weight 3以下の交代多重ゼータ値を全て求める

ここでは, weight 3以下の交代多重ゼータの値を全て求めたいと思います. 仮定する知識は, 調和積とシャッフル積です. ここにおいて求める, というのは, $\pi,\ln 2,\zeta(3)$の多項式で表す, という意味です. weight 1の場合は, $\zeta(\ol{1})$しかありません. weight 2の場合は,
$$\begin{eqnarray} \zeta(2), \zeta(\ol{2}), \zeta(1,\ol{1}), \zeta(\ol{1}, \ol{1}) \end{eqnarray}$$の4つがあります. weight 3の場合は,
$$\begin{eqnarray} \zeta(3), \zeta(\ol{3}), \zeta(1,2), \zeta(1,\ol{2}), \zeta(\ol{1},2),\zeta(\ol{1},\ol{2}),\zeta(2,\ol{1}),\zeta(\ol{2},\ol{1}),\zeta(1,1,\ol{1}),\zeta(1,\ol{1},\ol{1}),\zeta(\ol{1},1,\ol{1}),\zeta(\ol{1},\ol{1},\ol{1}) \end{eqnarray}$$があります. まず, weightの小さい方から求めていきます.

weight 1

$\ln x$のMaclaurin展開,
$$\begin{eqnarray} -\ln(1-x)=\sum_{0\lt n}\frac{x^n}{n} \end{eqnarray}$$より,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol{1})=\sum_{0\lt n}\frac{(-1)^n}{n}=-\ln 2\tag{1} \end{eqnarray}$$
が分かります.

weight 2

$$\begin{eqnarray} \zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\tag{2} \end{eqnarray}$$となることはよく知られています.
$$\begin{eqnarray} \zeta(2)+\zeta(\ol{2})&=&\sum_{0\lt n}\frac{2}{(2n)^2}\\ &=&\frac 12\zeta(2) \tag{3} \end{eqnarray}$$より, $\zeta(\ol{2})=-\pi^2/12$が分かります. シャッフル積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol{1})^2=2\zeta(1,\ol{1})\tag{4} \end{eqnarray}$$だから, $\zeta(1,\ol{1})=(\ln 2)^2/2$となります. また調和積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol{1})^2=\zeta(2)+2\zeta(\ol1,\ol1) \tag{5} \end{eqnarray}$$より, $\zeta(\ol1,\ol1)=(\ln 2)^2/2-\pi^2/12$となります.

