３日前に群を知ったねこ①

注意

• こちらは、ねこがにゃーにゃー言ってる記事です。ねこアレルギーなどで苦手な方は引き返しましょう。
• 結論は最後に書いてあります。
• 前提知識は「高校の数学」と「群の定義」です。

登場人物（登場ねこ物）

• ねこさん：すーぱーにゃいえんすはいすくーる卒業。ねこねこ大学１年生。数学を勉強中。ひなたぼっこが大好き。
• ぶちねこ先生：ねこねこ大学の先生。ねこさんに数学を指導している。ねこさんによくお手紙を書く。モンプチが好き。
• くろねこ郵便屋さん：ぶちねこ先生からのお手紙を届けてくれる。働きもの。

本編

ねこさん「群の定義を知ったけど、なんにゃこれは・・・と思いながらゴロゴロしてたら３日も経ってしまったにゃ」

※参考：足立恒雄「ガロア理論講義」（日本評論社）p.23

ねこさん「(2)の$e$は単位元って言うにゃね。あと、(3)の$y$は$x$の逆元って言うにゃね。有理数の加法に関して言えば、単位元は$0$のことで、$2$の逆元は$-2$ってことにゃね。まあ、それはそうにゃって感じにゃね・・・」

ねこさんは、ゴロゴロし始めてしまいました。

ねこさん「群と遊んでみたいにゃ。でも、日なたが気持ちいいにゃあ・・・ゴロゴロゴロ」

くろねこ郵便屋さん「ねこさーん。お手紙でーす！」

ねこさん「くろねこさん！ありがとにゃ～。なんにゃ、なんにゃ。ぶちねこ先生からにゃ。読んでみるにゃ」

ねこさん「にゃ。単位円周上？どうすればいいにゃ・・・？とりあえず、掛け算してみるにゃ！」

～ねこさんノート～
$$C\ni (x_1,y_1),(x_2,y_2)$$
演算$\cdot$を以下のように定義する。
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_1{x}_2,y_1{y}_2)$$

ねこさん「それっぽいにゃ！これでどうにゃ？ちょっと計算してみるにゃ～」

～ねこさんノート～
$$C\ni (1,0),(0,1)$$
$$(1,0)\cdot (0,1)=(0,0)$$

ねこさん「・・・。$(0,0)$になったにゃね。これって、単位円周上にないにゃね・・・。(1)を満たしてないにゃ！これが噂に聞く『閉じてにゃい』ってやつにゃね！・・・しかし、困ったにゃ。足してみるにゃ」

～ねこさんノート～
$$C\ni (x_1,y_1),(x_2,y_2)$$
演算$\cdot$を以下のように定義する。
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$

$$C\ni (1,0),(1,0)$$
$$(1,0)\cdot (1,0)=(2,0)$$

ねこさん「またしても閉じてにゃいにゃ。困ったにゃ。もう、ひなたぼっこするにゃ」

ねこさんは、またゴロゴロし始めてしまいました。

ねこさん「ゴロゴロ。単位円と言えば、三角関数にゃねえ。高校のときの教科書を見てみるにゃ」

ねこさんは本棚から数学Ⅱの教科書を引っ張り出してきました。

ねこさん「単位円周上に留まっていてほしいにゃねえ。つまり、$(\cos \theta ,\sin \theta )$の形でいてほしいってことにゃ。・・・にゃにゃにゃ！！！？」

ねこさんは、教科書に書いてあった次の式を見て、なにかひらきました。

$$\cos \frac{5}{12}\pi =\cos (\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{6})$$

ねこさん「もしかして・・・」

～ねこさんノート～
$$C\ni (x_1,y_1),(x_2,y_2)$$
$$(x_1,y_1)=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)$$
$$(x_2,y_2)=(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)$$
とする。このとき、演算$\cdot$を以下のように定義する。
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$$

ねこさん「こうすれば、閉じるにゃ！$(\cos \theta ,\sin \theta )$の形でいてくれるにゃ！！・・・でも、待つにゃ」

～ねこさんノート～
$C\ni (x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$となる実数$\theta$はいっぱいある。
$\theta +2n\pi$（$n$は整数）全部。無限にある。

