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大学数学基礎解説
級数解説04
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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{d}[0]{\displaystyle}
\newcommand{f}[0]{<}
\newcommand{l}[0]{\left(}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{r}[0]{\right)}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha}
\newcommand{v}[0]{\varnothing}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
\newcommand{z}[0]{\zeta}
$$
2020/11/19に出題された問題です。
(該当のツイートが削除されたので出典は伏せます)
$$ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n^2} $$
[解説]
$ \begin{eqnarray*} &&\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{n^2}\\ &=&4\sum_{n=1}^\infty \frac{H_{2n}}{(2n)^2}\\ &=&2\sum_{n=1}^\infty\l \frac1{n^2}H_n+\frac{(-1)^n}{n^2}H_n \r\\ &=&2\sum_{0\f k \le n}\l\frac1{kn^2}+\frac{(-1)^n}{kn^2} \r\\ &=&2\z(1,2)+2\z(3)+2\z(1,\overline2)+2\z(\overline3)\\ &=&\frac12\z(3)+2\z(3)+\frac14\z(3)\\ &=&\frac{11}4\z(3) \end{eqnarray*} $
よって、この問題の解答は$\displaystyle \frac{11}4\z(3)$となります。
投稿日：2020年11月19日
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