}{2L^2} - \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \frac{(L^2 - k)\vec{a} + (L^2 + k)\vec{b}}{2L^2}) = 0 \\ \end{align}$
したがって，点$\r{P}$の軌跡は，線分$\r{AB}$を$(L^2+k):(L^2-k)$に分ける（外分の可能性もある）点を$\r{X}$としたときの，点$\r{X}$を通り直線$\r{AB}$に垂直な直線となる。

(2)の解法

$\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$とおくと，$|\ov{AC}| = |\ov{BC}| = \frac{L}{2}$で，$\ov{AC} + \ov{BC} = \vec{0}$である。
$\begin{align} \r{AP}^2 + \r{BP}^2=k \ \ &\Leftrightarrow \ \ |\overrightarrow{\r{AC}} + \overrightarrow{\r{CP}}|^2 + |\overrightarrow{\r{BC}} + \ov{CP}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \frac{1}{2}L^2 + 2\ov{CP} \cdot (\ov{AC} + \ov{BC}) + 2|\ov{CP}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \ |\vec{p} - \vec{c}|^2 = \frac{k}{2} - \frac{1}{4} L^2 \\ \end{align}$
したがって，$k \geqq \frac{1}{2} L^2$のときに軌跡が存在し，線分$\r{AB}$の中点$\r{C}$を中心とする半径$\frac{\sqrt{2k-L^2}}{2}$の円となる。

結論

(1)は常に直線$\r{AB}$に垂直な直線で，$k$が動くことで直線$\r{AB}$上の通る点$\r{X}$は直線$\r{AB}$上すべてを動きうる。ここから，直角三角形$\r{PAX}$と$\r{PBX}$の存在が見えてくる。
　(2)は常に中心を点$\r{C}$とするような円で，$k \geqq \frac{1}{2} L^2$が動くことで中線定理と$\r{PC}$が固定されるような円の存在が見えてくる。
　当然複素数で解釈することもできるので，次回のテーマとする。