オーダーによる同値関係
極限操作でも同値関係が取れるんだなと気付きましたので記事にしてみました$.$
多項式全体の集合$A$の要素$f,g$に対し関係$\sim$を
\begin{eqnarray}
f\sim g\overset{\rm{\ def}}{\iff}\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}
\end{eqnarray}
と定めたとき$,\sim$は$A$上で同値関係となる$.$
反射律
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{f(x)}=\lim_{x\to\infty}1=1\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$より$f\sim f.$対称律
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$なら$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{1}{a}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
よって$f\sim g$ならば$g\sim f.$推移律
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$かつ$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{g(x)}{h(x)}=b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$なら
$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x)}{h(x)}=ab\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
よって$f\sim g$かつ$g\sim h$ならば$f\sim h.$
以上より関係$\sim$は$A$上で同値関係となる$.$
\begin{eqnarray}
\blacksquare
\end{eqnarray}
要はこれ$,$関係$\sim$を満たすことがお互いの多項式の次数が同じであることを表しています$.$
同値類を見てみましょう$.n\in\mathbb{Z}_{\geq0}$とします$.\deg(f)$で$f$の次数を表します$.$
\begin{eqnarray} [x^n]=\{f\in A\ |\deg(f)=n\} \end{eqnarray}
$[x^n]=\{f\in A\ |x^n\sim f\}$より$x^n\sim f\iff\deg(f)=n$を示せばよい$.$
$(\Longrightarrow)$
$\ell\in\mathbb{N}$において$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\ell}a_kx^k\ (a_{\ell}\neq0)$とおくと
\begin{eqnarray}
\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{\ell}a_kx^{k-n}}=\left\{\begin{array}{ll}
0&(\ell>n)\\
\frac{1}{a_{n}}&(\ell=n)\\
\infty&(\ell< n)\\
\end{array}\right.
\end{eqnarray}
$\ell=n$に限り$x^n\sim f$となるため示された$.$
$(\Longleftarrow)$
$\deg(f)=n\Longrightarrow f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\ (a_n\neq0)$とおけて$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{a_n}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
より示された$.$
以上より$x^n\sim f\iff\deg(f)=n$がいえたため$[x^n]=\{f\in A\ |\deg(f)=n\}$
\begin{eqnarray}
\blacksquare
\end{eqnarray}
このことから$,$オーダーが等しい多項式の次数は$n$によってグループ分けが可能になります.
自明ともとれる主張ですがこんな性質を見つけられるのは面白いですね$.$