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みゆ🌹のひらめきノヌト

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みなさた、はじめたしお
数孊を愛する䌚の みゆぬじゃん こず みゆ ず申したす。

お恥ずかしながら孊校のお勉匷は倧のニガテで、いわゆる孊校カリキュラムの数孊はサッパリ分かりたせん。参考曞を読むずか受隓問題を解くずかもほが無理ゲヌ(ŽД)。

そんな私ではありたすが、どうやら「女神の囁き」ずいう謎のチヌトスキルがあるらしく、そのよくわからない超自然珟象に導かれお独自に数孊を構築しおおりたす。

蚘事の執筆に圓たりたしおは、ハヌディ先生なみなさたのご指導を賜りながら既存の数孊の曞匏やお䜜法などを少しず぀取り入れお翻蚳しおおり、倚少独特で読みづらいずころもあるかず思いたすが、暖かい目で応揎いただけたしたら幞いです。

ずいうわけでみなさた、どうぞよろしくね☆

$\cdots$で、 この蚘事 is 䜕

思い぀いたアむデアずか芋぀けた定理ずかを数匏に翻蚳しおメモ曞きしおおく、チラシの裏です。
随時、远蚘や曎新をしおおりたすので、解説必芁な堎合は埡連絡くださいたせ

$$\\[8pt]$$

ガラパゎ环乗定理

→関連蚘事「 フィボナッチ数ずリュカ数ずガラパゎ数孊 」、「 䞉色関数col関数に幟䜕孊的意味を䞎えるよ 」

幟䜕・解析・敎数論など応甚範囲は広いです。詳现は コチラ 。
$$\begin{align}z^n=&C_{n}+S_nz=-(S_{n-1})l+(S_n)z\\ &\begin{cases} S_0&=0\\ S_1&=1\\ S_n&=-(S_{n-2})l+(S_{n-1})r\\ l&=z\cdot\bar{z}=|z|^2\\ r&=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)\\ \end{cases}\\[8pt] &\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}^n\\[8pt] &\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\[8pt] &C_n=-(S_{n-1})l\\ &S_n=\displaystyle\frac{\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{2^n\sqrt{r^2-4l}}\\ &S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

和ず積の亀換則

→関連蚘事「 お子様には芋せちゃダメ!? オトナのヒミツの結合則♡ 」

$$\begin{align} &A+(B\times C)=A\times(B+C)\\\\ &\begin{cases} A=(a-1)b+1\\ B=a((a-1)b+1)\\ C=ab+1\\ \end{cases} \end{align}$$

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フェルマヌの最終定理を因数分解

→関連蚘事「 フェルマヌの最終定理ずフィボナッチ数ずリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+$ ずしたす。$n=0$ のずきは $\begin{cases}x^0-y^0=0\\x^0+y^0=2\end{cases}$

$$\begin{align} x^n-y^n=&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m}n\pi\right)}\\ x^n+y^n =&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m+1}n\pi\right)}\\ \end{align}$$
$$\begin{cases} x^{2m}-y^{2m}&=\displaystyle(x+y)(x-y)\prod_{k=1}^{m-1}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}-y^{2m+1}&=\displaystyle\quad\quad\quad(x-y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^{2m}+y^{2m}&=\displaystyle\quad\quad\quad\quad\quad~~~\prod_{k=0}^{m-1}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{2k+1}{2m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}+y^{2m+1}&=\displaystyle\quad\quad~~~(x+y)\prod_{k=0}^{m-1}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k+1}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$

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フィボナッチ数ずリュカ数を因数分解

→関連蚘事「 フェルマヌの最終定理ずフィボナッチ数ずリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+_0$ ずしたす。$n=0$ のずきは $\quad\begin{cases} \quad F_n=\frac{\phi^0-\overline{\phi^0}}{\phi-\overline{\phi}}=\frac{1-1}{\sqrt5}=0\\ \quad L_n=\frac{\phi^0+\overline{\phi^0}}{\phi+\overline{\phi}}=\frac{1+1}1=2 \end{cases}$

