積分解説17

2020/11/18に出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/749

[解説]

こちら で導出した一般化に$a=i$を代入します。

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{i+{\cos }^{2}x}dx=\frac{\pi }{2\sqrt{i(i+1)}}}$

${\displaystyle \mathrm{Im}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{i+{\cos }^{2}x}dx=\mathrm{Im}\frac{\pi }{2\sqrt{i(i+1)}}}$

ここで、

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \mathrm{Im}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{i+{\cos }^{2}x}dx}\\ & =& \mathrm{Im}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{i-{\cos }^{2}x}{1+{\cos }^{4}x}dx\\ & =& {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\cos }^{4}x}dx\end{array}$

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \mathrm{Im}\frac{\pi }{2\sqrt{i(i+1)}}}\\ & =& \mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}\sqrt{-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}}\\ & =& \mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}\sqrt{e^{-\frac{3}{4}\pi i+2n\pi i}}(n\in \{0,1\})\\ & =& \mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}{e}^{-\frac{3}{8}\pi i+n\pi i}\end{array}$

より、

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\cos }^{4}x}dx=\mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}{e}^{-\frac{3}{8}\pi i+n\pi i}}$

また、

${\displaystyle \mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}{e}^{-\frac{3}{8}\pi i+n\pi i}={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\cos }^{4}x}dx>0}$

であり、

${\displaystyle \mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}{e}^{-\frac{3}{8}\pi i}=-\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi <0}$

より$n=0$は不適であるから$n=1$です。従って、

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{1+{\cos }^{4}x}dx=\mathrm{Im}\frac{\pi }{2^{\frac{5}{4}}}{e}^{\frac{5}{8}\pi i}=\frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi }$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{\sqrt{1+\sqrt{2}}}{4}\pi }$となります。