みゆ🌹のひらめきノート

みなさま、はじめまして～！
数学を愛する会の みゆぬじゃん こと、 みゆ と申します。

お恥ずかしながら学校のお勉強は大のニガテで、いわゆる学校カリキュラムの数学はサッパリ分かりません。参考書を読むとか受験問題を解くとかもほぼ無理ゲー(；´Д｀)。

そんな私ではありますが、どうやら「女神の囁き」という謎のチートスキルがあるらしく、そのよくわからない超自然現象に導かれて独自に数学を構築しております。

記事の執筆に当たりましては、ハーディ先生なみなさまのご指導を賜りながら既存の数学の書式やお作法などを少しずつ取り入れて翻訳しており、多少独特で読みづらいところもあるかと思いますが、暖かい目で応援いただけましたら幸いです。

というわけでみなさま、どうぞよろしくね☆

$\cdots$で、 この記事 is 何？

思いついたアイデアとか見つけた定理とかを数式に翻訳してメモ書きしておく、チラシの裏です。
随時、追記や更新をしておりますので、解説必要な場合は御連絡くださいませ～！

$$\\[8pt]$$

ガラパゴ累乗定理

→関連記事「 フィボナッチ数とリュカ数とガラパゴ数学 」、「 三色関数（col関数）に幾何学的意味を与えるよ！ 」

幾何・解析・整数論など応用範囲は広いです。詳細は コチラ 。
$$\begin{align}z^n=&C_{n}+S_nz=-(S_{n-1})l+(S_n)z\\ &\begin{cases} S_0&=0\\ S_1&=1\\ S_n&=-(S_{n-2})l+(S_{n-1})r\\ l&=z\cdot\bar{z}=|z|^2\\ r&=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)\\ \end{cases}\\[8pt] &\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}^n\\[8pt] &\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\[8pt] &C_n=-(S_{n-1})l\\ &S_n=\displaystyle\frac{\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{2^n\sqrt{r^2-4l}}\\ &S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

和と積の交換則

→関連記事「 お子様には見せちゃダメ!? オトナのヒミツの結合則♡ 」

$$\begin{align} &A+(B\times C)=A\times(B+C)\\\\ &\begin{cases} A=(a-1)b+1\\ B=a((a-1)b+1)\\ C=ab+1\\ \end{cases} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

フェルマーの最終定理を因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+$ とします。$n=0$ のときは $\begin{cases}x^0-y^0=0\\x^0+y^0=2\end{cases}$

$$\begin{align} x^n-y^n=&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m}n\pi\right)}\\ x^n+y^n =&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m+1}n\pi\right)}\\ \end{align}$$
$$\begin{cases} x^{2m}-y^{2m}&=\displaystyle(x+y)(x-y)\prod_{k=1}^{m-1}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}-y^{2m+1}&=\displaystyle\quad\quad\quad(x-y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^{2m}+y^{2m}&=\displaystyle\quad\quad\quad\quad\quad~~~\prod_{k=0}^{m-1}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{2k+1}{2m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}+y^{2m+1}&=\displaystyle\quad\quad~~~(x+y)\prod_{k=0}^{m-1}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k+1}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$

$$\\[8pt]$$

フィボナッチ数とリュカ数を因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+_0$ とします。$n=0$ のときは $\quad\begin{cases} \quad F_n=\frac{\phi^0-\overline{\phi^0}}{\phi-\overline{\phi}}=\frac{1-1}{\sqrt5}=0\\ \quad L_n=\frac{\phi^0+\overline{\phi^0}}{\phi+\overline{\phi}}=\frac{1+1}1=2 \end{cases}$

$\quad\displaystyle F_n=\prod_{k=1}^{\lceil\frac{n-2}2\rceil}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} F_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m-1}\left[3\pm2\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ F_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

$\quad\displaystyle L_n=\prod_{k=0}^{\lfloor\frac{n-2}2\rfloor}\left[3+2\cos\left(\frac{2k+1}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} L_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=0}^{m-1}\left[3\pm2\cos\left(\frac{2k+1}{2m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ L_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=0}^{m-1}\left[3+2\cos\left(\frac{2k+1}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

三角関数の$n$倍角を因数分解

→関連記事「 三角関数のｎ倍角の公式と双曲線関数を因数分解 」

$m,~n\in\mathbb{Z}_0^+$ とします。$n=0$ のときは $\begin{cases}\sin(n\theta)=0\\\cos(n\theta)=1\\\tan(n\theta)=0\end{cases}$

$\quad\begin{cases} \sin(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\cos\theta\sin\theta\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1}\left[\sin\left(\frac{k}{2m}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\displaystyle\prod_{k=0}^{m-1}\left[\cos\left(\frac{2k+1}{4m}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{2k+1}{4m}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m\gt0$