$\quad\displaystyle F_n=\prod_{k=1}^{\lceil\frac{n-2}2\rceil}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} F_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m-1}\left[3\pm2\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ F_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

$\quad\displaystyle L_n=\prod_{k=0}^{\lfloor\frac{n-2}2\rfloor}\left[3+2\cos\left(\frac{2k+1}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} L_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=0}^{m-1}\left[3\pm2\cos\left(\frac{2k+1}{2m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ L_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=0}^{m-1}\left[3+2\cos\left(\frac{2k+1}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

䞉角関数の$n$倍角を因数分解

→関連蚘事「 䞉角関数の倍角の公匏ず双曲線関数を因数分解 」

$m,~n\in\mathbb{Z}_0^+$ ずしたす。$n=0$ のずきは $\begin{cases}\sin(n\theta)=0\\\cos(n\theta)=1\\\tan(n\theta)=0\end{cases}$

$\quad\begin{cases} \sin(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\cos\theta\sin\theta\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1}\left[\sin\left(\frac{k}{2m}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{m-1}\left[\cos\left(\frac{2k+1}{4m}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{2k+1}{4m}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m\gt0$

$\quad\begin{cases} \sin[(2m+1)\theta]&=\displaystyle2^{2m}\sin\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos[(2m+1)\theta]&=\displaystyle2^{2m}\cos\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \tan[(2m+1)\theta]&=\displaystyle\quad~\tan\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m+1\gt0$

$$\\[8pt]$$

䜙匊定理・䞉平方の定理の導出

$+1$ ず $e^{(\pi-\theta)i}$ を基底の元ずする斜亀座暙系䞊の数にその共圹を乗じたす。詳现は コチラ 。
→関連蚘事「 [超解説] 13の8乗を平方数2぀の和で4通りに衚わせ 」

$$\begin{align} &(a+be^{(\pi-\theta)i})(a+be^{-(\pi-\theta)i}))=a^2+b^2-2ab\cos\theta\\ \\ &\textstyle特に\theta=\frac\pi2~の時、(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\\ \end{align}$$

泚共圹耇玠数同士の和ず積は幟䜕孊的に$\begin{cases} z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z\\ z\cdotp\overline{z}=z^2\\ \end{cases}$
$$\\[8pt]$$

ピタゎラス䞉角圢に関する定理

→関連蚘事「 [超解説] 13の8乗を平方数2぀の和で4通りに衚わせ 」
→関連蚘事「 みゆの魔法 その 䞉角圢の蟺の比 」

任意の偶数 $2ab$ を蟺にも぀ピタゎラス䞉角圢の䞉蟺比
$$ |(a+bi)^2|=|(a^2-b^2)+(2ab)i|=a^2+b^2\\[4pt] \quad\rightarrow~2ab~:~a^2-b^2~:~a^2+b^2\\ $$

任意の奇数 $(2a+1)(2b+1)$ を蟺にも぀ピタゎラス䞉角圢の䞉蟺比
$$\begin{align} &|(2a+1)(2b+1)+[2a(a+1)-2b(b+1)]i|=2a(a+1)+2b(b+1)+1\\[4pt] &\rightarrow~(2a+1)(2b+1)~:~2a(a+1)-2b(b+1)~:~2a(a+1)+2b(b+1)+1\\ &\rightarrow~(a+b+1)^2-(a-b)^2~:~2(a-b)(a+b+1)~:~(a+b+1)^2+(a-b)^2 \end{align}\\ $$

盎埄 $R=2mn$ の円に倖接するピタゎラス䞉角圢の䞉蟺比
$R+m^2:R+2n^2:R+m^2+2n^2$

$$\\[8pt]$$

二平方恒等匏

$$ |(1+i)(a+bi)(a+bi)|^2=|(1+i)(a+bi)(a-bi)|^2\\ \quad\rightarrow~2(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2+2ab)^2+(a^2-b^2-2ab)^2\\ $$
$$\begin{cases} s&=\operatorname{Re}(a+bi)^2&=a^2-b^2\\ t&=\operatorname{Im}(a+bi)^2&=2ab\\ \end{cases}\quad \begin{cases} x&=\operatorname{Re}(s+ti)^2&=s^2-t^2\\ y&=\operatorname{Im}(s+ti)^2&=2st\\ \end{cases}\\ \rightarrow~2(a^2+b^2)^4=(x+y)^2+(x-y)^2 $$

