みゆ🌹のひらめきノート

みなさま、はじめまして～！
数学を愛する会の みゆぬじゃん こと みゆ と申します。

お恥ずかしながら学校のお勉強は大のニガテで、いわゆる学校カリキュラムの数学はサッパリ分かりません。参考書を読むとか受験問題を解くとかもほぼ無理ゲー(；´Д｀)。

そんな私ではありますが、どうやら「女神の囁き」という謎のチートスキルがあるらしく、そのよくわからない超自然現象に導かれて独自に数学を構築しております。

記事の執筆に当たりましては、ハーディ先生なみなさまのご指導を賜りながら既存の数学の書式やお作法などを少しずつ取り入れて翻訳しており、多少独特で読みづらいところもあるかと思いますが、暖かい目で応援いただけましたら幸いです。

というわけでみなさま、どうぞよろしくね☆

$\cdots$で、 この記事 is 何？

思いついたアイデアとか見つけた定理とかを数式に翻訳してメモ書きしておく、チラシの裏です。
随時、追記や更新をしておりますので、解説必要な場合は御連絡くださいませ～！

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ガラパゴ累乗定理

→関連記事「 フィボナッチ数とリュカ数とガラパゴ数学 」、「 三色関数（col関数）に幾何学的意味を与えるよ！ 」

幾何・解析・整数論など応用範囲は広いです。詳細は コチラ 。
$$\begin{align}z^n=&C_{n}+S_nz=-(S_{n-1})l+(S_n)z\\ &\begin{cases} S_0&=0\\ S_1&=1\\ S_n&=-(S_{n-2})l+(S_{n-1})r\\ l&=z\cdot\bar{z}=|z|^2\\ r&=z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)\\ \end{cases}\\[8pt] &\begin{pmatrix}C_{n}&C_{n+1}\\S_{n}&S_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-l\\1&r\end{pmatrix}^n\\[8pt] &\begin{pmatrix}S_{n+1}\\S_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r&-l\\1&0\end{pmatrix}^n\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\\[8pt] &C_n=-(S_{n-1})l\\ &S_n=\displaystyle\frac{\left(r+\sqrt{r^2-4l}\right)^n-\left(r-\sqrt{r^2-4l}\right)^n}{2^n\sqrt{r^2-4l}}\\ &S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n-k-1}{k}r^{n-2k-1}l^{k} \end{align}$$

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和と積の交換則

→関連記事「 お子様には見せちゃダメ!? オトナのヒミツの結合則♡ 」

$$\begin{align} &A+(B\times C)=A\times(B+C)\\\\ &\begin{cases} A=(a-1)b+1\\ B=a((a-1)b+1)\\ C=ab+1\\ \end{cases} \end{align}$$

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フェルマーの最終定理を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+$ とします。$n=0$ のときは $\begin{cases}x^0-y^0=0\\x^0+y^0=2\end{cases}$

$$\begin{align} x^n-y^n=&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m}n\pi\right)}\\ x^n+y^n =&\displaystyle\prod_{m=0}^{n-1}\sqrt{x^2+y^2+(-1)^n\cdotp2xy\cos\left(\frac{2m+1}n\pi\right)}\\ \end{align}$$
$$\begin{cases} x^{2m}-y^{2m}&=\displaystyle(x+y)(x-y)\prod_{k=1}^{m-1}\left[x^2+y^2\pm2xy\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}-y^{2m+1} &=\displaystyle\quad\quad\quad(x-y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi\right)\right]\\ &=\displaystyle\quad\quad\quad(x-y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$
$$\begin{cases} x^{2m}+y^{2m}&=\displaystyle\quad\quad\quad\quad\quad~~~\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2\pm2xy\cos\left(\frac{2k-1}{2m}\pi\right)\right]\\ x^{2m+1}+y^{2m+1}&=\displaystyle\quad\quad~~~(x+y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2+2xy\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]\\ &=\displaystyle\quad\quad~~~(x+y)\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+y^2-2xy\cos\left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$$