$\quad\begin{cases} \sin[(2m+1)\theta]&=\displaystyle2^{2m}\sin\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos[(2m+1)\theta]&=\displaystyle2^{2m}\cos\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \tan[(2m+1)\theta]&=\displaystyle\quad~\tan\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m+1\gt0$

$$\\[8pt]$$

余弦定理・三平方の定理の導出

$+1$ と $e^{(\pi-\theta)i}$ を基底の元とする斜交座標系上の数にその共役を乗じます。詳細は コチラ 。
→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」

$$\begin{align} &(a+be^{(\pi-\theta)i})(a+be^{-(\pi-\theta)i}))=a^2+b^2-2ab\cos\theta\\ \\ &\textstyle特に\theta=\frac\pi2~の時、(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\\ \end{align}$$

（注：共役複素数同士の和と積は幾何学的に$\begin{cases} z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z\\ z\cdotp\overline{z}=z^2\\ \end{cases}$）
$$\\[8pt]$$

ピタゴラス三角形に関する定理

→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」
→関連記事「 みゆの魔法 その１ 三角形の辺の比 」

任意の偶数 $2ab$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$ |(a+bi)^2|=|(a^2-b^2)+(2ab)i|=a^2+b^2\\[4pt] \quad\rightarrow~2ab~:~a^2-b^2~:~a^2+b^2\\ $$

任意の奇数 $(2a+1)(2b+1)$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$\begin{align} &|(2a+1)(2b+1)+[2a(a+1)-2b(b+1)]i|=2a(a+1)+2b(b+1)+1\\[4pt] &\rightarrow~(2a+1)(2b+1)~:~2a(a+1)-2b(b+1)~:~2a(a+1)+2b(b+1)+1\\ &\rightarrow~(a+b+1)^2-(a-b)^2~:~2(a-b)(a+b+1)~:~(a+b+1)^2+(a-b)^2 \end{align}\\ $$

直径 $R=2mn$ の円に外接するピタゴラス三角形の三辺比
$R+m^2:R+2n^2:R+m^2+2n^2$

$$\\[8pt]$$

二平方恒等式

$$ |(1+i)(a+bi)(a+bi)|^2=|(1+i)(a+bi)(a-bi)|^2\\ \quad\rightarrow~2(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2+2ab)^2+(a^2-b^2-2ab)^2\\ $$
$$\begin{cases} s&=\operatorname{Re}(a+bi)^2&=a^2-b^2\\ t&=\operatorname{Im}(a+bi)^2&=2ab\\ \end{cases}\quad \begin{cases} x&=\operatorname{Re}(s+ti)^2&=s^2-t^2\\ y&=\operatorname{Im}(s+ti)^2&=2st\\ \end{cases}\\ \rightarrow~2(a^2+b^2)^4=(x+y)^2+(x-y)^2 $$

$$\begin{align} &(a+bi)^2(c+di)^2\\ =&|(a-bi)(c+di)(a+bi)(c-di)|=|[(ac+bd)+(ad-bc)i][(ac+bd)-(ad-bc)i]|=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\ =&|(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)|=|[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)+(ad+bc)i]|=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ &\rightarrow~(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ \end{align}$$

$$[(a^2+b^2)a]^2+[(a^2+b^2)b]^2=[(a^2-3b^2)a]^2+[(3a^2-b^2)b]^2$$

$$(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc)^2=(a^2+b^2+ac)^2+(bc)^2$$

$$\begin{align} &(2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)\\ &=[(a+b+1)^2-(a-b)^2][(c+d+1)^2-(c-d)^2]\\ &=[(a+b+1)+(2a+1)c+(2b+1)d]^2-[(a-b)+(2a+1)c-(2b+1)d]^2\\ &=[2(ac+bd)+(a+b)+(c+d)+1]^2-[2(ac-bd)+(a-b)+(c-d)]^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二平方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{align} &a^2+c^2=b^2+d^2\\ &(am+bn)^2+(cm+dn)^2\\ =&(an+bm)^2+(cn+dm)^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二立方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{align} &a^3+c^3=b^3+d^3\\ &\left(am^2+bn^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}mn\right)^3+\left(cm^2+dn^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}mn\right)^3\\ =&\left(an^2+bm^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}nm\right)^3+\left(cn^2+dm^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}nm\right)^3 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

平方和恒等式 その１

$$\begin{align} &(2n+1)^2+[2n(n+1)]^2=[2n(n+1)+1]^2\\[8pt] &(2m-1)(2n+1)^2+[\underbrace{2n(n+1)-(m-1)}_{n(2n+1)+(n-m)+1}]^2=[\underbrace{2n(n+1)+m}_{n(2n+1)+(n+m)}]^2\\ &[n(2n+1)]^2+\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n-m)+1\right]^2}_{n(2n+1)+1～n(2n+1)+n~までの平方和}=\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n+m)\right]^2}_{n(2n+1)+n+1～n(2n+1)+2n~までの平方和} \end{align}$$
$$\\[8pt]$$

