有限群の基本知識

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はじめに

本稿では「位数$n$の群を力技で求める」シリーズの執筆および閲覧を楽にするためにいくつかの知識をいくつか紹介することが目的である。

定義

$G$を二項演算$\cdot :G\times G\rightarrow G$の備わった空でない集合とする。この二項演算に対して次の3つの条件が成立するとき$G$は($\cdot$に関して)群であるという。
⑴ある元$e \in G$が存在して任意の元$a$に対して、$ae=ea=a$となる。
⑵任意の元$a \in G$についてある元$b\in G$が存在して、$ab=ba=e$となる。($e$は⑴の$e$である。)
⑶任意の元$a,b,c\in G$について、$(ab)c=a(bc)$が成立する。

$G$を群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴上の$e$は一意的に存在する。
⑵上の$b$は$a$に対して一意的に存在する。

⑴$e, e'$を条件を満たす$G$の元とする。$e'=e'e=e$より唯一つであることがわかる。
⑵$b, b'$を条件を満たす$G$の元とする。$b=b(ab')=(ba)b'=b'$より唯一つであることがわかる。

$e$のことを$G$の単位元という。以下、$G$を群として$e$をその単位元とする。

⑴$G$の元の個数が有限個しかないとき、$G$を有限群という。このとき$G$の元の個数を$G$の位数という。
⑵元$a \in G$について$a^n=e$となるような正の整数$n$が存在するときそのようなもののうち、最小なものを$a$の位数という。

$n$を正の整数、$G$を位数$n$の群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴任意の元$a\in G$についてある正整数$i$が存在して$a^i=e$となる。
⑵任意の元$a\in G$について$a$の位数は$n$の約数である。

⑴$i\neq j \Rightarrow a^i \neq a^j$が成立したとすると、$a^0,a^1,\dots ,a^m, \dots $はいずれも異なる。さらにこれらは$G$の元でもある。しかし、$G$は有限群なのでこのようなことは起こりえない。したがって、$i\neq j$と$a^i=a^j$を同時に満たすものが存在する。$i \neq j$であるから$i< j$であるとしても一般性は失われなず、$a^{|j-i|}=e$が求める式となる。
⑵$n$を$m$で割ったときの商を$q$, 余りを$r$とする。$r=0$であることを示したらよい。$m=1,n$の場合は特に考えなくてもよいのでそうでない時について考える。$a$は単位元ではない。$r\neq 0$だと仮定する。
数列$\{x_k\}_{k=1, \dots ,q}$を次のように帰納的に定める。
①$x_1=a$
②$x_1, \dots ,x_{k-1}$まで定まっていたとして$a_k$を$G\setminus \{e,a,\dots ,a^{m-1},x_1,\dots ,a^{m-1}x_1,\dots ,x_{k-1},\dots ,a^{m-1}x_{k-1}\}$の元とする。(どれでもよい。)
ここで、$e,a,\dots ,a^{m-1},x_1,\dots ,a^{m-1}x_1,\dots ,x_{k-1},\dots ,a^{m-1}x_{k-1}$はいずれも異なることに注意すべきである。もし、$a^sx_i=a^tx_j(i \leq j)$であったとすると、$x_i=a^{t-s}x_j=a^{m+t-s}x_j$となり数列$\{x_k\}_{k=1, \dots ,q}$の取り方より$s=t$および$i=j$を得るからである。同様に、$x_{q+1}$を考えて$\{e,a,\dots ,a^{m-1},\dots ,x_{q+1},\dots ,a^{m-1}x_{q+1}\}\subset G$となる。さらに左辺の元はすべて異なる。左辺の元の個数$=(q+1)m>n=$右辺の元の個数となりこれは明らかに矛盾である。したがって、$r=0$である必要がある。