ねこさん「いっぱいあるけど大丈夫かにゃ・・・」

～ねこさんノート～
$$(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)=(\cos {\tau }_1,\sin {\tau }_1)$$
$$(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)=(\cos {\tau }_2,\sin {\tau }_2)$$
となる${\tau }_1,{\tau }_2$の候補は無限にあるけれど
$$(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))=(\cos ({\tau }_1+{\tau }_2),\sin ({\tau }_1+{\tau }_2))$$
は、いつでも成り立つのか？

ねこさん「不安にゃ！不安にゃー！！ちゃんと確認しておくにゃ。急がば回れにゃ」

～ねこさんノート～
$$(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)=(\cos {\tau }_1,\sin {\tau }_1)$$
$$(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)=(\cos {\tau }_2,\sin {\tau }_2)$$
とする。このとき、ある整数$m,n$が存在して
$${\theta }_1={\tau }_1+2\pi m$$
$${\theta }_2={\tau }_2+2\pi n$$
とかける。
$$\begin{array}{rl}(\cos ({\tau }_1+{\tau }_2),\sin ({\tau }_1+{\tau }_2))& =(\cos ({\theta }_1+2\pi m+{\theta }_2+2\pi n),\sin ({\theta }_1+2\pi m+{\theta }_2+2\pi n))\\ & =(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2+2\pi (n+m)),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2+2\pi (n+m)))\\ & =(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))\end{array}$$
よって
$$(\cos ({\tau }_1+{\tau }_2),\sin ({\tau }_1+{\tau }_2))=(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$$

ねこさん「これで安心にゃ！！よくよく考えたら、$2\pi$の整数倍のズレだから当たり前にゃね・・・。でも、そのまま放置して、モヤモヤするよりマシにゃね。安心したからモンプチを食べるにゃ」

ねこさんはモンプチ休憩中です。

ねこさん「おなかいっぱいになったところで！群の定義を満たすか確認にゃー！！」

～ねこさんノート～
$C$の任意の元$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$に対して、ある実数${\theta }_1,{\theta }_2$が存在して
$$(x_1,y_1)=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)$$
$$(x_2,y_2)=(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)$$
と表せる。
演算$\cdot$を以下のように定義する。
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))$$

(1)（閉じているか？）
$C$の任意の元$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$に対して、ある実数${\theta }_1,{\theta }_2$が存在して
$$(x_1,y_1)=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)$$
$$(x_2,y_2)=(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)$$
と表せる。
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))\in C$$
となり、成り立つ。

(2)（単位元の存在）
$$(e_1,e_2)=(\cos 0,\sin 0)\in C$$
とする。
$C$の任意の元$(x,y)$に対して、ある実数$\theta$が存在して
$$(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$$
と表せる。このとき
$$\begin{array}{rl}(x,y)\cdot (e_1,e_2)& =(\cos \theta ,\sin \theta )\cdot (\cos 0,\sin 0)\\ & =(\cos (\theta +0),\sin (\theta +0))\\ & =(\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =(x,y)\end{array}$$
$$\begin{array}{rl}(e_1,e_2)\cdot (x,y)& =(\cos 0,\sin 0)\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =(\cos (0+\theta ),\sin (0+\theta ))\\ & =(\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =(x,y)\end{array}$$
となるので、$(e_1,e_2)=(\cos 0,\sin 0)$が単位元である。

(3)（逆元の存在）
$C$の任意の元$(x,y)$に対して、ある実数$\theta$が存在して
$$(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$$
と表せる。このとき$(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))\in C$であり、
$$\begin{array}{rl}(x,y)\cdot (\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))& =(\cos \theta ,\sin \theta )\cdot (\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))\\ & =(\cos (\theta +(-\theta )),\sin (\theta +(-\theta )))\\ & =(\cos 0,\sin 0)\\ & =(e_1,e_2)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))\cdot (x,y)& =(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))\cdot (\cos \theta ,\sin \theta )\\ & =(\cos ((-\theta )+\theta ),\sin ((-\theta )+\theta ))\\ & =(\cos 0,\sin 0)\\ & =(e_1,e_2)\end{array}$$
となるので、$(x,y)=(\cos \theta ,\sin \theta )$の逆元は$(\cos (-\theta ),\sin (-\theta ))$である。

