$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}}
\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{div}[0]{\mathrm{div}}
\newcommand{division}[0]{÷}
\newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}}
\newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ }
\newcommand{IZT}[0]{\mathcal{Z^{-1}}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ }
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{ZT}[0]{\mathcal{Z}}
$$
z変換を用いて$\frac{n}{2^n}$の和を求める。
$$
S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}=2
$$
$$
\BEQ
f(n)&:=&\frac{n}{2^n}
\EEQ
$$とおく。$n$の$z$変換は
$$
\ZT[n]=\frac{z}{(z-1)^2}
$$だから、$f(n)$の$z$変換はスケーリング則を使って
$$
\BEQ
F(z)&:=&\ZT[f(n)]= \frac{2z}{(2z-1)^2}
\EEQ
$$となる。収束領域は$|z|>\cfrac{1}{2}$。$z$を$1$に近づけた$F(z)$の値が$S$。
つまり
$$
\BEQ
S&=&lim_{z \to 1}F(z)=\frac{2}{(2-1)^2}=2
\EEQ
$$
となり示された。