はじめに
本稿では「位数の群を力技で求める」シリーズの執筆および閲覧を楽にするためにいくつかの知識をいくつか紹介することが目的である。
定義
を二項演算の備わった空でない集合とする。この二項演算に対して次の3つの条件が成立するときは(に関して)群であるという。
⑴ある元が存在して任意の元に対して、となる。
⑵任意の元についてある元が存在して、となる。(は⑴のである。)
⑶任意の元について、が成立する。
を群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴上のは一意的に存在する。
⑵上のはに対して一意的に存在する。
⑴を条件を満たすの元とする。より唯一つであることがわかる。
⑵を条件を満たすの元とする。より唯一つであることがわかる。
のことをの単位元という。 以下、を群としてをその単位元とする。
⑴の元の個数が有限個しかないとき、を有限群という。このときの元の個数をの位数という。
⑵元についてとなるような正の整数が存在するときそのようなもののうち、最小なものをの位数という。
を正の整数、を位数の群とする。このとき、⑴, ⑵が成立する。
⑴任意の元についてある正整数が存在してとなる。
⑵任意の元についての位数はの約数である。
⑴が成立したとすると、はいずれも異なる。さらにこれらはの元でもある。しかし、は有限群なのでこのようなことは起こりえない。したがって、とを同時に満たすものが存在する。であるからであるとしても一般性は失われなず、が求める式となる。
⑵をで割ったときの商を, 余りをとする。であることを示したらよい。の場合は特に考えなくてもよいのでそうでない時について考える。は単位元ではない。だと仮定する。
数列を次のように帰納的に定める。
①
②まで定まっていたとしてをの元とする。(どれでもよい。)
ここで、はいずれも異なることに注意すべきである。もし、であったとすると、となり数列の取り方よりおよびを得るからである。同様に、を考えてとなる。さらに左辺の元はすべて異なる。左辺の元の個数右辺の元の個数となりこれは明らかに矛盾である。したがって、である必要がある。
長い証明を終えることができた。命題2に名前がないと不便なので「の定理」ということにする。よく知られたの定理を用いると命題2は楽に示せるのでそう呼ぶのが適切であろう。
次の命題は極々簡単に示すことができる。
を正の整数、を位数の群とする。位数の元が存在するとき、である。演算としてはである。
つまり、「位数の群を力技で求める」シリーズにおいては位数の元が存在しないという仮定のもとで考えてもよい。(存在したとすると上のような群の構造になるので。)
参考
『代数学Ⅰ 群論入門』(雪江 明彦)(日本評論社)