weight 3

まず, 多重ゼータ値の双対性より,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,2)=\zeta(3) \tag{6} \end{eqnarray}$$となることはよく知られています. また,
$$\begin{eqnarray} \zeta(3)+\zeta(\ol{3})&=&\sum_{0\lt n}\frac{2}{(2n)^3}\\ &=&\frac 14\zeta(3) \tag{7} \end{eqnarray}$$より, $\zeta(\ol{3})=-3\zeta(3)/4$が分かります. そして,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,2)+\zeta(1,\ol{2})+\zeta(\ol{1},2)+\zeta(1,\ol{2})&=&\sum_{0\lt n\lt m}\frac{2}{2n}\frac{2}{(2m)^2}\\ &=&\frac 12\zeta(1,2) \end{eqnarray}$$つまり,
$$\begin{eqnarray} \frac 12\zeta(3)+\zeta(1,\ol{2})+\zeta(\ol{1},2)+\zeta(1,\ol{2})&=&0 \tag{8} \end{eqnarray}$$が分かります. さて, ここから調和積とシャッフル積をもちいていきます. 調和積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol{1})\zeta(2)&=&\zeta(\ol{1},2)+\zeta(2,\ol{1})+\zeta(\ol{3}) \tag{9}\\ \zeta(\ol{1})\zeta(\ol2)&=&\zeta(\ol1,\ol2)+\zeta(\ol2,\ol1)+\zeta(3) \tag{10}\\ \zeta(\ol{1})\zeta(1,\ol1)&=&2\zeta(1,\ol1,\ol1)+\zeta(\ol1,1,\ol1)+\zeta(1,2)+\zeta(\ol2,\ol1)\quad \tag{11}\\ \zeta(\ol1)\zeta(\ol1,\ol1)&=&3\zeta(\ol{1},\ol1,\ol1)+\zeta(\ol1,2)+\zeta(2,\ol1) \tag{12} \end{eqnarray}$$シャッフル積により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol1)\zeta(2)&=&\zeta(\ol1,2)+\zeta(\ol1,\ol2)+\zeta(\ol2,\ol1)\quad \tag{13}\\ \zeta(\ol1)\zeta(\ol2)&=&2\zeta(1,\ol2)+\zeta(2,\ol1)\tag{14}\\ \zeta(\ol1)\zeta(1,\ol1)&=&3\zeta(1,1,\ol1)\tag{15}\\ \zeta(\ol1)\zeta(\ol1,\ol1)&=&2\zeta(\ol1,1,\ol1)+\zeta(\ol1,\ol1,\ol1)\tag{16} \end{eqnarray}$$$(9),(10),(13)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(2,\ol1)&=&\frac{\pi^2}{12}\ln2-\frac 14\zeta(3)\\ \zeta(\ol1,2)&=&\zeta(3)-\frac{\pi^2}{4}\ln 2 \end{eqnarray}$$$(14)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,\ol2)=\frac 18\zeta(3) \end{eqnarray}$$$(8)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol1,\ol2)=\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\frac{13}8\zeta(3) \end{eqnarray}$$$(10)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol2,\ol1)=\frac 58\zeta(3)-\frac{\pi^2}{6}\ln 2 \end{eqnarray}$$$(15)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,1,\ol1)=-\frac{1}{6}\ln^3 2 \end{eqnarray}$$$(12)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol1,\ol1,\ol1)=\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac{1}{6}\ln^3 2-\frac 14\zeta(3) \end{eqnarray}$$$(16)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol1,1,\ol1)=\frac 18\zeta(3)-\frac{1}{6}\ln^3 2 \end{eqnarray}$$$(11)$により,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,\ol1,\ol1)=\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac 16\ln^3 2-\frac 78\zeta(3) \end{eqnarray}$$
これで全ての値を求めることができました. 以下, まとめていきたいと思います.

weight 1,2の値まとめ

$$\begin{eqnarray} \zeta(\ol1)&=&-\ln2\\ \zeta(\ol2)&=&-\frac{\pi^2}{12}\\ \zeta(1,\ol1)&=&\frac 12\ln^2 2\\ \zeta(\ol1,\ol1)&=&\frac 12\ln^2 2-\frac{\pi^2}{12} \end{eqnarray}$$

weight 3の値まとめ

$$\begin{eqnarray} \zeta(1,2)&=&\zeta(3)\\ \zeta(1,\ol2)&=&\frac 18\zeta(3)\\ \zeta(\ol1,2)&=&\zeta(3)-\frac{\pi^2}{4}\ln 2\\ \zeta(\ol1,2)&=&\zeta(3)-\frac{\pi^2}{4}\ln 2\\ \zeta(\ol1,\ol2)&=&\frac{\pi^2}{4}\ln 2-\frac{13}{8}\zeta(3)\\ \zeta(2,\ol1)&=&\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac 14\zeta(3)\\ \zeta(\ol2,\ol1)&=&\frac 58\zeta(3)-\frac{\pi^2}{6}\ln 2\\ \zeta(1,1,\ol1)&=&-\frac 16\ln^32\\ \zeta(1,\ol1,\ol1)&=&\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac 16\ln^3 2-\frac 78\zeta(3)\\ \zeta(\ol1,1,\ol1)&=&\frac 18\zeta(3)-\frac 16\ln^3 2\\ \zeta(\ol1,\ol1,\ol1)&=&\frac{\pi^2}{12}\ln 2-\frac{\ln^3 2}{6}-\frac 14\zeta(3) \end{eqnarray}$$
調和積とシャッフル積とちょっとで, 意外と簡単にできるんですね. みんなもいろいろやってみてね！