みゆ🌹の魔法 その２ 平方根 in 三乗根

三乗根と平方根の二重根号

三次方程式を解いていると出てくる、$\displaystyle\sqrt[3]{t\pm\sqrt s}$ みたいな二重根号式、厄介ですよね。
三乗根と平方根の二重根号は「どんな場合でも確実に外せる！」というものではなく、外したつもりがマトリョーシカのようにまた二重根号が出てきてガッカリすることもしばしば……。

入試や数検などの「確実に外せることが分かっている問題」の場合、共役同士の三乗和と積からゴリゴリと導出するやり方がテッパンかと思いますが、今回は一風変わった魔法の解き方を紹介いたしますね。

ただし、あくまでも魔法なので試験などにはまず使えないと思います。知的好奇心スイッチをオンにしてお読みいただければ幸いです(*´ω｀*)

魔法の手順

１．まず、式を $\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt G\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{L}}$（$G\gt L$）の形にします。

　例）$\sqrt[3]{-5+2\sqrt13}=\sqrt[3]{\sqrt{52}-\sqrt{25}}$

２．$c=\sqrt[3]{G-L}$ を求めます。有理係数の三次方程式由来であれば、ほぼ確実にキレイな値になります。

　例）$c=\sqrt[3]{52-25}=\sqrt[3]{27}=3$

３．$s^2r=L$、$2s-r=3c$ となるような $s$ と $r$ の組を探します。$1$ 組でも見つかれば十分です。

　例）$s^2r=25$、$2s-r=3\cdot3=9$ なので $s=5$、$r=1$

４．$\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt G\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{L}}=\displaystyle\frac{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{2s+c}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{r}}2$ で、できあがり！

　例）$\sqrt[3]{-5+2\sqrt13}=\displaystyle\frac{\sqrt{10+3}-\sqrt{1}}2=\frac{\sqrt{13}-1}2$

検証

$2s-r=3c$ より $c=\frac{2s-r}3$ として

\begin{align} \left(\frac{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{2s+c}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{r}}2\right)^3 =&\textcolor{#f00}{\pm}\frac{(2s+c)+3r}{8}\sqrt{2s+c}\textcolor{#00f}{\pm}\frac{r+3(2s+c)}{8}\sqrt{r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\frac{(2s+\frac{2s-r}3)+3r}{8}\sqrt{2s+\frac{2s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\frac{r+3(2s+\frac{2s-r}3)}{8}\sqrt{r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\frac{\frac{8s-r}3+3r}{8}\sqrt{\frac{8s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\frac{r+3(\frac{8s-r}3)}{8}\sqrt{r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\frac{\frac{8s+8r}3}8\sqrt{\frac{8s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\frac{8s}{8}\sqrt{r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\frac{s+r}3\sqrt{\frac{8s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}s\sqrt{r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\frac{(8s-r)(s+r)^2}{3^3}}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\frac{(2s-r)^3}{3^3}+s^2r}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}\\ =&\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{c^3+s^2r}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}\\\\\end{align}

$\therefore~\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{c^3+s^2r}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}}=\displaystyle\frac{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{2s+c}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{r}}2\\ \quad c=\sqrt[3]{G-L}~\rightarrow~G=c^3+L=c^3+s^2r $

まとめ

手順自体は非常にカンタンですので慣れればサクサクできるようになるかと思いますが、鬼門となるのは ３. でしょうか。まずは $L$ を因数分解し、平方因子を探してみるとよいでしょう。どうしても見つからないときは、分数や負の数など、いろんな組み合わせを試すのがポイントです。

２. については、一般的な問題であればほぼ確実に求まります。なぜなら、三次方程式
$$\quad Ax^3+Bx^2+Cx+D=0$$
から求めた解の場合、$c=B^2-3AC$ と表されるからです。 コチラ に三次方程式の解の公式を掲載しましたのでご確認くださいませ(*´ｪ`*)