$$\begin{align} &(a+bi)^2(c+di)^2\\ =&|(a-bi)(c+di)(a+bi)(c-di)|=|[(ac+bd)+(ad-bc)i][(ac+bd)-(ad-bc)i]|=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\ =&|(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)|=|[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)+(ad+bc)i]|=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ &\rightarrow~(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ \end{align}$$

$$[(a^2+b^2)a]^2+[(a^2+b^2)b]^2=[(a^2-3b^2)a]^2+[(3a^2-b^2)b]^2$$

$$(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc)^2=(a^2+b^2+ac)^2+(bc)^2$$

$$\begin{align} &(2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)\\ &=[(a+b+1)^2-(a-b)^2][(c+d+1)^2-(c-d)^2]\\ &=[(a+b+1)+(2a+1)c+(2b+1)d]^2-[(a-b)+(2a+1)c-(2b+1)d]^2\\ &=[2(ac+bd)+(a+b)+(c+d)+1]^2-[2(ac-bd)+(a-b)+(c-d)]^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二平方恒等匏を再垰的に生成する等匏

→関連蚘事「 平方和ず立方和の恒等匏 」

$$\begin{align} &a^2+c^2=b^2+d^2\\ &(am+bn)^2+(cm+dn)^2\\ =&(an+bm)^2+(cn+dm)^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二立方恒等匏を再垰的に生成する等匏

→関連蚘事「 平方和ず立方和の恒等匏 」

$$\begin{align} &a^3+c^3=b^3+d^3\\ &\left(am^2+bn^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}mn\right)^3+\left(cm^2+dn^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}mn\right)^3\\ =&\left(an^2+bm^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}nm\right)^3+\left(cn^2+dm^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}nm\right)^3 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

平方和恒等匏 その

$$\begin{align} &(2n+1)^2+[2n(n+1)]^2=[2n(n+1)+1]^2\\[8pt] &(2m-1)(2n+1)^2+[\underbrace{2n(n+1)-(m-1)}_{n(2n+1)+(n-m)+1}]^2=[\underbrace{2n(n+1)+m}_{n(2n+1)+(n+m)}]^2\\ &[n(2n+1)]^2+\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n-m)+1\right]^2}_{n(2n+1)+1n(2n+1)+n~たでの平方和}=\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n+m)\right]^2}_{n(2n+1)+n+1n(2n+1)+2n~たでの平方和} \end{align}$$
$$\\[8pt]$$

平方和恒等匏 その

平方和の魔方陣を探玢するのに䜿えそうです。
$$\begin{align} &A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2=G^2+H^2=I^2+I^2\\ &A^2+I^2+B^2=C^2+I^2+D^2=E^2+I^2+F^2=G^2+I^2+H^2=3I^2\\\\ &\begin{cases} A=(a^2+b^2)(c^2-d^2-2cd)\\ B=(a^2+b^2)(c^2-d^2+2cd)\\ C=(a^2-b^2-2ab)(c^2+d^2)\\ D=(a^2-b^2+2ab)(c^2+d^2)\\ E=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2-2(ac+bd)(ad-bc)\\ F=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2+2(ac+bd)(ad-bc)\\ G=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2-2(ac-bd)(ad+bc)\\ H=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2+2(ac-bd)(ad+bc)\\ I=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \end{cases} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

䞉蟺比恒等匏 その

$$\begin{align} &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)(c^2+d^2-2cd\cos\theta)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc-2bd\cos\theta)^2-2(ac-bd)(ad+bc-2bd\cos\theta)\cos\theta\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd-2bc\cos\theta)^2-2(ad-bc)(ac+bd-2bc\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2)(2ab-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2+abx)(c^2+d^2+cdx)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc+bdx)^2+(ac-bd)(ad+bc+bdx)x\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd+bcx)^2+(ad-bc)(ac+bd+bcx)x\\ \\ &(a^2+b^2+abx)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab+b^2x)^2+(a^2-b^2)(2ab+b^2x)x\\ \\ &(a^2+b^2)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab)^2\\ =&|(a^2-b^2)+(2ab)i|^2\\ =&|(a+bi)^2|^2\\ =&|(a+bi)(a-bi)|^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

