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軌跡のベクトル解釈

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$$\newcommand{ov}[1]{\overrightarrow{\rm {#1}}} \newcommand{r}[1]{{\rm {#1}}} $$

高校数学Ⅱ教科書で頻出な次の2つの軌跡

$$ (1)~{\rm AP}^{2}-{\rm BP}^{2}=k\\(2)~{\rm AP}^{2}+{\rm BP}^{2}=k$$

について,数学Ⅱでは${\rm P}(x,y)$とおくことで,(1)は直線,(2)は円をなすことがすぐに分かり,楕円や双曲線の一歩手前の問題としてよく演習される。
が,これをベクトルを用いて表すことで「どのような直線」「どのような円」かを表せるようにしたい。

直線のベクトル方程式の内積表現

$\r{X}(\vec{x})$を通り,$\vec{n}$に垂直な直線上の点$\r{P}(\vec{p})$について
$$ \vec{n} \cdot (\vec{p} - \vec{x})=0$$

円のベクトル方程式

中心$\r{C}(\vec{c})$,半径$r$の円周上の点$\r{P}(\vec{p})$について
$$ |\vec{p} - \vec{c}|=r$$

これらを用いて,最初の問題を解くことを考える。以下,$\overrightarrow{\r{OP}} = \vec{p}$$\overrightarrow{\r{OA}} = \vec{a}$$\overrightarrow{\r{OB}} = \vec{b}$$L = \r{AB} = |\vec{b} - \vec{a}|$ としてこれを用いる。

(1)の解法

$\begin{align} \r{AP}^2 - \r{BP}^2=k \ \ &\Leftrightarrow \ \ |\vec{p} - \vec{a}|^2 - |\vec{p} - \vec{b}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \ 2\vec{b} \cdot \vec{p} - 2\vec{a} \cdot \vec{p} - k - |\vec{b}|^2 + |\vec{a}|^2 = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ 2(\vec{b}-\vec{a}) \cdot \vec{p} - k - (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ 2(\vec{b} - \vec{a}) \cdot \vec{p} - \frac{k (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} - \vec{a})}{L^2} - (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} + \vec{a}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \frac{k(\vec{b} - \vec{a})}{2L^2} - \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2}) = 0 \\ &\Leftrightarrow \ \ (\vec{b} - \vec{a}) \cdot (\vec{p} - \frac{(L^2 - k)\vec{a} + (L^2 + k)\vec{b}}{2L^2}) = 0 \\ \end{align}$
したがって,点$\r{P}$の軌跡は,線分$\r{AB}$$(L^2+k):(L^2-k)$に分ける(外分の可能性もある)点を$\r{X}$としたときの,点$\r{X}$を通り直線$\r{AB}$に垂直な直線となる。

(2)の解法

$\vec{c} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$とおくと,$|\ov{AC}| = |\ov{BC}| = \frac{L}{2}$で,$\ov{AC} + \ov{BC} = \vec{0}$である。
$\begin{align} \r{AP}^2 + \r{BP}^2=k \ \ &\Leftrightarrow \ \ |\overrightarrow{\r{AC}} + \overrightarrow{\r{CP}}|^2 + |\overrightarrow{\r{BC}} + \ov{CP}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \frac{1}{2}L^2 + 2\ov{CP} \cdot (\ov{AC} + \ov{BC}) + 2|\ov{CP}|^2 = k \\ &\Leftrightarrow \ \ |\vec{p} - \vec{c}|^2 = \frac{k}{2} - \frac{1}{4} L^2 \\ \end{align}$
したがって,$k \geqq \frac{1}{2} L^2$のときに軌跡が存在し,線分$\r{AB}$の中点$\r{C}$を中心とする半径$\frac{\sqrt{2k-L^2}}{2}$の円となる。

結論

(1)は常に直線$\r{AB}$に垂直な直線で,$k$が動くことで直線$\r{AB}$上の通る点$\r{X}$は直線$\r{AB}$上すべてを動きうる。ここから,直角三角形$\r{PAX}$$\r{PBX}$の存在が見えてくる。
 (2)は常に中心を点$\r{C}$とするような円で,$k \geqq \frac{1}{2} L^2$が動くことで中線定理と$\r{PC}$が固定されるような円の存在が見えてくる。
 当然複素数で解釈することもできるので,次回のテーマとする。

投稿日:20201118

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投稿者

smania
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