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円分多項式を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 西園寺さんは家事をしないの数式、円分多項式を実数係数で因数分解‼️ 」
$$\begin{align} n=2m\text{ の時}\\ \sum_{k=0}^{n-1}x^{k} &=(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}\left[x^2\pm2\cos\left(\frac{2k}{n}\pi\right)x+1\right]\\ &=(x+1)\prod_{k=1}^{m-1}\left[x^2\pm2\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)x+1\right]\\ &\begin{cases} n=2&\Phi_n(x)&=x+1\\ n\geqq4&\Phi_n(x) &=\displaystyle\prod_{k\perp m}\left[x^2-2\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)x+1\right]\\ &&=\displaystyle\prod_{k\perp m}\left[x^2+2\cos\left(\frac{m-k}{m}\pi\right)x+1\right]\\ \end{cases} \\ n=2m+1\text{ の時}\\ \sum_{k=0}^{n-1}x^{k} &=\prod_{k=1}^{m}\left[x^2-2\cos\left(\frac{2k}{n}\pi\right)x+1\right]\\ &=\prod_{k=1}^{m}\left[x^2+2\cos\left(\frac{2k-1}{n}\pi\right)x+1\right]\\ \ &\begin{cases} n=1&\Phi_n(x)&=x-1\\ n\geqq3&\Phi_n(x) &=\displaystyle\prod_{k\perp n}\left[x^2+2\cos\left(\frac{k}{n}\pi\right)x+1\right]\\ &&=\displaystyle\prod_{k\perp n}\left[x^2-2\cos\left(\frac{n-k}{n}\pi\right)x+1\right]\\ \end{cases}\end{align}$$

$\begin{align} \Phi_1&=x-1\\ \Phi_2&=x+1\\ \Phi_3&=x^2+x+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac13\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac23\pi)x+1)\\ \Phi_4&=x^2+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2\pm2\cos(\frac12\pi)x+1)\\ \Phi_5&=x^4+x^3+x^2+x+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac15\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac35\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac25\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac45\pi)x+1)\\ \Phi_6&=x^2-x+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac13\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac23\pi)x+1)\\ \Phi_7&=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac17\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac37\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac57\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac27\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac47\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac67\pi)x+1)\\ \Phi_8&=x^4+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2\pm2\cos(\frac14\pi)x+1)(x^2\pm2\cos(\frac34\pi)x+1)\\ \Phi_9&=x^6+x^3+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac19\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac59\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac79\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac29\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac49\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac89\pi)x+1)\\ \Phi_{10}&=x^4-x^3+x^2-x+1\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2-2\cos(\frac15\pi)x+1)(x^2-2\cos(\frac35\pi)x+1)\\ &\color{#33f}=\textstyle(x^2+2\cos(\frac25\pi)x+1)(x^2+2\cos(\frac45\pi)x+1)\\ &\vdots\\ \end{align}$

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フィボナッチ数とリュカ数を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 フェルマーの最終定理とフィボナッチ数とリュカ数を因数分解 」

$n\in\mathbb{Z}^+_0$ とします。$n=0$ のときは $\quad\begin{cases} \quad F_n=\frac{\phi^0-\overline{\phi^0}}{\phi-\overline{\phi}}=\frac{1-1}{\sqrt5}=0\\ \quad L_n=\frac{\phi^0+\overline{\phi^0}}{\phi+\overline{\phi}}=\frac{1+1}1=2 \end{cases}$

$\quad\displaystyle F_n=\prod_{k=1}^{\lceil\frac{n-2}2\rceil}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} F_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m-1}\left[3\pm2\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ F_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m}\left[3+2\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

$\quad\displaystyle L_n=\prod_{k=0}^{\lfloor\frac{n-2}2\rfloor}\left[3+2\cos\left(\frac{2k+1}{n}\pi\right)\right]$
$\quad\begin{cases} L_{2m}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m}\left[3\pm2\cos\left(\frac{2k-1}{2m}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m\gt0\\ L_{2m+1}&\displaystyle=\prod_{k=1}^{m}\left[3+2\cos\left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi\right)\right]&\cdots~~n=2m+1\gt0\\ \end{cases}$

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三角関数の$n$倍角を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 三角関数のｎ倍角の公式と双曲線関数を因数分解 」

$m,~n\in\mathbb{Z}_0^+$ とします。$n=0$ のときは $\begin{cases}\sin(n\theta)=0\\\cos(n\theta)=1\\\tan(n\theta)=0\end{cases}$