䞉蟺比恒等匏 その

$$\begin{align} &(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2+ac)(2ab+bc-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ =&(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)^2+(bc)^2-2(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)(bc)\cos\theta \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

乗和の公匏ず歎史的ベルヌヌむ数を同時に生成する匏

→関連蚘事「 乗和の公匏を䜜る裏ワザ 」

$m=1$ に固定するず䞎匏が垞に $1^n=1$ ずいう恒等匏になるため、$n=0$ から目的の次数たで順次代入しおいくず歎史的ベルヌヌむ数関・ベルヌヌむ数 $\hat B_k$ が求たりたす。
$$\displaystyle\sum_{k=1}^mk^n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\pmatrix{n+1\\k}\hat B_km^{n+1-k}$$

$$\\[8pt]$$

逆正接関数の分解公匏

→関連蚘事「 みゆ匏分数分解でマチンの公匏を䜜ろう♪ 」
→関連蚘事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円呚率の興味深い等匏☆ 【可芖化】 」

$$\begin{align} \arctan\frac1p=\arctan\frac{q}{pq\pm r}\pm\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q}\\[8pt] \arctan\frac{q}{pq\pm r}=\arctan\frac1p\mp\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q} \end{align}$$

$p=F_{2m}$、$q=1$、$r=F_{2m-1}$ のずき
$$\quad\arctan\frac1{F_{2m}}=\arctan\frac1{F_{2m+1}}+\arctan\frac1{F_{2m+2}}$$
$q=1$、$r=1$ のずき
$$\quad\arctan\frac1p=\arctan\frac{1}{p+1}+\arctan\frac{1}{p^2+p+1}$$
$p=1$ のずき
$$\quad\frac{\pi}4=\arctan\frac q{q\pm r}\pm\arctan\frac{r}{2q\pm r}$$

$$\\[8pt]$$

円呚率ず黄金数ずフィボナッチ数ずリュカ数の等匏

→関連蚘事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円呚率の興味深い等匏☆ 【可芖化】 」

$$\begin{align}\frac\pi2 =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{L_{2n}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0} ^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+1}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{2n+1}}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{n^2+n+1}\\ \end{align}$$

 $\begin{cases} \pi~は円呚率\\ \phi~は黄金数~\frac{1+\sqrt5}2\\ F_m~は~m~番目のフィボナッチ数\\ L_m~は~m~番目のリュカ数 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

円呚率を求める公匏の生成匏

䟋えば $Z_\theta=1+i$、$Z=5+i$、$N=4$ ずすればマチンの公匏を導出できたす。
$$\begin{align} &\mathrm{Arg}(Z_\theta)&&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)\sin\theta-\mathrm{Im}(Z^N)\cos\theta}{\mathrm{Re}(Z^N)\cos\theta+\mathrm{Im}(Z^N)\sin\theta}\\ &\mathrm{Arg}(1+i)&=\frac{\pi}4&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)-\mathrm{Im}(Z^N)}{\mathrm{Re}(Z^N)+\mathrm{Im}(Z^N)}\\ &\mathrm{Arg}(i)&=\frac{\pi}2&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)}{\mathrm{Im}(Z^N)}\\\\ \end{align}$$
$\quad\quad\begin{cases} Z,\ Z_\theta\in\mathbb{C}\\ N\in\mathbb{Z}\\ -\frac\pi2\lt\mathrm{Arg}(Z_\theta)=\theta\leqq\frac\pi2\\ 0\leqq\mathrm{Arg}(Z^N)\lt\frac\pi2 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

$L^2$-ノルム単䜍円の円呚の長さを$L^p$-ノルムで衚珟

$$8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt[p]{n^p(2k-1)^p+(n^2+k-k^2)^p}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}$$