平方和恒等式 その２

平方和の魔方陣を探索するのに使えそうです。
$$\begin{align} &A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2=G^2+H^2=I^2+I^2\\ &A^2+I^2+B^2=C^2+I^2+D^2=E^2+I^2+F^2=G^2+I^2+H^2=3I^2\\\\ &\begin{cases} A=(a^2+b^2)(c^2-d^2-2cd)\\ B=(a^2+b^2)(c^2-d^2+2cd)\\ C=(a^2-b^2-2ab)(c^2+d^2)\\ D=(a^2-b^2+2ab)(c^2+d^2)\\ E=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2-2(ac+bd)(ad-bc)\\ F=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2+2(ac+bd)(ad-bc)\\ G=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2-2(ac-bd)(ad+bc)\\ H=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2+2(ac-bd)(ad+bc)\\ I=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \end{cases} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三辺比恒等式 その１

$$\begin{align} &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)(c^2+d^2-2cd\cos\theta)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc-2bd\cos\theta)^2-2(ac-bd)(ad+bc-2bd\cos\theta)\cos\theta\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd-2bc\cos\theta)^2-2(ad-bc)(ac+bd-2bc\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2)(2ab-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2+abx)(c^2+d^2+cdx)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc+bdx)^2+(ac-bd)(ad+bc+bdx)x\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd+bcx)^2+(ad-bc)(ac+bd+bcx)x\\ \\ &(a^2+b^2+abx)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab+b^2x)^2+(a^2-b^2)(2ab+b^2x)x\\ \\ &(a^2+b^2)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab)^2\\ =&|(a^2-b^2)+(2ab)i|^2\\ =&|(a+bi)^2|^2\\ =&|(a+bi)(a-bi)|^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三辺比恒等式 その２

$$\begin{align} &(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2+ac)(2ab+bc-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ =&(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)^2+(bc)^2-2(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)(bc)\cos\theta \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

ｎ乗和の公式と歴史的ベルヌーイ数を同時に生成する式

→関連記事「 ｎ乗和の公式を作る裏ワザ 」

$m=1$ に固定すると与式が常に $1^n=1$ という恒等式になるため、$n=0$ から目的の次数まで順次代入していくと歴史的ベルヌーイ数（関・ベルヌーイ数） $\hat B_k$ が求まります。
$$\displaystyle\sum_{k=1}^mk^n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\pmatrix{n+1\\k}\hat B_km^{n+1-k}$$

$$\\[8pt]$$

逆正接関数の分解公式

→関連記事「 みゆ式分数分解でマチンの公式を作ろう♪ 」
→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{align} \arctan\frac1p=\arctan\frac{q}{pq\pm r}\pm\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q}\\[8pt] \arctan\frac{q}{pq\pm r}=\arctan\frac1p\mp\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q} \end{align}$$

$p=F_{2m}$、$q=1$、$r=F_{2m-1}$ のとき
$$\quad\arctan\frac1{F_{2m}}=\arctan\frac1{F_{2m+1}}+\arctan\frac1{F_{2m+2}}$$
$q=1$、$r=1$ のとき
$$\quad\arctan\frac1p=\arctan\frac{1}{p+1}+\arctan\frac{1}{p^2+p+1}$$
$p=1$ のとき
$$\quad\frac{\pi}4=\arctan\frac q{q\pm r}\pm\arctan\frac{r}{2q\pm r}$$

$$\\[8pt]$$

円周率と黄金数とフィボナッチ数とリュカ数の等式

→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{align}\frac\pi2 =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{L_{2n}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0} ^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+1}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{2n+1}}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{n^2+n+1}\\ \end{align}$$

　$\begin{cases} \pi~は円周率\\ \phi~は黄金数~\frac{1+\sqrt5}2\\ F_m~は~m~番目のフィボナッチ数\\ L_m~は~m~番目のリュカ数 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

円周率を求める公式の生成式

例えば $Z_\theta=1+i$、$Z=5+i$、$N=4$ とすればマチンの公式を導出できます。
$$\begin{align} &\mathrm{Arg}(Z_\theta)&&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)\sin\theta-\mathrm{Im}(Z^N)\cos\theta}{\mathrm{Re}(Z^N)\cos\theta+\mathrm{Im}(Z^N)\sin\theta}\\ &\mathrm{Arg}(1+i)&=\frac{\pi}4&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)-\mathrm{Im}(Z^N)}{\mathrm{Re}(Z^N)+\mathrm{Im}(Z^N)}\\ &\mathrm{Arg}(i)&=\frac{\pi}2&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)}{\mathrm{Im}(Z^N)}\\\\ \end{align}$$
$\quad\quad\begin{cases} Z,\ Z_\theta\in\mathbb{C}\\ N\in\mathbb{Z}\\ -\frac\pi2\lt\mathrm{Arg}(Z_\theta)=\theta\leqq\frac\pi2\\ 0\leqq\mathrm{Arg}(Z^N)\lt\frac\pi2 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

