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積分解説17

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/18に出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/749

$$ \displaystyle \int_0^{\frac\pi2} \frac1{1+\cos^4x}dx $$

[解説]

こちら で導出した一般化に$a=i$を代入します。

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx=\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}} $

$\d\Im\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx=\Im\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}} $

ここで、

$ \begin{eqnarray*} &&\d\Im\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx\\ &=&\Im\int_0^{\frac\pi2} \frac{i-\cos^2x}{1+\cos^4x}dx\\ &=&\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} &&\d\Im\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}}\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}\sqrt{-\frac1{\sqrt2}-\frac i{\sqrt2}}\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}\sqrt{e^{-\frac34\pi i+2n\pi i}}~~~~~~~~~~(n\in \{0,1\})\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i} \end{eqnarray*} $

より、

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx=\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i} $

また、

$\d\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i}=\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx>0 $

であり、

$\d\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i}=-\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi <0$

より$n=0$は不適であるから$n=1$です。従って、

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx=\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{\frac58\pi i}=\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi $

よって、この問題の解答は$\d\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi$となります。

投稿日:20201118

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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