$p=2$ のずき
\begin{align} 8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1)^2+(n^2+k-k^2)^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}=2\pi\\ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1)^2+(n^2+k-k^2)^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}=\frac\pi4 \end{align}}

$$\\[8pt]$$

黄金数の环乗の玚数展開

$$\phi^n=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\phi^{n-k}$$
$$\\[8pt]$$

䞉次方皋匏解の公匏

$\omega=\frac{-1\pm\sqrt3i}2$

・$ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解の公匏
$$\quad\begin{align} t=&\frac{9a(bc-3ad)}2-b^3\\ x=&\frac{-b+\omega\sqrt[3]{t+\sqrt{t^2-(b^2-3ac)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{t-\sqrt{t^2-(b^2-3ac)^3}}}{3a}\\ \end{align}$$
・$x^3+ax+b=0$ の解の公匏
$$\quad\begin{align} x=&\omega\sqrt[3]{\frac{-b+\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}+\omega^{-1}\sqrt[3]{\frac{-b-\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}\\ =&\omega\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)+\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)-\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}\\ \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二重根号恒等匏 その

→関連蚘事「 間違った蚈算で成立する䞉乗根の等匏 」

よくある䞉乗根の二重根号問題は、ほがこれで解けたす。

$$\begin{align} \begin{cases} ~~~~~d&=\sqrt[3]{\left(\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\right)^2-\left(\textcolor{#07f}{S}\sqrt{R}\right)^2}\\ +3d&=2\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#00f}{R}~\rightarrow~\textcolor{#f00}{P}=2\textcolor{#07f}{S}+d\\ -3d&=2\textcolor{#f7c}{T}-\textcolor{#f00}{P}~\rightarrow~\textcolor{#00f}{R}=2\textcolor{#f7c}{T}-d\\ \end{cases}\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\begin{cases}\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=\frac{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}2\\ ~d=\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T},~4d=\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R}\\ \textcolor{#f00}{P}=3\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}\\ \textcolor{#00f}{R}=3\textcolor{#f7c}{T}-\textcolor{#07f}{S}\\ \end{cases} \quad\quad \end{align}$$

$ $

$$\begin{align}n^3=\frac{\textcolor{#f7c}{T}}{\textcolor{#f00}{P}+3\textcolor{#00f}{R}}=\frac{\textcolor{#07f}{S}}{\textcolor{#00f}{R}+3\textcolor{#f00}{P}}~\left(=\frac{\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}}{2(\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R})}\right)\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=n\left(\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}\right)\end{align}$$

$ $

$$\begin{align} y^3=\textcolor{#f7c}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#f7c}{x-y}}{2}}\right)}^2\textcolor{#f00}{(x+2y)}-\textcolor{#07f}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#07f}{x+y}}2}\right)}^2\textcolor{#00f}{(x-2y)}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\frac{\textcolor{#f7c}{\pm(x-y)}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm(x+y)}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2}=\frac{\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2 \end{align}$$

$ $

$$\begin{align} q^3=\textcolor{#f7c}{(q+4r)}^2\textcolor{#f00}{(q+r)}-\textcolor{#07f}{(3q+4r)}^2\textcolor{#00f}{r}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f7c}{\pm(q+4r)}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm(3q+4r)}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}}}=\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}} \end{align}$$

$ $

$$\sqrt[3]{\textcolor{#f00}\pm\frac{s+8r}3\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}}=\textcolor{#f00}\pm\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}\pm\sqrt{r}$$
$$\\[8pt]$$

二重根号恒等匏 その

$$\sqrt{\frac{n^{2a-b-1}+n^b}2\sqrt{n}\pm n^a}=\sqrt[4]{\frac{n}4}\left(\sqrt{n^{2a-b-1}}\pm\sqrt{n^b}\right)$$

$$\\[8pt]$$

投皿日2020幎11月8日
曎新日1月6日

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https://mathlog.info/articles/323         数孊を愛する䌚 副䌚長 COO CTO       ガラパゎ数孊 開拓者             猫舌・甘党・薄味掟

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