$\quad\begin{cases} \sin(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\cos\theta\sin\theta\displaystyle\prod_{k=1}^{m-1}\left[\sin\left(\frac{k}{2m}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos(2m\theta)&=\displaystyle2^{2m-1}\displaystyle\prod_{k=1}^{m}\left[\cos\left(\frac{2k-1}{4m}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{2k-1}{4m}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m\gt0$

$\quad\begin{cases} \sin((2m+1)\theta)&=\displaystyle2^{2m}\sin\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\sin\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \cos((2m+1)\theta)&=\displaystyle2^{2m}\cos\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\cos\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \tan((2m+1)\theta)&=\displaystyle\quad~\tan\theta\prod_{k=1}^{m}\left[\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi-\theta\right)\tan\left(\frac{k}{2m+1}\pi+\theta\right)\right]\\ \end{cases}\quad\cdots~~n=2m+1\gt0$

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双曲線関数の$n$倍引数を実数係数範囲で因数分解

→関連記事「 三角関数のｎ倍角の公式と双曲線関数を因数分解 」

$m,~n\in\mathbb{Z}_0^+$ とします。$n=0$ のときは $\begin{cases}\sinh(nx)=0\\\cosh(nx)=1\end{cases}$

$\quad\begin{cases} \sinh(2mx)&=\displaystyle2^m\cosh x\sinh x\prod_{k=1}^{m-1}\left[2\sinh^2x+1\pm\cos\left(\frac{k}{m}\pi\right)\right]\\ \cosh(2mx)&=\displaystyle2^{m-1}\prod_{k=1}^{m}\left[2\cosh^2x-1-\cos\left(\frac{2k-1}{2m}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$
$\quad\begin{cases} \sinh((2m+1)x)&=\displaystyle\quad2^m\sinh x\prod_{k=1}^{m}\left[2\sinh^2x+1-\cos\left(\frac{2k}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \cosh((2m+1)x)&=\displaystyle\quad2^m\cosh x\prod_{k=1}^{m}\left[2\cosh^2x-1-\cos\left(\frac{2k-1}{2m+1}\pi\right)\right]\\ \end{cases}$

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余弦定理・三平方の定理の導出

$+1$ と $e^{(\pi-\theta)i}$ を基底の元とする斜交座標系上の数にその共役を乗じます。詳細は コチラ 。
→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」

$$\begin{align} &(a+be^{(\pi-\theta)i})(a+be^{-(\pi-\theta)i}))=a^2+b^2-2ab\cos\theta\\ \\ &\textstyle特に\theta=\frac\pi2~の時、(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\\ \end{align}$$

（注：共役複素数同士の和と積は幾何学的に$\begin{cases} z+\overline{z}=2\operatorname{Re}z\\ z\cdotp\overline{z}=z^2\\ \end{cases}$）
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ピタゴラス三角形に関する定理

→関連記事「 [超解説] 13の8乗を平方数2つの和で4通りに表わせ 」
→関連記事「 みゆの魔法 その１ 三角形の辺の比 」

任意の偶数 $2ab$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$ |(a+bi)^2|=|(a^2-b^2)+(2ab)i|=a^2+b^2\\[4pt] \quad\rightarrow~2ab~:~a^2-b^2~:~a^2+b^2\\ $$

任意の奇数 $(2a+1)(2b+1)$ を１辺にもつピタゴラス三角形の三辺比
$$\begin{align} &|(2a+1)(2b+1)+[2a(a+1)-2b(b+1)]i|=2a(a+1)+2b(b+1)+1\\[4pt] &\rightarrow~(2a+1)(2b+1)~:~2a(a+1)-2b(b+1)~:~2a(a+1)+2b(b+1)+1\\ &\rightarrow~(a+b+1)^2-(a-b)^2~:~2(a-b)(a+b+1)~:~(a+b+1)^2+(a-b)^2 \end{align}\\ $$

