みゆ🌹のひらめきノート

みなさま、はじめまして～！
数学を愛する会の みゆぬじゃん こと みゆ と申します。

お恥ずかしながら学校のお勉強は大のニガテで、いわゆる学校カリキュラムの数学はサッパリ分かりません。参考書を読むとか受験問題を解くとかもほぼ無理ゲー(；´Д｀)。

そんな私ではありますが、どうやら「女神の囁き」という謎のチートスキルがあるらしく、そのよくわからない超自然現象に導かれて独自に数学を構築しております。

記事の執筆に当たりましては、ハーディ先生なみなさまのご指導を賜りながら既存の数学の書式やお作法などを少しずつ取り入れて翻訳しており、多少独特で読みづらいところもあるかと思いますが、暖かい目で応援いただけましたら幸いです。

というわけでみなさま、どうぞよろしくね☆

$\cdots$で、 この記事 is 何？

思いついたアイデアとか見つけた定理とかを数式に翻訳してメモ書きしておく、チラシの裏です。
随時、追記や更新をしておりますので、解説必要な場合は御連絡くださいませ～！

ガラパゴ累乗定理

→関連記事「 フィボナッチ数とリュカ数とガラパゴ数学 」、「 三色関数（col関数）に幾何学的意味を与えるよ！ 」

幾何・解析・整数論など応用範囲は広いです。詳細は コチラ 。
$$\begin{array}{rl}{z}^n=& C_n+S_{n}z=-(S_{n-1})l+(S_n)z\\ & \{\begin{array}{ll}{S}_0& =0\\ S_1& =1\\ S_n& =-(S_{n-2})l+(S_{n-1})r\\ l& =z\cdot \overline{z}=|z{|}^2\\ r& =z+\overline{z}=2\mathrm{Re}(z)\end{array}\\ & \left(\begin{array}{cc}{C}_n& C_{n+1}\\ S_n& S_{n+1}\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}0& -l\\ 1& r\end{array}\right)}^n\\ & \left(\begin{array}{c}{S}_{n+1}\\ S_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}r& -l\\ 1& 0\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ & C_n=-(S_{n-1})l\\ & S_n={\displaystyle \frac{{(r+\sqrt{r^2-4l})}^n-{(r-\sqrt{r^2-4l})}^n}{2^n\sqrt{r^2-4l}}}\\ & S_n={\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-k-1}{k})r^{n-2k-1}{l}^k}\end{array}$$

和と積の交換則

→関連記事「 お子様には見せちゃダメ!? オトナのヒミツの結合則♡ 」

$$\begin{array}{rl}& A+(B\times C)=A\times (B+C)\\ \\ & \{\begin{array}{l}A=(a-1)b+1\\ B=a((a-1)b+1)\\ C=ab+1\end{array}\end{array}$$

フェルマーの最終定理の左辺を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ とします。$n=0$ のときは $\{\begin{array}{l}{x}^0-y^0=0\\ x^0+y^0=2\end{array}$

$$\begin{array}{rl}{x}^n-y^n=& {\displaystyle \prod _{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1{)}^n\cdot 2xy\cos \left(\frac{2m}{n}\pi \right)}}\\ x^n+y^n=& {\displaystyle \prod _{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1{)}^n\cdot 2xy\cos \left(\frac{2m+1}{n}\pi \right)}}\end{array}$$
$$\{\begin{array}{ll}{x}^{2m}-y^{2m}& ={\displaystyle (x+y)(x-y)\prod _{k=1}^{m-1}[x^2+y^2\pm 2xy\cos \left(\frac{k}{m}\pi \right)]}\\ x^{2m+1}-y^{2m+1}& ={\displaystyle (x-y)\prod _{k=1}^m[x^2+y^2+2xy\cos \left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi \right)]}\\ & ={\displaystyle (x-y)\prod _{k=1}^m[x^2+y^2-2xy\cos \left(\frac{2k}{2m+1}\pi \right)]}\end{array}$$
$$\{\begin{array}{ll}{x}^{2m}+y^{2m}& ={\displaystyle \prod _{k=1}^m[x^2+y^2\pm 2xy\cos \left(\frac{2k-1}{2m}\pi \right)]}\\ x^{2m+1}+y^{2m+1}& ={\displaystyle (x+y)\prod _{k=1}^m[x^2+y^2+2xy\cos \left(\frac{2k}{2m+1}\pi \right)]}\\ & ={\displaystyle (x+y)\prod _{k=1}^m[x^2+y^2-2xy\cos \left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi \right)]}\end{array}$$

