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z変換:n/2^nの和を求める。

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$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathrm{div}} \newcommand{division}[0]{÷} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{grad}[0]{\mathrm{grad}\ } \newcommand{IZT}[0]{\mathcal{Z^{-1}}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{rot}[0]{\mathrm{rot}\ } \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[0]{\mathcal{Z}} $$

z変換を用いて$\frac{n}{2^n}$の和を求める。

$$ S=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^n}=2 $$

$$ \BEQ f(n)&:=&\frac{n}{2^n} \EEQ $$とおく。$n$$z$変換は
$$ \ZT[n]=\frac{z}{(z-1)^2} $$だから、$f(n)$$z$変換はスケーリング則を使って
$$ \BEQ F(z)&:=&\ZT[f(n)]= \frac{2z}{(2z-1)^2} \EEQ $$となる。収束領域は$|z|>\cfrac{1}{2}$$z$$1$に近づけた$F(z)$の値が$S$
つまり
$$ \BEQ S&=&lim_{z \to 1}F(z)=\frac{2}{(2-1)^2}=2 \EEQ $$
となり示された。

投稿日:20201118

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zeta
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