z変換：n/2^nの和を求める。

$$\begin{array}{rcl}f(n)& :=& \frac{n}{2^n}\end{array}$$とおく。$n$の$z$変換は
$$\mathcal{Z}[n]=\frac{z}{(z-1{)}^2}$$だから、$f(n)$の$z$変換はスケーリング則を使って
$$\begin{array}{rcl}F(z)& :=& \mathcal{Z}[f(n)]=\frac{2z}{(2z-1{)}^2}\end{array}$$となる。収束領域は$|z|>\frac{1}{2}$。$z$を$1$に近づけた$F(z)$の値が$S$。
つまり
$$\begin{array}{rcl}S& =& li{m}_{z\to 1}F(z)=\frac{2}{(2-1{)}^2}=2\end{array}$$
となり示された。