一般化に挑戦

はじめに

この記事では級数や積分の一般化について説明していきます。作問と同様に少しでも多くの人に一般化に興味を持ててもらえたらいいな、と思い作成することにしました。

本題

一般化ですが、多くが一般化されていない式の定数部分を文字にして計算するという方法です。試しに次の簡単な積分を例にして考えてみましょう。(原案: 白茶 さん)

解いてみます。

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\cos }^{2}x}dx\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+\frac{1}{{\cos }^{2}x}}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2+{\tan }^{2}x}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2+t^2}dt(t=\tan x)\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2(1+{\tan }^2\theta )}\frac{\sqrt{2}}{{\cos }^2\theta }d\theta (t=\sqrt{2}\tan \theta )\\ & =& \frac{1}{\sqrt{2}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ & =& \frac{\pi }{2\sqrt{2}}\end{array}$

解けましたね。今回はこの積分の一般化を考えてみましょう。この解法をベースにして考えた時にどこの定数なら変えても解けそうか、を考えてみると楽かもしれません。ここでは分母の$1$を$a$に変えても同じ解法で解けそうなのでそれを解いてみます。

$\begin{array}{rcl}& & {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{a+{\cos }^{2}x}dx\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+\frac{a}{{\cos }^{2}x}}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{a+1+a{\tan }^{2}x}\frac{dx}{{\cos }^{2}x}\\ & =& {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1+a+a{t}^2}dt(t=\tan x)\\ & =& \frac{1}{a}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\frac{1+a}{a}+t^2}dt\\ & =& \frac{1}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{\frac{1+a}{a}(1+{\tan }^2\theta )}\sqrt{\frac{1+a}{a}}\frac{d\theta }{{\cos }^2\theta }(t=\sqrt{\frac{1+a}{a}}\tan \theta )\\ & =& \frac{1}{\sqrt{a(1+a)}}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta \\ & =& \frac{\pi }{2\sqrt{a(1+a)}}\end{array}$

よって、

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{a+{\cos }^{2}x}dx=\frac{\pi }{2\sqrt{a(1+a)}}}$

がわかりました。一般化が完成しましたね。

ちなみにですが、この一般化がわかったことにより こちら の記事にある問題が少しの工夫で解けるようになります。

おわりに

今回は一般化に挑戦というタイトルで記事を書いてみました。簡単な一般化でも使い方によってはかなり強力になる時があります。是非チャレンジしてみてください。