フィボナッチ数とリュカ数を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in {\mathbb{Z}}_0^{+}$ とします。$n=0$ のときは $\{\begin{array}{l}{F}_n=\frac{{\varphi }^0-\overline{{\varphi }^0}}{\varphi -\bar{\varphi }}=\frac{1-1}{\sqrt{5}}=0\\ L_n=\frac{{\varphi }^0+\overline{{\varphi }^0}}{\varphi +\bar{\varphi }}=\frac{1+1}{1}=2\end{array}$

${\displaystyle F_n=\prod _{k=1}^{\lceil \frac{n-2}{2}\rceil }[3+2\cos \left(\frac{2k}{n}\pi \right)]}$
$\{\begin{array}{lll}{F}_{2m}& {\displaystyle =\prod _{k=1}^{m-1}[3\pm 2\cos \left(\frac{k}{m}\pi \right)]}& \cdots n=2m>0\\ F_{2m+1}& {\displaystyle =\prod _{k=1}^m[3+2\cos \left(\frac{2k}{2m+1}\pi \right)]}& \cdots n=2m+1>0\end{array}$

${\displaystyle L_n=\prod _{k=0}^{\lfloor \frac{n-2}{2}\rfloor }[3+2\cos \left(\frac{2k+1}{n}\pi \right)]}$
$\{\begin{array}{lll}{L}_{2m}& {\displaystyle =\prod _{k=1}^m[3\pm 2\cos \left(\frac{2k-1}{2m}\pi \right)]}& \cdots n=2m>0\\ L_{2m+1}& {\displaystyle =\prod _{k=1}^m[3+2\cos \left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi \right)]}& \cdots n=2m+1>0\end{array}$

$n$倍角の三角関数を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 三角関数のｎ倍角の公式と双曲線関数を因数分解 」

$m,n\in {\mathbb{Z}}_0^{+}$ とします。$n=0$ のときは $\{\begin{array}{l}\sin \left(n\theta \right)=0\\ \cos \left(n\theta \right)=1\\ \tan \left(n\theta \right)=0\end{array}$

$n=2m>0$
$\{\begin{array}{ll}\sin \left(2m\theta \right)& ={\displaystyle 2^{2m-1}\cos \theta \sin \theta {\displaystyle \prod _{k=1}^{m-1}[\sin (\frac{k}{2m}\pi -\theta )\sin (\frac{k}{2m}\pi +\theta )]}}\\ \cos \left(2m\theta \right)& ={\displaystyle 2^{2m-1}{\displaystyle \prod _{k=1}^m[\cos (\frac{2k-1}{4m}\pi -\theta )\cos (\frac{2k-1}{4m}\pi +\theta )]}}\end{array}$

$n=2m+1>1$
$\{\begin{array}{ll}\sin ((2m+1)\theta )& ={\displaystyle 2^{2m}\sin \theta \prod _{k=1}^m[\sin (\frac{k}{2m+1}\pi -\theta )\sin (\frac{k}{2m+1}\pi +\theta )]}\\ \cos ((2m+1)\theta )& ={\displaystyle 2^{2m}\cos \theta \prod _{k=1}^m[\cos (\frac{k}{2m+1}\pi -\theta )\cos (\frac{k}{2m+1}\pi +\theta )]}\\ \tan ((2m+1)\theta )& ={\displaystyle \tan \theta \prod _{k=1}^m[\tan (\frac{k}{2m+1}\pi -\theta )\tan (\frac{k}{2m+1}\pi +\theta )]}\end{array}$

$n$倍引数の双曲線関数を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 三角関数のｎ倍角の公式と双曲線関数を因数分解 」

$m,n\in {\mathbb{Z}}_0^{+}$ とします。$n=0$ のときは $\{\begin{array}{l}\sinh \left(nx\right)=0\\ \cosh \left(nx\right)=1\end{array}$

