z変換：n/2^nの和を求める。

z変換を用いて$\frac{n}{2^n}$の和を求める。

$$ S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}=2 $$

$$ \BEQ f(n)&:=&\frac{n}{2^n} \EEQ $$とおく。$n$の$z$変換は
$$ \ZT[n]=\frac{z}{(z-1)^2} $$だから、$f(n)$の$z$変換はスケーリング則を使って
$$ \BEQ F(z)&:=&\ZT[f(n)]= \frac{2z}{(2z-1)^2} \EEQ $$となる。収束領域は$|z|>\cfrac{1}{2}$。$z$を$1$に近づけた$F(z)$の値が$S$。
つまり
$$ \BEQ S&=&lim_{z \to 1}F(z)=\frac{2}{(2-1)^2}=2 \EEQ $$
となり示された。