ねこさん「・・・にゃ！$\theta +0=\theta$とか$(-\theta )+\theta =0$とか、無意識に計算してるにゃね。でもこれって、実数の加法が群の定義を満たしてるおかげっぽいにゃね。いつも何も考えずに計算してたにゃ・・・。今度は、ちゃんと意識しながら結合法則を確認してみるにゃ！」

～ねこさんノート～
(4)（結合法則）
$C$の任意の元$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$に対して、ある実数${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$が存在して
$$(x_1,y_1)=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)$$
$$(x_2,y_2)=(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)$$
$$(x_3,y_3)=(\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3)$$
と表せる。
とする。このとき
$$\begin{array}{rl}((x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2))\cdot (x_3,y_3)& =\{(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\cdot (\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)\}\cdot (\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3)\\ & =(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))\cdot (\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3)\\ & =(\cos (({\theta }_1+{\theta }_2)+{\theta }_3),\sin (({\theta }_1+{\theta }_2)+{\theta }_3))\\ & =(\cos ({\theta }_1+({\theta }_2+{\theta }_3)),\sin ({\theta }_1+({\theta }_2+{\theta }_3)))\\ & =(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\cdot (\cos ({\theta }_2+{\theta }_3),\sin ({\theta }_2+{\theta }_3))\\ & =(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\cdot \{(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)\cdot (\cos {\theta }_3,\sin {\theta }_3)\}\\ & =(x_1,y_1)\cdot ((x_2,y_2)\cdot (x_3,y_3))\end{array}$$
よって
$$((x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2))\cdot (x_3,y_3)=(x_1,y_1)\cdot ((x_2,y_2)\cdot (x_3,y_3))$$
となるので結合法則が成り立つ。

ねこさん「$({\theta }_1+{\theta }_2)+{\theta }_3={\theta }_1+({\theta }_2+{\theta }_3)$のところで、実数の加法が結合法則が成り立つことを使ったにゃね。にゃるほどにゃ～。・・・にゃにゃ！！もしかして、実数の性質を使えば、こんなことも言えちゃうにゃ！？」

～ねこさんノート～
(5)（可換）
$C$の任意の元$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$に対して、ある実数${\theta }_1,{\theta }_2$が存在して
$$(x_1,y_1)=(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)$$
$$(x_2,y_2)=(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)$$
と表せる。このとき
$$\begin{array}{rl}(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)& =(\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\cdot (\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)\\ & =(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2),\sin ({\theta }_1+{\theta }_2))\\ & =(\cos ({\theta }_2+{\theta }_1),\sin ({\theta }_2+{\theta }_1))\\ & =(\cos {\theta }_2,\sin {\theta }_2)\cdot (\cos {\theta }_1,\sin {\theta }_1)\\ & =(x_2,y_2)\cdot (x_1,y_1)\end{array}$$
よって
$$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_2,y_2)\cdot (x_1,y_1)$$
が成り立つ。

ねこさん「これが噂の『可換』ってやつにゃね！『にゃーべる群』って言うらしいにゃね～（※アーベル群です）。これで、ぶちねこ先生の問題も解けたことだし、ゴロゴロするにゃ。ひなたぼっこにゃ」

ねこさんはゴロゴロし始めてしまいました。お日様が気持ちいいです。ねこさんは、野性を失って、おなかを出してゴロゴロしています。

ねこさん「ゴロゴロゴロ・・・」

くろねこ郵便屋さん「ねこさん、ねこさん！また、ぶちねこ先生からお手紙来てますよ～！」

ねこさん「・・・にゃ！？」

（つづくかも）

今回の結論