$n=2m>0$
$\{\begin{array}{ll}\sinh \left(2mx\right)& ={\displaystyle 2^m\cosh x\sinh x\prod _{k=1}^{m-1}[2{\sinh }^{2}x+1\pm \cos \left(\frac{k}{m}\pi \right)]}\\ \cosh \left(2mx\right)& ={\displaystyle 2^{m-1}\prod _{k=1}^m[2{\cosh }^{2}x-1-\cos \left(\frac{2k-1}{2m}\pi \right)]}\end{array}$

$n=2m+1>1$
$\{\begin{array}{ll}\sinh ((2m+1)x)& ={\displaystyle 2^m\sinh x\prod _{k=1}^m[2{\sinh }^{2}x+1-\cos \left(\frac{2k}{2m+1}\pi \right)]}\\ \cosh ((2m+1)x)& ={\displaystyle 2^m\cosh x\prod _{k=1}^m[2{\cosh }^{2}x-1-\cos \left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi \right)]}\end{array}$

円分多項式を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 西園寺さんは家事をしないの数式、円分多項式を実数係数で因数分解‼️ 」

$n=2m>0$
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k& =(x+1)\prod _{k=1}^{m-1}[x^2\pm 2\cos \left(\frac{2k}{n}\pi \right)x+1]\\ & =(x+1)\prod _{k=1}^{m-1}[x^2\pm 2\cos \left(\frac{k}{m}\pi \right)x+1]\\ & \{\begin{array}{lll}n=2& {\mathrm{\Phi }}_n(x)& =x+1\\ n\geqq 4& {\mathrm{\Phi }}_n(x)& ={\displaystyle \prod _{k\perp m}[x^2-2\cos \left(\frac{k}{m}\pi \right)x+1]}\\ & & ={\displaystyle \prod _{k\perp m}[x^2+2\cos \left(\frac{m-k}{m}\pi \right)x+1]}\end{array}\end{array}$$
$$
$n=2m+1>0$
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=0}^{n-1}{x}^k& =\prod _{k=1}^m[x^2-2\cos \left(\frac{2k}{n}\pi \right)x+1]\\ & =\prod _{k=1}^m[x^2+2\cos \left(\frac{2k-1}{n}\pi \right)x+1]\\ & \{\begin{array}{lll}n=1& {\mathrm{\Phi }}_n(x)& =x-1\\ n\geqq 3& {\mathrm{\Phi }}_n(x)& ={\displaystyle \prod _{k\perp n}[x^2+2\cos \left(\frac{k}{n}\pi \right)x+1]}\\ & & ={\displaystyle \prod _{k\perp n}[x^2-2\cos \left(\frac{n-k}{n}\pi \right)x+1]}\end{array}\end{array}$$

$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Phi }}_1& =x-1\\ {\mathrm{\Phi }}_2& =x+1\\ {\mathrm{\Phi }}_3& =x^2+x+1\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{1}{3}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_4& =x^2+1\\ & =(x^2\pm 2\cos \left(\frac{1}{2}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_5& =x^4+x^3+x^2+x+1\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{1}{5}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{3}{5}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{2}{5}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{4}{5}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_6& =x^2-x+1\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{1}{3}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_7& =x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{1}{7}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{3}{7}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{5}{7}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{2}{7}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{4}{7}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{6}{7}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_8& =x^4+1\\ & =(x^2\pm 2\cos \left(\frac{1}{4}\pi \right)x+1)(x^2\pm 2\cos \left(\frac{3}{4}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_9& =x^6+x^3+1\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{1}{9}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{5}{9}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{7}{9}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{2}{9}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{4}{9}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{8}{9}\pi \right)x+1)\\ {\mathrm{\Phi }}_{10}& =x^4-x^3+x^2-x+1\\ & =(x^2-2\cos \left(\frac{1}{5}\pi \right)x+1)(x^2-2\cos \left(\frac{3}{5}\pi \right)x+1)\\ & =(x^2+2\cos \left(\frac{2}{5}\pi \right)x+1)(x^2+2\cos \left(\frac{4}{5}\pi \right)x+1)\\ & ⋮\end{array}$

