3

級数解説04

41
0
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/19に出題された問題です。

(該当のツイートが削除されたので出典は伏せます)

$$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n^2} $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n^2}\\ &=&4\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{(2n)^2}\\ &=&2\sum_{n=1}^\infty\l \frac1{n^2}H_n+\frac{(-1)^n}{n^2}H_n \r\\ &=&2\sum_{0\f k \le n}\l\frac1{kn^2}+\frac{(-1)^n}{kn^2} \r\\ &=&2\z(1,2)+2\z(3)+2\z(1,\overline2)+2\z(\overline3)\\ &=&\frac12\z(3)+2\z(3)+\frac14\z(3)\\ &=&\frac{11}4\z(3) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{11}4\z(3)$となります。

投稿日:20201119

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
480
13050
遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中