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有限群の基本知識

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はじめに

本稿では「位数nの群を力技で求める」シリーズの執筆および閲覧を楽にするためにいくつかの知識をいくつか紹介することが目的である。

定義

Gを二項演算:G×GGの備わった空でない集合とする。この二項演算に対して次の3つの条件が成立するときGは(に関して)群であるという。
⑴ある元eGが存在して任意の元aに対して、ae=ea=aとなる。
⑵任意の元aGについてある元bGが存在して、ab=ba=eとなる。(eは⑴のeである。)
⑶任意の元a,b,cGについて、(ab)c=a(bc)が成立する。

Gを群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴上のeは一意的に存在する。
⑵上のbaに対して一意的に存在する。

e,eを条件を満たすGの元とする。e=ee=eより唯一つであることがわかる。
b,bを条件を満たすGの元とする。b=b(ab)=(ba)b=bより唯一つであることがわかる。

eのことをGの単位元という。 以下、Gを群としてeをその単位元とする。

Gの元の個数が有限個しかないとき、Gを有限群という。このときGの元の個数をGの位数という。
⑵元aGについてan=eとなるような正の整数nが存在するときそのようなもののうち、最小なものをaの位数という。

nを正の整数、Gを位数nの群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴任意の元aGについてある正整数iが存在してai=eとなる。
⑵任意の元aGについてaの位数はnの約数である。

ijaiajが成立したとすると、a0,a1,,am,はいずれも異なる。さらにこれらはGの元でもある。しかし、Gは有限群なのでこのようなことは起こりえない。したがって、ijai=ajを同時に満たすものが存在する。ijであるからi<jであるとしても一般性は失われなず、a|ji|=eが求める式となる。
nmで割ったときの商をq, 余りをrとする。r=0であることを示したらよい。m=1,nの場合は特に考えなくてもよいのでそうでない時について考える。aは単位元ではない。r0だと仮定する。
数列{xk}k=1,,qを次のように帰納的に定める。
x1=a
x1,,xk1まで定まっていたとしてakG{e,a,,am1,x1,,am1x1,,xk1,,am1xk1}の元とする。(どれでもよい。)
ここで、e,a,,am1,x1,,am1x1,,xk1,,am1xk1はいずれも異なることに注意すべきである。もし、asxi=atxj(ij)であったとすると、xi=atsxj=am+tsxjとなり数列{xk}k=1,,qの取り方よりs=tおよびi=jを得るからである。同様に、xq+1を考えて{e,a,,am1,,xq+1,,am1xq+1}Gとなる。さらに左辺の元はすべて異なる。左辺の元の個数=(q+1)m>n=右辺の元の個数となりこれは明らかに矛盾である。したがって、r=0である必要がある。

長い証明を終えることができた。命題2に名前がないと不便なので「Lagrangeの定理」ということにする。よく知られたLagrangeの定理を用いると命題2は楽に示せるのでそう呼ぶのが適切であろう。

位数57の群においてその元の位数は1,3,19,57のいずれかである。

次の命題は極々簡単に示すことができる。

nを正の整数、Gを位数nの群とする。位数nの元aが存在するとき、G={a0,a1,,ap1}である。演算としてはaiaj=ai+jpである。

つまり、「位数nの群を力技で求める」シリーズにおいては位数nの元が存在しないという仮定のもとで考えてもよい。(存在したとすると上のような群の構造になるので。)

参考

『代数学Ⅰ 群論入門』(雪江 明彦)(日本評論社)

投稿日:20201118
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投稿者

B2 現在代数学(特に環論)を勉強中。 将来は群論やりたいとか思ってます。 気が向いた時に更新していく感じでいきます。

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