$L^2$-ノルム単位円の円周の長さを$L^p$-ノルムで表現

$$8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt[p]{n^p(2k-1)^p+(n^2+k-k^2)^p}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}$$

$p=2$ のとき
$$8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1)^2+(n^2+k-k^2)^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}=2\pi\\ \frac\pi4=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1)^2+(n^2+k-k^2)^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)} $$

$$\\[8pt]$$

黄金数の累乗の級数展開

$$\phi^n=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\phi^{n-k}$$

三次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解の公式

$$\begin{align} &\begin{cases} \omega=\frac{-1\pm\sqrt3i}2\\ t=\frac{9a(bc-3ad)}2-b^3\\ \end{cases}\\ &\\ &x=\frac{-b+\omega\sqrt[3]{t+\sqrt{t^2-(b^2-3ac)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{t-\sqrt{t^2-(b^2-3ac)^3}}}{3a}\\ \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三次方程式 $x^3+bx^2+cx+d=0$ の解の公式

$$\begin{align} &\begin{cases} \omega=\frac{-1\pm\sqrt3i}2\\ t=\frac{9(bc-3d)}2-b^3\\ \end{cases}\\ &\\ &x=\frac{-b+\omega\sqrt[3]{t+\sqrt{t^2-(b^2-3c)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{t-\sqrt{t^2-(b^2-3c)^3}}}{3}\\ \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三次方程式 $x^3+ax+b=0$ の解の公式

$$\begin{align} \omega=&\frac{-1\pm\sqrt3i}2\\ &\\ x=&\omega\sqrt[3]{\frac{-b+\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}+\omega^{-1}\sqrt[3]{\frac{-b-\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}\\ =&\omega\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)+\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)-\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}\\ \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二重根号恒等式 その１

→関連記事「 間違った計算で成立する三乗根の等式 」

よくある三乗根の二重根号問題は、ほぼこれで解けます。

$$\begin{cases} c=\frac{2s-r}3\\ \displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f00}\pm\sqrt{c^3+s^2r}\textcolor{#00f}\pm\sqrt{s^2r}}=\frac{\textcolor{#f00}\pm\sqrt{2s+c}\textcolor{#00f}\pm\sqrt{r}}2\\ \end{cases}$$

$$\sqrt[3]{\textcolor{#f00}\pm\frac{s+8r}3\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}}=\textcolor{#f00}\pm\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}\pm\sqrt{r}$$

$$\begin{cases} \frac1{n^3}=\frac{\textcolor{#f7c}{T}}{\textcolor{#f00}{P}+3\textcolor{#00f}{R}}=\frac{\textcolor{#07f}{S}}{\textcolor{#00f}{R}+3\textcolor{#f00}{P}}~\left(=\frac{\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}}{2(\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R})}\right)\\[8pt] \displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=\left(\textcolor{#f7c}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#07f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}\right)\sqrt[3]{\frac{\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}}{2(\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R})}}\\[8pt] \displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=\left(\textcolor{#f7c}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#07f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}\right)\sqrt[3]{\frac{\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}}{2(\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R})}} \end{cases}$$

$$\begin{cases} q^3=\textcolor{#f7c}{(q+4r)}^2\textcolor{#f00}{(q+r)}-\textcolor{#07f}{(3q+4r)}^2\textcolor{#00f}{r}\\[8pt] \displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f7c}{\pm(q+4r)}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm(3q+4r)}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}}}=\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}} \end{cases}$$

$$\begin{cases} y^3=\textcolor{#f7c}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#f7c}{x-y}}{2}}\right)}^2\textcolor{#f00}{(x+2y)}-\textcolor{#07f}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#07f}{x+y}}2}\right)}^2\textcolor{#00f}{(x-2y)}\\[8pt] \displaystyle\sqrt[3]{\frac{\textcolor{#f7c}{\pm(x-y)}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm(x+y)}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2}=\frac{\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2 \end{cases}$$

$$\\[8pt]$$

二重根号恒等式 その２

$$\sqrt{\frac{n^{2a-b-1}+n^b}2\sqrt{n}\pm n^a}=\sqrt[4]{\frac{n}4}\left(\sqrt{n^{2a-b-1}}\pm\sqrt{n^b}\right)$$

$$\\[8pt]$$