Cyclic sum formulaの証明

Cyclic sum formulaとはHoffman-Ohnoによって, 証明された, 以下の非常に美しい多重ゼータ値の関係式族です.
$$\begin{eqnarray} \sum_{\substack{\bk\in\alpha\\0\leq i\leq k_a-2}}\zeta(i+1,k_1,\dots,k_{a-1},k_a-i)=\sum_{\bk\in\alpha}\zeta(k_1,\dots,k_{a-1},k_a+1) \end{eqnarray}$$ここで, $\alpha$は巡回同値類というもので, $\bk=(k_1,k_2,\dots,k_a)$を$(k_2,\dots,k_a,k_1)$に置き換える操作を繰り返して移り合う同値関係から生成される同値類のことです. さて, 矢印の記法を
$$\begin{eqnarray} \bk_{\up}&=&(k_1,\dots,k_{a-1},k_a+1)\\ \bk_{\to}&=&(k_1,\dots,k_{a-1},k_a,1)\\ {}_{\lf}\bk&=&(1,k_1,\dots,k_a)\\ {}_{\up}\bk&=&(k_1+1,k_2,\dots,k_a) \end{eqnarray}$$として, Cyclic sum formulaは
$$\begin{eqnarray} \sum_{\substack{\bk\in\alpha\\0\leq i\leq k_a-2}}\zeta(i+1,\bk_{\down^i})=\sum_{\bk\in\alpha}\zeta(\bk_{\up}) \end{eqnarray}$$と短くあらわすことができます.

証明

さて証明ですが, よく知られているものに, 連結和法があります. 以下のような連結和を考えます.
$$\begin{eqnarray} Z(\bk):=\sum_{0\lt n_1\lt\cdots\lt n_a}\frac{1}{\bn^{{}_{\down}\bk}(n_a-n_1)} \end{eqnarray}$$
これは$\bk=(\{1\}^n)$では収束しませんが, あとは収束しています. 部分分数分解により,
$$\begin{eqnarray} \frac 1{n_a(n_a-n_1)}=\frac 1{n_1(n_a-n_1)}-\frac{1}{n_1n_a} \end{eqnarray}$$だから,
$$\begin{eqnarray} Z(\bk_{\up})=Z({}_{\up}\bk)-\zeta(\bk_{\up}) \end{eqnarray}$$また,
$$\begin{eqnarray} \sum_{n_a\lt n_{a+1}}\frac{1}{n_{a+1}(n_{a+1}-n_1)}&=&\sum_{n_a\lt n_{a+1}}\kak{\frac 1{n_{a+1}-n_1}-\frac 1{n_{a+1}}}\\ &=&\sum_{n_a-n_1\lt m}\kak{\frac 1{m}-\frac{1}{m+n_1}}\\ &=&\sum_{n_a-n_1\lt m\leq n_a}\frac 1m\\ &=&\sum_{0\leq n_0\lt n_1}\frac{1}{n_a-n_0}\\ &=&\sum_{0\lt n_0\lt n_1}\frac 1{n_a-n_0}+\frac 1{n_a} \end{eqnarray}$$より,
$$\begin{eqnarray} Z(\bk_{\to})=Z({}_{\lf}\bk)+Z(\bk_{\up}) \end{eqnarray}$$となります. 合わせて,
$$\begin{eqnarray} Z(\bk_{\up})&=&Z({}_{\up}\bk)-\zeta(\bk_{\up})\\ Z(\bk_{\to})&=&Z({}_{\lf}\bk)+Z(\bk_{\up}) \end{eqnarray}$$です. これを$Z(\bk_{\to})$から始めて繰り返しもちいてみると,
$$\begin{eqnarray} Z(k_1,\dots,k_a,1)&=&Z(k_a,k_1,\dots,k_{a-1},1)+\zeta(\bk_{\up})-\sum_{0\leq i\leq k_{a}-2}\zeta(i+1,\bk_{\down^i}) \end{eqnarray}$$となります. これを繰り返すことで, 巡回同値類を1周して, もとの$Z(\bk_{\to})$と同じ項が現れるので, 両辺からそれを引けばCyclic sum formulaの完成です. さて, 具体例として, Cyclic sum formulaにおいて, $\bk=(\{3\}^n)$としてみましょう. $\bk$の巡回同値類は$\bk$だけなので,
$$\begin{eqnarray} \zeta(1,\{3\}^n)+\zeta(2,\{3\}^{n-1},2)=\zeta(\{3\}^{n-1},4) \end{eqnarray}$$が得られます. これは他の式から示そうとすると簡単ではなさそうですね.

参考文献

• M. E. Hoffman and Y. Ohno, “Relations of multiple zeta values and their algebraic expression”, Preprint, 2000; E-print math.QA/0010140.
• S. Seki, Connectors, arXiv:2006.09076