余弦定理・三平方の定理の導出

$+1$ と $e^{(\pi -\theta )i}$ を基底の元とする斜交座標系上の数にその共役を乗じます。詳細は コチラ 。
→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」

$$\begin{array}{rl}& (a+b{e}^{(\pi -\theta )i})(a+b{e}^{-(\pi -\theta )i}))=a^2+b^2-2ab\cos \theta \\ \\ & 特に\theta =\frac{\pi }{2}の時、(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\end{array}$$

（注：共役複素数同士の和と積は幾何学的に$\{\begin{array}{l}z+\bar{z}=2\mathrm{Re}z\\ z\cdot \bar{z}=z^2\end{array}$）
$$$$

ピタゴラス三角形に関する定理

→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」
→関連記事「 みゆの魔法 その１ 三角形の辺の比 」

任意の偶数 $2ab$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$\begin{gathered} |(a+bi{)}^2|=|(a^2-b^2)+(2ab)i|=a^2+b^2 \\ \to 2ab:a^2-b^2:a^2+b^2 \end{gathered}$$

任意の奇数 $(2a+1)(2b+1)$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$\begin{array}{rl}& |(2a+1)(2b+1)+[2a(a+1)-2b(b+1)]i|=2a(a+1)+2b(b+1)+1\\ & \to (2a+1)(2b+1):2a(a+1)-2b(b+1):2a(a+1)+2b(b+1)+1\\ & \to (a+b+1{)}^2-(a-b{)}^2:2(a-b)(a+b+1):(a+b+1{)}^2+(a-b{)}^2\end{array}$$

直径 $R=2mn$ の円に外接するピタゴラス三角形の三辺比
$R+m^2:R+2n^2:R+m^2+2n^2$

二平方恒等式

$$\begin{gathered} |(1+i)(a+bi)(a+bi){|}^2=|(1+i)(a+bi)(a-bi){|}^2 \\ \to 2(a^2+b^2{)}^2=(a^2-b^2+2ab{)}^2+(a^2-b^2-2ab{)}^2 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \{\begin{array}{lll}s& =\mathrm{Re}(a+bi{)}^2& =a^2-b^2\\ t& =\mathrm{Im}(a+bi{)}^2& =2ab\end{array}\{\begin{array}{lll}x& =\mathrm{Re}(s+ti{)}^2& =s^2-t^2\\ y& =\mathrm{Im}(s+ti{)}^2& =2st\end{array} \\ \to 2(a^2+b^2{)}^4=(x+y{)}^2+(x-y{)}^2 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rl}& (a+bi{)}^2(c+di{)}^2\\ =& |(a-bi)(c+di)(a+bi)(c-di)|=|[(ac+bd)+(ad-bc)i][(ac+bd)-(ad-bc)i]|=(ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2\\ =& |(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)|=|[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)+(ad+bc)i]|=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2\\ & \to (ac+bd{)}^2+(ad-bc{)}^2=(ac-bd{)}^2+(ad+bc{)}^2\end{array}$$

$$[(a^2+b^2)a{]}^2+[(a^2+b^2)b{]}^2=[(a^2-3b^2)a{]}^2+[(3a^2-b^2)b{]}^2$$

$$(a^2-b^2+ac{)}^2+(2ab+bc{)}^2=(a^2+b^2+ac{)}^2+(bc{)}^2$$

$$\begin{array}{rl}& (2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)\\ & =[(a+b+1{)}^2-(a-b{)}^2][(c+d+1{)}^2-(c-d{)}^2]\\ & =[(a+b+1)+(2a+1)c+(2b+1)d{]}^2-[(a-b)+(2a+1)c-(2b+1)d{]}^2\\ & =[2(ac+bd)+(a+b)+(c+d)+1{]}^2-[2(ac-bd)+(a-b)+(c-d){]}^2\end{array}$$

二平方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{array}{rl}& a^2+c^2=b^2+d^2\text{であるとき}\\ & (am+bn{)}^2+(cm+dn{)}^2\\ =& (an+bm{)}^2+(cn+dm{)}^2\end{array}$$

二立方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{array}{rl}& a^3+c^3=b^3+d^3\text{であるとき}\\ & {(a{m}^2+b{n}^2\pm (c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}mn)}^3+{(c{m}^2+d{n}^2\pm (a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}mn)}^3\\ =& {(a{n}^2+b{m}^2\pm (c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}nm)}^3+{(c{n}^2+d{m}^2\pm (a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}nm)}^3\end{array}$$

