不等式の問題に対する解説

こんにちは，みるか（ @mirucaaura ）です．今回は以下の問題を扱います．

注意

本記事は敬体で書いていますが，深い意味はありません．

解説

結論としては「成り立つ」です．背理法で示しましょう．「任意の$\varepsilon > 0$に対して$\alpha < \beta + \varepsilon$」が成り立つとき，「$\alpha > \beta$」が成り立つと仮定します．このとき，仮定より$\alpha - \beta > 0$であり，$\delta := \alpha - \beta$なる$\delta > 0$が存在します．これより，
\begin{align} \alpha &= \beta + \delta > \beta + \frac{\delta}{2} \end{align}
が成り立ちますが，条件である「任意の$\varepsilon > 0$に対して$\alpha < \beta + \varepsilon$」に矛盾します．したがって，「任意の$\varepsilon > 0$に対して$\alpha < \beta + \varepsilon$」が成り立つとき，「$\alpha \leq \beta$」が成り立つことが示されました．

補足

逆も成り立ちます．すなわち，

が言えます．証明は易しいのでぜひ考えてみてください．