積分解説17

2020/11/18に出題した問題です。

https://mathlog.info/articles/749

[解説]

こちら で導出した一般化に$a=i$を代入します。

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx=\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}} $

$\d\Im\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx=\Im\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}} $

ここで、

$ \begin{eqnarray*} &&\d\Im\int_0^{\frac\pi2}\frac1{i+\cos^2x}dx\\ &=&\Im\int_0^{\frac\pi2} \frac{i-\cos^2x}{1+\cos^4x}dx\\ &=&\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} &&\d\Im\frac\pi{2\sqrt{i(i+1)}}\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}\sqrt{-\frac1{\sqrt2}-\frac i{\sqrt2}}\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}\sqrt{e^{-\frac34\pi i+2n\pi i}}~~~~~~~~~~(n\in \{0,1\})\\ &=&\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i} \end{eqnarray*} $

より、

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx=\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i} $

また、

$\d\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i+n\pi i}=\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx>0 $

であり、

$\d\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{-\frac38\pi i}=-\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi <0$

より$n=0$は不適であるから$n=1$です。従って、

$\d\int_0^{\frac\pi2}\frac1{1+\cos^4x}dx=\Im\frac\pi{2^{\frac54}}e^{\frac58\pi i}=\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi $

よって、この問題の解答は$\d\frac{\sqrt{1+\sqrt2}}4\pi$となります。