級数解説04

2020/11/19に出題された問題です。

(該当のツイートが削除されたので出典は伏せます)

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n^2}\\ &=&4\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{(2n)^2}\\ &=&2\sum_{n=1}^\infty\l \frac1{n^2}H_n+\frac{(-1)^n}{n^2}H_n \r\\ &=&2\sum_{0\f k \le n}\l\frac1{kn^2}+\frac{(-1)^n}{kn^2} \r\\ &=&2\z(1,2)+2\z(3)+2\z(1,\overline2)+2\z(\overline3)\\ &=&\frac12\z(3)+2\z(3)+\frac14\z(3)\\ &=&\frac{11}4\z(3) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{11}4\z(3)$となります。