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z変換:z変換、収束領域、零点、極を求める。

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$$\newcommand{BEQ}[0]{\begin{eqnarray}} \newcommand{EEQ}[0]{\end{eqnarray}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{ZT}[0]{\mathcal{Z}} $$

目的

yahoo 知恵袋に投稿された$z$変換に関する問題を解く。

問題と解法

数列$\{x(n)\}$$z$変換し、収束領域、零点、極を求めよ。
$$ \BEQ x(n)=\left\{ \begin{array}{l} 1\;\;(n=0,3) \\ 3\;\;(n=1,2) \\ 0\;\;(otherwise)) \end{array} \right. \EEQ $$

【解法】
$x(n)$は離散デルタ関数$δ(n)$をもちいて
$$ \BEQ x(n)&=& δ(n)+3δ(n-1)+3δ(n-2)+δ(n-3) \;\; (n \ge 0\;,\;n \in \Z) \EEQ $$と表せる。これを$z$変換して
$$ \BEQ \ZT[x(n)] &=& 1+3z^{-1}+3z^{-2}+z^{-3} \\ &=& (1+z^{-1})^{3} \EEQ $$$x(n)$$z$変換を得る。右辺を式変形して
$$ \BEQ \ZT[x(n)] &=& \frac{(z+1)^3}{z^3} \EEQ $$この式から収束領域が$|z|>0$、極は$z=0$(位数$3$の極)、零点は$z=-1$(位数$3$の零点)であることがわかる。

投稿日:20201119

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zeta
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