神鳥奈紗 さんの 積分問題10 を勝手に解いてみました。
∫0π/2dx1+cos4x=?
∫0π/2dx1+cos4x=∫0∞11+(11+tan2x)211+tan2xd(tanx)=∫0∞x2+1x4+2x2+2dx=∫0∞x2+1(x2−2px+2)(x2+2px+2)dx, (p=21/4cos(3π/8))=∫0∞(ax+bx2−2px+2+−ax+bx2+2px+2)dx=∫0∞((x2−2px+2)′a/2+ap+bx2−2px+2+(x2+2px+2)′(−a)/2+ap+bx2+2px+2)dx=[a2log(x2−2px+2)−a2log(x2+2px+2)]0∞+∫0∞ap+bx2−2px+2dx+∫0∞ap+bx2+2px+2dx=a2[logx2−2px+2x2+2px+2]0∞+∫0∞ap+bx2−2px+2dx+∫0∞ap+bx2+2px+2dx=∫0∞ap+b(x−p)2−p2+2dx+∫0∞ap+b(x+p)2−p2+2dx=(ap+b)π/2−(−π/8)2−p2+(ap+b)π/2−π/82−p2=(ap+b)π2−p2=12(1−1/22+12)π2−2cos2(3π/8)=122+24π2sin38π=122+242π=2+14π
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