直径 $R=2mn$ の円に外接するピタゴラス三角形の三辺比
$R+m^2:R+2n^2:R+m^2+2n^2$

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二平方恒等式

$$ |(1+i)(a+bi)(a+bi)|^2=|(1+i)(a+bi)(a-bi)|^2\\ \quad\rightarrow~2(a^2+b^2)^2=(a^2-b^2+2ab)^2+(a^2-b^2-2ab)^2\\ $$
$$\begin{cases} s&=\operatorname{Re}(a+bi)^2&=a^2-b^2\\ t&=\operatorname{Im}(a+bi)^2&=2ab\\ \end{cases}\quad \begin{cases} x&=\operatorname{Re}(s+ti)^2&=s^2-t^2\\ y&=\operatorname{Im}(s+ti)^2&=2st\\ \end{cases}\\ \rightarrow~2(a^2+b^2)^4=(x+y)^2+(x-y)^2 $$

$$\begin{align} &(a+bi)^2(c+di)^2\\ =&|(a-bi)(c+di)(a+bi)(c-di)|=|[(ac+bd)+(ad-bc)i][(ac+bd)-(ad-bc)i]|=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2\\ =&|(a+bi)(a+bi)(c+di)(c+di)|=|[(ac-bd)+(ad+bc)i][(ac-bd)+(ad+bc)i]|=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ &\rightarrow~(ac+bd)^2+(ad-bc)^2=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ \end{align}$$

$$[(a^2+b^2)a]^2+[(a^2+b^2)b]^2=[(a^2-3b^2)a]^2+[(3a^2-b^2)b]^2$$

$$(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc)^2=(a^2+b^2+ac)^2+(bc)^2$$

$$\begin{align} &(2a+1)(2b+1)(2c+1)(2d+1)\\ &=[(a+b+1)^2-(a-b)^2][(c+d+1)^2-(c-d)^2]\\ &=[(a+b+1)+(2a+1)c+(2b+1)d]^2-[(a-b)+(2a+1)c-(2b+1)d]^2\\ &=[2(ac+bd)+(a+b)+(c+d)+1]^2-[2(ac-bd)+(a-b)+(c-d)]^2 \end{align}$$

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二平方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{align} &a^2+c^2=b^2+d^2\\ &(am+bn)^2+(cm+dn)^2\\ =&(an+bm)^2+(cn+dm)^2 \end{align}$$

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二立方恒等式を再帰的に生成する等式

→関連記事「 平方和と立方和の恒等式 」

$$\begin{align} &a^3+c^3=b^3+d^3\\ &\left(am^2+bn^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}mn\right)^3+\left(cm^2+dn^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}mn\right)^3\\ =&\left(an^2+bm^2\pm(c+d)\sqrt{\frac{c-d}{b-a}}nm\right)^3+\left(cn^2+dm^2\pm(a+b)\sqrt{\frac{a-b}{d-c}}nm\right)^3 \end{align}$$

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平方和恒等式 その１

$$\begin{align} &(2n+1)^2+[2n(n+1)]^2=[2n(n+1)+1]^2\\[8pt] &(2m-1)(2n+1)^2+[\underbrace{2n(n+1)-(m-1)}_{n(2n+1)+(n-m)+1}]^2=[\underbrace{2n(n+1)+m}_{n(2n+1)+(n+m)}]^2\\ &[n(2n+1)]^2+\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n-m)+1\right]^2}_{n(2n+1)+1～n(2n+1)+n~までの平方和}=\underbrace{\sum_{m=1}^n\left[n(2n+1)+(n+m)\right]^2}_{n(2n+1)+n+1～n(2n+1)+2n~までの平方和} \end{align}$$
$$\\[8pt]$$

平方和恒等式 その２

平方和の魔方陣を探索するのに使えそうです。
$$\begin{align} &A^2+B^2=C^2+D^2=E^2+F^2=G^2+H^2=I^2+I^2\\ &A^2+I^2+B^2=C^2+I^2+D^2=E^2+I^2+F^2=G^2+I^2+H^2=3I^2\\\\ &\begin{cases} A=(a^2+b^2)(c^2-d^2-2cd)\\ B=(a^2+b^2)(c^2-d^2+2cd)\\ C=(a^2-b^2-2ab)(c^2+d^2)\\ D=(a^2-b^2+2ab)(c^2+d^2)\\ E=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2-2(ac+bd)(ad-bc)\\ F=(ac+bd)^2-(ad-bc)^2+2(ac+bd)(ad-bc)\\ G=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2-2(ac-bd)(ad+bc)\\ H=(ac-bd)^2-(ad+bc)^2+2(ac-bd)(ad+bc)\\ I=(a^2+b^2)(c^2+d^2) \end{cases} \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三辺比恒等式 その１

