軌跡のベクトル解釈

高校数学Ⅱ教科書で頻出な次の2つの軌跡

について，数学Ⅱでは$\mathrm{P}(x,y)$とおくことで，(1)は直線，(2)は円をなすことがすぐに分かり，楕円や双曲線の一歩手前の問題としてよく演習される。
が，これをベクトルを用いて表すことで「どのような直線」「どのような円」かを表せるようにしたい。

これらを用いて，最初の問題を解くことを考える。以下，$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{P}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{A}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{O}\mathrm{B}}=\overrightarrow{b}$，$L=\mathrm{A}\mathrm{B}=|\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}|$ としてこれを用いる。

(1)の解法

$\begin{array}{rl}{\mathrm{A}\mathrm{P}}^2-{\mathrm{B}\mathrm{P}}^2=k& \iff |\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}{|}^2-|\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b}{|}^2=k\\ & \iff 2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}-2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}-k-|\overrightarrow{b}{|}^2+|\overrightarrow{a}{|}^2=0\\ & \iff 2(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{p}-k-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})=0\\ & \iff 2(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot \overrightarrow{p}-\frac{k(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}{L^2}-(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a})=0\\ & \iff (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\frac{k(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})}{2L^2}-\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}}{2})=0\\ & \iff (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})\cdot (\overrightarrow{p}-\frac{(L^2-k)\overrightarrow{a}+(L^2+k)\overrightarrow{b}}{2L^2})=0\end{array}$
したがって，点$\mathrm{P}$の軌跡は，線分$\mathrm{A}\mathrm{B}$を$(L^2+k):(L^2-k)$に分ける（外分の可能性もある）点を$\mathrm{X}$としたときの，点$\mathrm{X}$を通り直線$\mathrm{A}\mathrm{B}$に垂直な直線となる。

(2)の解法

$\overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$とおくと，$|\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}|=|\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}|=\frac{L}{2}$で，$\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}=\overrightarrow{0}$である。
$\begin{array}{rl}{\mathrm{A}\mathrm{P}}^2+{\mathrm{B}\mathrm{P}}^2=k& \iff |\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{P}}{|}^2+|\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{P}}{|}^2=k\\ & \iff \frac{1}{2}{L}^2+2\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{P}}\cdot (\overrightarrow{\mathrm{A}\mathrm{C}}+\overrightarrow{\mathrm{B}\mathrm{C}})+2|\overrightarrow{\mathrm{C}\mathrm{P}}{|}^2=k\\ & \iff |\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}{|}^2=\frac{k}{2}-\frac{1}{4}{L}^2\end{array}$
したがって，$k\geqq \frac{1}{2}{L}^2$のときに軌跡が存在し，線分$\mathrm{A}\mathrm{B}$の中点$\mathrm{C}$を中心とする半径$\frac{\sqrt{2k-L^2}}{2}$の円となる。

結論

(1)は常に直線$\mathrm{A}\mathrm{B}$に垂直な直線で，$k$が動くことで直線$\mathrm{A}\mathrm{B}$上の通る点$\mathrm{X}$は直線$\mathrm{A}\mathrm{B}$上すべてを動きうる。ここから，直角三角形$\mathrm{P}\mathrm{A}\mathrm{X}$と$\mathrm{P}\mathrm{B}\mathrm{X}$の存在が見えてくる。
　(2)は常に中心を点$\mathrm{C}$とするような円で，$k\geqq \frac{1}{2}{L}^2$が動くことで中線定理と$\mathrm{P}\mathrm{C}$が固定されるような円の存在が見えてくる。
　当然複素数で解釈することもできるので，次回のテーマとする。