級数解説04

2020/11/19に出題された問題です。

(該当のツイートが削除されたので出典は伏せます)

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{2n}}{n^2}\\ & =& 4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{H_{2n}}{(2n{)}^2}\\ & =& 2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{n^2}{H}_n+\frac{(-1{)}^n}{n^2}{H}_n)\\ & =& 2\sum _{0<k\le n}(\frac{1}{k{n}^2}+\frac{(-1{)}^n}{k{n}^2})\\ & =& 2\zeta (1,2)+2\zeta (3)+2\zeta (1,\bar{2})+2\zeta (\bar{3})\\ & =& \frac{1}{2}\zeta (3)+2\zeta (3)+\frac{1}{4}\zeta (3)\\ & =& \frac{11}{4}\zeta (3)\end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{11}{4}\zeta (3)}$となります。