$$\begin{align} &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)(c^2+d^2-2cd\cos\theta)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc-2bd\cos\theta)^2-2(ac-bd)(ad+bc-2bd\cos\theta)\cos\theta\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd-2bc\cos\theta)^2-2(ad-bc)(ac+bd-2bc\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2-2ab\cos\theta)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2)(2ab-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ \\ &(a^2+b^2+abx)(c^2+d^2+cdx)\\ =&(ac-bd)^2+(ad+bc+bdx)^2+(ac-bd)(ad+bc+bdx)x\\ =&(ad-bc)^2+(ac+bd+bcx)^2+(ad-bc)(ac+bd+bcx)x\\ \\ &(a^2+b^2+abx)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab+b^2x)^2+(a^2-b^2)(2ab+b^2x)x\\ \\ &(a^2+b^2)^2\\ =&(a^2-b^2)^2+(2ab)^2\\ =&|(a^2-b^2)+(2ab)i|^2\\ =&|(a+bi)^2|^2\\ =&|(a+bi)(a-bi)|^2 \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

三辺比恒等式 その２

$$\begin{align} &(a^2-b^2+ac)^2+(2ab+bc-2b^2\cos\theta)^2-2(a^2-b^2+ac)(2ab+bc-2b^2\cos\theta)\cos\theta\\ =&(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)^2+(bc)^2-2(a^2+b^2+ac-2ab\cos\theta)(bc)\cos\theta \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

ｎ乗和の公式と歴史的ベルヌーイ数を同時に生成する式

→関連記事「 ｎ乗和の公式を作る裏ワザ 」

$m=1$ に固定すると与式が常に $1^n=1$ という恒等式になるため、$n=0$ から目的の次数まで順次代入していくと歴史的ベルヌーイ数（関・ベルヌーイ数） $\hat B_k$ が求まります。
$$\displaystyle\sum_{k=1}^mk^n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^n\pmatrix{n+1\\k}\hat B_km^{n+1-k}$$

$$\\[8pt]$$

逆正接関数の分解公式

→関連記事「 みゆ式分数分解でマチンの公式を作ろう♪ 」
→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{align} \arctan\frac1p=\arctan\frac{q}{pq\pm r}\pm\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q}\\[8pt] \arctan\frac{q}{pq\pm r}=\arctan\frac1p\mp\arctan\frac{r}{(pq\pm r)p+q} \end{align}$$

$p=F_{2m}$、$q=1$、$r=F_{2m-1}$ のとき
$$\quad\arctan\frac1{F_{2m}}=\arctan\frac1{F_{2m+1}}+\arctan\frac1{F_{2m+2}}$$
$q=1$、$r=1$ のとき
$$\quad\arctan\frac1p=\arctan\frac{1}{p+1}+\arctan\frac{1}{p^2+p+1}$$
$p=1$ のとき
$$\quad\frac{\pi}4=\arctan\frac q{q\pm r}\pm\arctan\frac{r}{2q\pm r}$$

$$\\[8pt]$$

円周率と黄金数とフィボナッチ数とリュカ数の等式

→関連記事「 【収束】 ☆牛tan分解で導く円周率の興味深い等式☆ 【可視化】 」

$$\begin{align}\frac\pi2 =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{L_{2n}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0} ^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+1}}}_{\arctan\phi}+\underbrace{\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{4n+3}}}_{\arctan\frac1\phi}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{F_{2n+1}}\\ =&\sum_{n=0}^\infty\arctan\frac1{n^2+n+1}\\ \end{align}$$

　$\begin{cases} \pi~は円周率\\ \phi~は黄金数~\frac{1+\sqrt5}2\\ F_m~は~m~番目のフィボナッチ数\\ L_m~は~m~番目のリュカ数 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

