オーダーによる同値関係

1. 反射律
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{f(x)}=\lim_{x\to\infty}1=1\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$より$f\sim f.$

2. 対称律
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$なら$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{1}{a}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
   よって$f\sim g$ならば$g\sim f.$

3. 推移律
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$かつ$\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{g(x)}{h(x)}=b\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$なら
   $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{h(x)}=\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot\frac{g(x)}{h(x)}=ab\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
   よって$f\sim g$かつ$g\sim h$ならば$f\sim h.$

以上より関係$\sim$は$A$上で同値関係となる$.$
\begin{eqnarray} \blacksquare \end{eqnarray}

$[x^n]=\{f\in A\ |x^n\sim f\}$より$x^n\sim f\iff\deg(f)=n$を示せばよい$.$

$(\Longrightarrow)$
$\ell\in\mathbb{N}$において$f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{\ell}a_kx^k\ (a_{\ell}\neq0)$とおくと
\begin{eqnarray} \lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{\sum_{k=0}^{\ell}a_kx^{k-n}}=\left\{\begin{array}{ll} 0&(\ell>n)\\ \frac{1}{a_{n}}&(\ell=n)\\ \infty&(\ell< n)\\ \end{array}\right. \end{eqnarray}
$\ell=n$に限り$x^n\sim f$となるため示された$.$

$(\Longleftarrow)$
$\deg(f)=n\Longrightarrow f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\ (a_n\neq0)$とおけて$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{a_n}\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$
より示された$.$

以上より$x^n\sim f\iff\deg(f)=n$がいえたため$[x^n]=\{f\in A\ |\deg(f)=n\}$
\begin{eqnarray} \blacksquare \end{eqnarray}