不等式の問題に対する解説

こんにちは，みるか（ @mirucaaura ）です．今回は以下の問題を扱います．

注意

本記事は敬体で書いていますが，深い意味はありません．

解説

結論としては「成り立つ」です．背理法で示しましょう．「任意の$\epsilon >0$に対して$\alpha <\beta +\epsilon$」が成り立つとき，「$\alpha >\beta$」が成り立つと仮定します．このとき，仮定より$\alpha -\beta >0$であり，$\delta :=\alpha -\beta$なる$\delta >0$が存在します．これより，
$$\begin{array}{rl}\alpha & =\beta +\delta >\beta +\frac{\delta }{2}\end{array}$$
が成り立ちますが，条件である「任意の$\epsilon >0$に対して$\alpha <\beta +\epsilon$」に矛盾します．したがって，「任意の$\epsilon >0$に対して$\alpha <\beta +\epsilon$」が成り立つとき，「$\alpha \le \beta$」が成り立つことが示されました．

補足

逆も成り立ちます．すなわち，

が言えます．証明は易しいのでぜひ考えてみてください．