オーダーによる同値関係

1. 反射律
   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{f(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}1=1\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$より$f\sim f.$

2. 対称律
   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$なら${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{g(x)}{f(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\frac{f(x)}{g(x)}}=\frac{1}{a}\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$
   よって$f\sim g$ならば$g\sim f.$

3. 推移律
   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=a\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$かつ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{g(x)}{h(x)}=b\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$なら
   ${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{h(x)}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot \frac{g(x)}{h(x)}=ab\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$
   よって$f\sim g$かつ$g\sim h$ならば$f\sim h.$

以上より関係$\sim$は$A$上で同値関係となる$.$
$$\begin{array}{r}◼\end{array}$$

$[x^n]=\{f\in A|x^n\sim f\}$より$x^n\sim f⟺\mathrm{deg}(f)=n$を示せばよい$.$

$(⟹)$
$\ell \in \mathbb{N}$において$f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\ell }{a}_k{x}^k(a_{\ell }\ne 0)}$とおくと
$$\begin{array}{r}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{\sum _{k=0}^{\ell }{a}_k{x}^{k-n}}=\{\begin{array}{ll}0& (\ell >n)\\ \frac{1}{a_n}& (\ell =n)\\ \mathrm{\infty }& (\ell <n)\end{array}\end{array}$$
$\ell =n$に限り$x^n\sim f$となるため示された$.$

$(⟸)$
$\mathrm{deg}(f)=n⟹f(x)={\displaystyle \sum _{k=0}^n{a}_k{x}^k(a_n\ne 0)}$とおけて${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^n}{f(x)}=\frac{1}{a_n}\in \mathbb{R}\setminus \{0\}}$
より示された$.$

以上より$x^n\sim f⟺\mathrm{deg}(f)=n$がいえたため$[x^n]=\{f\in A|\mathrm{deg}(f)=n\}$
$$\begin{array}{r}◼\end{array}$$