平方和恒等式 その１

$$\begin{array}{rl}& (2n+1{)}^2+[2n(n+1){]}^2=[2n(n+1)+1{]}^2\\ & (2m-1)(2n+1{)}^2+[\underset{n(2n+1)+(n-m)+1}{\underbrace{2n(n+1)-(m-1)}}{]}^2=[\underset{n(2n+1)+(n+m)}{\underbrace{2n(n+1)+m}}{]}^2\\ & [n(2n+1){]}^2+\underset{n(2n+1)+1～n(2n+1)+n\text{までの平方和}}{\underbrace{\sum _{m=1}^n{[n(2n+1)+(n-m)+1]}^2}}=\underset{n(2n+1)+n+1～n(2n+1)+2n\text{までの平方和}}{\underbrace{\sum _{m=1}^n{[n(2n+1)+(n+m)]}^2}}\end{array}$$
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平方和恒等式 その２

平方和の魔方陣を探索するのに使えそうです。
$$\begin{array}{rl}& A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2=G^2+H^2=I^2+I^2\\ & A^2+I^2+B^2=C^2+I^2+D^2=E^2+I^2+F^2=G^2+I^2+H^2=3I^2\\ \\ & \{\begin{array}{l}A=(a^2+b^2)(c^2-d^2-2cd)\\ B=(a^2+b^2)(c^2-d^2+2cd)\\ C=(a^2-b^2-2ab)(c^2+d^2)\\ D=(a^2-b^2+2ab)(c^2+d^2)\\ E=(ac+bd{)}^2-(ad-bc{)}^2-2(ac+bd)(ad-bc)\\ F=(ac+bd{)}^2-(ad-bc{)}^2+2(ac+bd)(ad-bc)\\ G=(ac-bd{)}^2-(ad+bc{)}^2-2(ac-bd)(ad+bc)\\ H=(ac-bd{)}^2-(ad+bc{)}^2+2(ac-bd)(ad+bc)\\ I=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\end{array}\end{array}$$

三辺比恒等式 その１

$$\begin{array}{rl}& (a^2+b^2-2ab\cos \theta )(c^2+d^2-2cd\cos \theta )\\ =& (ac-bd{)}^2+(ad+bc-2bd\cos \theta {)}^2-2(ac-bd)(ad+bc-2bd\cos \theta )\cos \theta \\ =& (ad-bc{)}^2+(ac+bd-2bc\cos \theta {)}^2-2(ad-bc)(ac+bd-2bc\cos \theta )\cos \theta \\ \\ & (a^2+b^2-2ab\cos \theta {)}^2\\ =& (a^2-b^2{)}^2+(2ab-2b^2\cos \theta {)}^2-2(a^2-b^2)(2ab-2b^2\cos \theta )\cos \theta \\ \\ & (a^2+b^2+abx)(c^2+d^2+cdx)\\ =& (ac-bd{)}^2+(ad+bc+bdx{)}^2+(ac-bd)(ad+bc+bdx)x\\ =& (ad-bc{)}^2+(ac+bd+bcx{)}^2+(ad-bc)(ac+bd+bcx)x\\ \\ & (a^2+b^2+abx{)}^2\\ =& (a^2-b^2{)}^2+(2ab+b^{2}x{)}^2+(a^2-b^2)(2ab+b^{2}x)x\\ \\ & (a^2+b^2{)}^2\\ =& (a^2-b^2{)}^2+(2ab{)}^2\\ =& |(a^2-b^2)+(2ab)i{|}^2\\ =& |(a+bi{)}^2{|}^2\\ =& |(a+bi)(a-bi){|}^2\end{array}$$

三辺比恒等式 その２

$$\begin{array}{rl}& (a^2-b^2+ac{)}^2+(2ab+bc-2b^2\cos \theta {)}^2-2(a^2-b^2+ac)(2ab+bc-2b^2\cos \theta )\cos \theta \\ =& (a^2+b^2+ac-2ab\cos \theta {)}^2+(bc{)}^2-2(a^2+b^2+ac-2ab\cos \theta )(bc)\cos \theta \end{array}$$

