ふしぎな数列３

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こんにちは、itouです。
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今回は現在分かっていることのまとめ回です。

$\begin{matrix} (1.0) & (n + 1)^{2} u_{n + 1} = (x_{0} n^{2} + x_{0} n + x_{1}) u_{n} + x_{2} n^{2} u_{n - 1} (u_{0} = a, u_{1} = b) (n \geq 1) \end{matrix}$
で定められる数列の一般項を $u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) [a, b]$ と表す。 $u_{0} = 1, u_{1} = x_{1}$ の場合には、単に $u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2})$ とかく。

$m$ を正の数として

$\begin{matrix} (1.1) & u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) [a, b] = u_{n} (\frac{x_{0}}{m}, \frac{x_{1}}{m}, \frac{x_{2}}{m^{2}}) [a, \frac{b}{m}] \times m^{n} \end{matrix}$

初期条件について線形

$u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) (a, b)$ を、 $1.0$ の漸化式を満たし、 $u_{0} = a, u_{1} = b$ で定められる数列とする。このとき、
$u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) [a, b] = a \times u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) [1, 0] + b \times u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2}) [0, 1]$
である。

多項式解があるための必要条件

$1.0$ の解が多項式であるためには、 $x_{0} = 2$ かつ $x_{1} = l^{2} + l + 1$ かつ $x_{2} = - 1$ が必要である。
( $k \in N$ )

u_{n} (2, l^{2} + l + 1, - 1)

の解

多項式解は
$u_{n} (2, l^{2} + l + 1, - 1) [1, l^{2} + l + 1] = \sum_{j = 0}^{l} (\binom{l}{j}) (\binom{l + j}{j}) (\binom{n}{j})$ である。
また、初期条件が異なるものは、

$u_{n} (2, l^{2} + l + 1, - 1) [0, 1] = Δ^{l + 1} u_{l + 1} \sum_{k = 0}^{n - 2} \frac{S^{(l - 1)} (n - 1 - k)}{{(\binom{l + k + 1}{k})}^{2}}$

ただし、 $S^{(l)} = \sum_{i = 1}^{n} i^{l}, S^{(- 1)} = 1$ ,
$Δ^{k} u_{n} = Δ^{k - 1} u_{n} - Δ^{k - 1} u_{n - 1}$

多項式解の表示は前回、子葉さんにコメントで教えていただきました。感謝致します。

$u_{n} (2, l^{2} + l + 1, - 1) [0, 1]$ は前回述べた通り、階差を $l + 1$ 回とることで求められます。

数値計算による結果

私が気になるのは以下のような数列についてです。

$x_{0}$	$x_{1}$	$x_{2}$
7	2	8
9	3	-27
11	3	1
12	4	-32
17	6	-72

上の表にある $(x_{0}, x_{1}, x_{2})$ の組はすべての自然数 $n$ について、 $u_{n} (x_{0}, x_{1}, x_{2})$ が整数である、または整数であると思われる数列で、多項式でも多項式×指数関数ではないものです。（定理１より、 $x_{0}^{2} + 4 x_{2} \neq 0$ なら多項式でも多項式×指数関数ではないので）

$u_{n} (7, 2, 8) = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{3}$
$u_{n} (11, 3, 1) = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} (\binom{n + k}{k})$
$u_{n} (11, 3, 1) [0, 5] = \sum_{k = 0}^{n} {(\binom{n}{k})}^{2} (\binom{n + k}{k}) c_{n . k}$
（ただし $c_{n, k} = 2 \sum_{m = 1}^{n} \frac{(- 1)^{m - 1}}{m^{2}} + \sum_{m = 1}^{k} \frac{(- 1)^{n + m - 1}}{m^{2} (\binom{n}{m}) (\binom{n + m}{m})}$ ）

上の２組については解が分かっています。（さらに $(11, 3, 1)$ については初期条件が異なる解も分かっています）

残りの３組は数値計算によって少なくとも第１００項までは整数となることが分かっています。なお、定理１より、上の組に対し $(x_{0} m, x_{1} m, x_{2} m^{2}), m \in N$ も整数となります。これら以外の例を得ること、およびこれらの解を得ることが今後の目的です。

コード

需要があるかわかりませんが、数値計算に利用したpythonコードを貼っておきます。

      # -*- coding: cp932 -*-

from fractions import Fraction

u_0=1
def f(n,x_0,x_1,x_2):#漸化式による計算
    if n <= 0:
        return [u_0]
    elif n == 1:
        return [u_0]
    elif n == 2:
        return [u_0, x_1]
    else:
        f_se= [u_0, x_1]
        for i in range(2, n):
            next_fib =Fraction(((x_0*i**2-x_0*i+x_1)*f_se[i - 1] +x_2*(i-1)**2*f_se[i - 2])/i**2)
            f_se.append(next_fib)
        return f_se

n = 100

f_sequence = f(n,9,3,-27)
f_sequence2 = f(n,17,6,-72)

また、解が与えられたときに漸化式を求めるコードも貼っておきます。

      
# -*- coding: cp932 -*-
import sympy
from math import *

from fractions import Fraction



x_0 = sympy.Symbol('x_0')
x_1 = sympy.Symbol('x_1')
x_2 = sympy.Symbol('x_2')
x_3 = sympy.Symbol('x_3')
x_4 = sympy.Symbol('x_4')
x_5 = sympy.Symbol('x_5')
x_6 = sympy.Symbol('x_6')
x_7 = sympy.Symbol('x_7')


def bil_co(n,k):# binomial coefficient
    if k > n  or  k < 0 :
        return 0
    else:

        return factorial(n)/(factorial(k)*factorial(n-k))

def seque(n,a,b,c,d,e,f,g,h):#一般項による計算
    s=0
    for k in range(n+1):
        s+=Fraction(bil_co(a*n+b*k,c*n+d*k)*bil_co(e*n+f*k,g*n+h*k)*bil_co(2*k,k))
    return s

def calculate_sequence(n):
    sequence = [seque(n,1,0,0,1,1,0,0,1) for n in range(0, n+1)]
    return sequence

n=15
a=calculate_sequence(n)
equations = []

for n in range(1,15):#不定方程式を解き係数決定
    equations.append((n**2+x_0*n+x_1)*a[n+1]+(x_2*n**2+x_3*n+x_4)*a[n]+(x_5*n**2+x_6*n+x_7)*a[n-1])

solution = sympy.solve(equations, (x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7))
print(solution)

まだまだ調べたいことがいっぱいあるのですが、受験生なのでそろそろ区切りをつけたいと思い、この記事を書きました。何か発見があった方はぜひコメントに書いてください！受験勉強のかたわらに考えます。

投稿日：2023年9月4日