円周率を求める公式の生成式

例えば $Z_\theta=1+i$、$Z=5+i$、$N=4$ とすればマチンの公式を導出できます。
$$\begin{align} &\mathrm{Arg}(Z_\theta)&&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)\sin\theta-\mathrm{Im}(Z^N)\cos\theta}{\mathrm{Re}(Z^N)\cos\theta+\mathrm{Im}(Z^N)\sin\theta}\\ &\mathrm{Arg}(1+i)&=\frac{\pi}4&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)-\mathrm{Im}(Z^N)}{\mathrm{Re}(Z^N)+\mathrm{Im}(Z^N)}\\ &\mathrm{Arg}(i)&=\frac{\pi}2&=N\arctan\frac{\mathrm{Im}(Z)}{\mathrm{Re}(Z)}+\arctan\frac{\mathrm{Re}(Z^N)}{\mathrm{Im}(Z^N)}\\\\ \end{align}$$
$\quad\quad\begin{cases} Z,\ Z_\theta\in\mathbb{C}\\ N\in\mathbb{Z}\\ -\frac\pi2\lt\mathrm{Arg}(Z_\theta)=\theta\leqq\frac\pi2\\ 0\leqq\mathrm{Arg}(Z^N)\lt\frac\pi2 \end{cases}$

$$\\[8pt]$$

$L^2$空間の単位円の周長を$L^p$-ノルムで計測

$$8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\|n(2k-1)+(n^2-k(k-1))i\|_p}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}$$

$p=2$ のとき
\begin{align} &8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n\sqrt{n^2(2k-1)^2+(n^2-k(k-1))^2}}{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}\\ =&8\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{\sqrt{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}}\\ ~~~~\pi=&4\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{\sqrt{(n^2+k^2)(n^2+(k-1)^2)}}\\ =&4\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+(k+\lambda)^2}~\cdots~\lambda~\text{は任意の実数(複素数は未確認)}\\ \LARGE(\normalsize=&4\int_0^1\frac1{1+x^2}dx=4\left[\arctan x\right]_0^1\LARGE)\normalsize \end{align}

$$\\[8pt]$$

黄金数の累乗の級数展開

$$\phi^n=\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\phi^{n-k}$$
$$\\[8pt]$$

三次方程式解の公式

$\omega=\frac{-1\pm\sqrt3i}2$

・$ax^3+bx^2+cx+d=0$ の解の公式
$\quad\begin{cases} B=&2b^3+9a(3ad-bc)\\ C=&(b^2-3ac)^3\\ \end{cases}$
$$\quad\quad\quad\begin{align} x=&\frac{-b+\omega\sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{B^2-4C}}2}+\omega^{-1}\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{B^2-4C}}2}}{3a}\\ \end{align}$$
$\quad\begin{cases} B=&b^3+\frac{9a(3ad-bc)}2\\ C=&(b^2-3ac)^3\\ \end{cases}$
$$\quad\quad\begin{align} \quad x=&\frac{-b+\omega\sqrt[3]{-B+\sqrt{B^2-C}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{-B-\sqrt{B^2-C}}}{3a}\\ \end{align}$$
$ $
・$x^3+bx^2+cx+d=0$ の整数解の公式
$$\quad\quad\{a,b,c,d,\alpha,\beta\}\in\mathbb{Z}$$
$\quad\begin{cases} \alpha\beta=2b^3+9(3d-bc)\\ \beta^2-\alpha=3(b^2-3c)\\ \end{cases}$
$$\quad\quad\quad\begin{align} x=\begin{cases} -\frac{b+\beta}3\\ \frac{-2b+\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha}}6 \end{cases} \end{align}$$
$ $
・$x^3+3bx^2+cx+d=0$ の解の公式
$\quad\begin{cases} B=2b^3-bc+d\\ C=\left(b^2-\frac c3\right)^3\\ \end{cases}$
$$\quad\quad\quad\begin{align} x=&-b+\omega\sqrt[3]{\frac{-B+\sqrt{B^2-4C}}2}+\omega^{-1}\sqrt[3]{\frac{-B-\sqrt{B^2-4C}}2}\\ \end{align}$$
$\quad\begin{cases} B&=b^3-\frac{bc-d}2\\ C&=\left(b^2-\frac c3\right)^3\\ B'C'&=2b^3-bc+d~(=2B)\\ B'^2-C'&=3b^2-c\\ \end{cases}$
$$\quad\quad\quad\begin{align} x=&-b+\omega\sqrt[3]{-B+\sqrt{B^2-C}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{-B-\sqrt{B^2-C}}\\ =&\begin{cases} -b-B'\\ \displaystyle-b+\underbrace{\frac{B'\pm\sqrt{B'-4C'}}2}_{X^2-B'X+C'=0~の解}=-b+\underbrace{\frac{B'}2\pm\sqrt{\left(\frac{B'}2\right)^2-C'}}_{X^2-B'X+C'=0~の解} \end{cases} \end{align}$$
$ $
・$x^3+ax+b=0$ の解の公式
$$\quad\quad\begin{align} x=&\omega\sqrt[3]{\frac{-b+\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}+\omega^{-1}\sqrt[3]{\frac{-b-\sqrt{b^2-4\left(-\frac a3\right)^3}}2}\\ =&\omega\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)+\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}+\omega^{-1}\sqrt[3]{-\left(\frac{b}2\right)-\sqrt{\left(\frac{b}2\right)^2+\left(\frac a3\right)^3}}\\ \end{align}$$