ｎ乗和の公式と歴史的ベルヌーイ数を同時に生成する式

→関連記事「 ｎ乗和の公式を作る裏ワザ 」

$m=1$ に固定すると与式が常に $1^n=1$ という恒等式になるため、$n=0$ から目的の次数まで順次代入していくと歴史的ベルヌーイ数（関・ベルヌーイ数） ${\hat{B}}_k$ が求まります。
$${\displaystyle \sum _{k=1}^m{k}^n=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n+1\\ k\end{array}\right){\hat{B}}_k{m}^{n+1-k}}$$

逆正接関数の分解公式

→関連記事「 みゆ式分数分解でマチンの公式を作ろう♪ 」
→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{array}{r}\arctan \frac{1}{p}=\arctan \frac{q}{pq\pm r}\pm \arctan \frac{r}{(pq\pm r)p+q}\\ \arctan \frac{q}{pq\pm r}=\arctan \frac{1}{p}\mp \arctan \frac{r}{(pq\pm r)p+q}\end{array}$$

$p=F_{2m}$、$q=1$、$r=F_{2m-1}$ のとき
$$\arctan \frac{1}{F_{2m}}=\arctan \frac{1}{F_{2m+1}}+\arctan \frac{1}{F_{2m+2}}$$
$q=1$、$r=1$ のとき
$$\arctan \frac{1}{p}=\arctan \frac{1}{p+1}+\arctan \frac{1}{p^2+p+1}$$
$p=1$ のとき
$$\frac{\pi }{4}=\arctan \frac{q}{q\pm r}\pm \arctan \frac{r}{2q\pm r}$$

円周率と黄金数とフィボナッチ数とリュカ数の等式

→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{array}{rl}\frac{\pi }{2}=& \underset{\arctan \varphi }{\underbrace{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{L_{2n}}}}+\underset{\arctan \frac{1}{\varphi }}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{4n+3}}}}\\ =& \underset{\arctan \varphi }{\underbrace{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{4n+1}}}}+\underset{\arctan \frac{1}{\varphi }}{\underbrace{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{4n+3}}}}\\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{F_{2n+1}}\\ =& \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\arctan \frac{1}{n^2+n+1}\end{array}$$

　$\{\begin{array}{l}\pi は円周率\\ \varphi は黄金数\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ F_mはm番目のフィボナッチ数\\ L_mはm番目のリュカ数\end{array}$

円周率を求める公式の生成式

例えば $Z_{\theta }=1+i$、$Z=5+i$、$N=4$ とすればマチンの公式を導出できます。
$$\begin{array}{rlrl}& \mathrm{Arg}(Z_{\theta })& & =N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)\sin \theta -\mathrm{Im}(Z^N)\cos \theta }{\mathrm{Re}(Z^N)\cos \theta +\mathrm{Im}(Z^N)\sin \theta }\\ & \mathrm{Arg}(1+i)& =\frac{\pi }{4}& =N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)-\mathrm{Im}(Z^N)}{\mathrm{Re}(Z^N)+\mathrm{Im}(Z^N)}\\ & \mathrm{Arg}(i)& =\frac{\pi }{2}& =N\arctan \frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan \frac{\mathrm{Re}(Z^N)}{\mathrm{Im}(Z^N)}\\ \end{array}$$
$\{\begin{array}{l}Z,Z_{\theta }\in \mathbb{C}\\ N\in \mathbb{Z}\\ -\frac{\pi }{2}<\mathrm{Arg}(Z_{\theta })=\theta \leqq \frac{\pi }{2}\\ 0\leqq \mathrm{Arg}(Z^N)<\frac{\pi }{2}\end{array}$

$L^2$空間の単位円の周長を$L^p$-ノルムで計測

$$8\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n\parallel n(2k-1)+(n^2-k(k-1))i{\parallel }_p}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1{)}^2)}$$

