二重対数関数の特殊値

$\phi^2-\phi-1=0$を用いる.
$$\begin{align} \mathrm{Li}_2\pare{-x}-\mathrm{Li}_2\pare{1-x}+\dfrac{1}{2}\mathrm{Li}_2\pare{1-x^2}=-\dfrac{\pi^2}{12}-\pare{\ln x}\ln\pare{1+x} \end{align}$$
に$x=\phi$を代入して,
$$ \begin{align} &\mathrm{Li}_2\pare{-\phi}-\mathrm{Li}_2\pare{1-\phi}+\dfrac{1}{2}\mathrm{Li}_2\pare{-\phi} =-\dfrac{\pi^2}{12}-\pare{\ln\phi}\ln\pare{1+\phi} \\ \Longleftrightarrow\ \ &\dfrac{3}{2}\mathrm{Li}_2\pare{-\phi}-\mathrm{Li}_2\pare{1-\phi}=-\dfrac{\pi^2}{12}-2\ln^2\phi, \end{align}$$
また,
$$\begin{align} \mathrm{Li}_2\pare{x}+\mathrm{Li}_2\pare{\dfrac{1}{x}}=-\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{2}\ln^2\pare{-x} \end{align}$$
に, $x=-\phi$を代入すると,
$$\begin{align} &\mathrm{Li}_2\pare{-\phi}+\mathrm{Li}_2\pare{-\dfrac{1}{\phi}}=-\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{2}\ln^2\phi \\ \Longleftrightarrow\ \ & \mathrm{Li}_2\pare{-\phi}+\mathrm{Li}_2\pare{1-{\phi}}=-\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{2}\ln^2\phi \end{align} $$
これらを, $\mathrm{Li}_2\pare{-\phi},\ \mathrm{Li}_2\pare{1-\phi}$について解き直すと,
$$\begin{align} \mathrm{Li}_2\pare{-\phi}=-\dfrac{\pi^2}{10}-\ln^2\phi ,\ \ \mathrm{Li}_2\pare{1-\phi}=\mathrm{Li}_2\pare{-\dfrac{1}{\phi}}=-\dfrac{\pi^2}{15}+\dfrac{1}{2}\ln^2\phi\end{align}$$
が分かる.

定義通り計算する.
$$\begin{align} &\mathrm{Li}_2\pare{i} \\ &=\sum_{k=1}^\infty\dfrac{i^k}{k^2} \\ &=\sum_{n=1}^\infty\pare{\dfrac{i^{4n}}{\pare{4n}^2}+\dfrac{i^{4n-3}}{\pare{4n-3}^2}+\dfrac{i^{4n-2}}{\pare{4n-2}^2}+\dfrac{i^{4n-1}}{\pare{4n-1}^2}} \\ &=\dfrac{1}{16}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^2}-\dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{\pare{2n-1}^2}+i\sum_{n=1}^\infty\pare{\dfrac{1}{\pare{4n-3}^2}-\dfrac{1}{\pare{4n-1}^2}} \\ &=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{\pi^2}{6}-\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\pi^2}{8}+i\sum_{n=1}^\infty\dfrac{\pare{-1}^{n-1}}{\pare{2n-1}^2} \\ &=-\dfrac{\pi^2}{48}+iC \end{align}$$