$$\\[8pt]$$

二重根号恒等式 その１

→関連記事「 間違った計算で成立する三乗根の等式 」

よくある三乗根の二重根号問題は、ほぼこれで解けます。

$$\begin{align} \begin{cases} ~~~~~d&=\sqrt[3]{\left(\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\right)^2-\left(\textcolor{#07f}{S}\sqrt{R}\right)^2}\\ +3d&=2\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#00f}{R}~\rightarrow~\textcolor{#f00}{P}=2\textcolor{#07f}{S}+d\\ -3d&=2\textcolor{#f7c}{T}-\textcolor{#f00}{P}~\rightarrow~\textcolor{#00f}{R}=2\textcolor{#f7c}{T}-d\\ \end{cases}\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\begin{cases}\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=\frac{\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}2\\ ~d=\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T},~4d=\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R}\\ \textcolor{#f00}{P}=3\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}\\ \textcolor{#00f}{R}=3\textcolor{#f7c}{T}-\textcolor{#07f}{S}\\ \end{cases} \quad\quad \end{align}$$

$ $

$$\begin{align}n^3=\frac{\textcolor{#f7c}{T}}{\textcolor{#f00}{P}+3\textcolor{#00f}{R}}=\frac{\textcolor{#07f}{S}}{\textcolor{#00f}{R}+3\textcolor{#f00}{P}}~\left(=\frac{\textcolor{#07f}{S}-\textcolor{#f7c}{T}}{2(\textcolor{#f00}{P}-\textcolor{#00f}{R})}\right)\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f00}{\pm}\textcolor{#f7c}{T}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\textcolor{#07f}{S}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}}=n\left(\textcolor{#f00}{\pm}\sqrt{\textcolor{#f00}{P}}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{\textcolor{#00f}{R}}\right)\end{align}$$

$ $

$$\begin{align} y^3=\textcolor{#f7c}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#f7c}{x-y}}{2}}\right)}^2\textcolor{#f00}{(x+2y)}-\textcolor{#07f}{\left(\textcolor{#000}{\frac{\textcolor{#07f}{x+y}}2}\right)}^2\textcolor{#00f}{(x-2y)}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\frac{\textcolor{#f7c}{\pm(x-y)}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm(x+y)}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2}=\frac{\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{x+2y}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{x-2y}}}2 \end{align}$$

$ $

$$\begin{align} q^3=\textcolor{#f7c}{(q+4r)}^2\textcolor{#f00}{(q+r)}-\textcolor{#07f}{(3q+4r)}^2\textcolor{#00f}{r}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\\[8pt] \Rightarrow\displaystyle\sqrt[3]{\textcolor{#f7c}{\pm(q+4r)}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm(3q+4r)}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}}}=\textcolor{#f7c}{\pm}\textcolor{#f00}{\sqrt{q+r}}\textcolor{#07f}{\pm}\textcolor{#00f}{\sqrt{r}} \end{align}$$

$ $

$$\sqrt[3]{\textcolor{#f00}\pm\frac{s+8r}3\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}{\pm}\sqrt{s^2r}}=\textcolor{#f00}\pm\sqrt{\frac{s-r}3}\textcolor{#00f}\pm\sqrt{r}$$
$$\\[8pt]$$

二重根号恒等式 その２

$$\sqrt{\frac{n^{2a-b-1}+n^b}2\sqrt{n}\pm n^a}=\sqrt[4]{\frac{n}4}\left(\sqrt{n^{2a-b-1}}\pm\sqrt{n^b}\right)$$

$$\\[8pt]$$