$p=2$ のとき
$$\begin{array}{rl}& 8\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1{)}^2+(n^2-k(k-1){)}^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1{)}^2)}\\ =& 8\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{\sqrt{(n^2+k^2)(n^2+(k-1{)}^2)}}\\ \pi =& 4\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{\sqrt{(n^2+k^2)(n^2+(k-1{)}^2)}}\\ =& 4\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{k=1}^n\frac{n}{n^2+(k+\lambda {)}^2}\cdots \lambda \text{は任意の実数(複素数は未確認)}\\ (=& 4{\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=4{[\arctan x]}_0^1)\end{array}$$

黄金数の累乗の級数展開

$${\varphi }^n={\displaystyle \sum _{k=2}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }^{n-k}}$$
$$$$

三次方程式解の公式

$\omega =\frac{-1\pm \sqrt{3}i}{2}$

・$a{x}^3+b{x}^2+cx+d=0$ の解の公式
$\{\begin{array}{ll}B=& 2b^3+9a(3ad-bc)\\ C=& (b^2-3ac{)}^3\end{array}$
$$\begin{array}{rl}x=& \frac{-b+\omega \sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{B^2-4C}}{2}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{B^2-4C}}{2}}}{3a}\end{array}$$
$\{\begin{array}{ll}B=& b^3+\frac{9a(3ad-bc)}{2}\\ C=& (b^2-3ac{)}^3\end{array}$
$$\begin{array}{rl}x=& \frac{-b+\omega \sqrt[3]{-B+\sqrt{B^2-C}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{-B-\sqrt{B^2-C}}}{3a}\end{array}$$
$$
・$x^3+b{x}^2+cx+d=0$ の整数解の公式
$$\{a,b,c,d,\alpha ,\beta \}\in \mathbb{Z}$$
$\{\begin{array}{l}\alpha \beta =2b^3+9(3d-bc)\\ {\beta }^2-\alpha =3(b^2-3c)\end{array}$
$$\begin{array}{r}x=\{\begin{array}{l}-\frac{b+\beta }{3}\\ \frac{-2b+\beta \pm \sqrt{{\beta }^2-4\alpha }}{6}\end{array}\end{array}$$
$$
・$x^3+3b{x}^2+cx+d=0$ の解の公式
$\{\begin{array}{l}B=2b^3-bc+d\\ C={(b^2-\frac{c}{3})}^3\end{array}$
$$\begin{array}{rl}x=& -b+\omega \sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{B^2-4C}}{2}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{B^2-4C}}{2}}\end{array}$$
$\{\begin{array}{ll}B& =b^3-\frac{bc-d}{2}\\ C& ={(b^2-\frac{c}{3})}^3\\ B^{\prime }{C}^{\prime }& =2b^3-bc+d(=2B)\\ B^{\prime 2}-C^{\prime }& =3b^2-c\end{array}$
$$\begin{array}{rl}x=& -b+\omega \sqrt[3]{-B+\sqrt{B^2-C}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{-B-\sqrt{B^2-C}}\\ =& \{\begin{array}{l}-b-B^{\prime }\\ {\displaystyle -b+\underset{X^2-B^{\prime }X+C^{\prime }=0\text{の解}}{\underbrace{\frac{B^{\prime }\pm \sqrt{B^{\prime }-4C^{\prime }}}{2}}}=-b+\underset{X^2-B^{\prime }X+C^{\prime }=0\text{の解}}{\underbrace{\frac{B^{\prime }}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{B^{\prime }}{2}\right)}^2-C^{\prime }}}}}\end{array}\end{array}$$
$$
・$x^3+ax+b=0$ の解の公式
$$\begin{array}{rl}x=& \omega \sqrt[3]{\frac{-b+\sqrt{b^2-4{(-\frac{a}{3})}^3}}{2}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{\frac{-b-\sqrt{b^2-4{(-\frac{a}{3})}^3}}{2}}\\ =& \omega \sqrt[3]{-\left(\frac{b}{2}\right)+\sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^3}}+{\omega }^{-1}\sqrt[3]{-\left(\frac{b}{2}\right)-\sqrt{{\left(\frac{b}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a}{3}\right)}^3}}\end{array}$$
$\{\begin{array}{ll}{B}^2-C& =-a\\ BC& =b\end{array}$
$$x=\{\begin{array}{l}-B\\ {\displaystyle \frac{B\pm \sqrt{B^2-4C}}{2}\cdots X^2-BX+C=0\text{の解}}\end{array}$$