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円に接する放物線

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C:x2+y2=1P
A(cosθ,sinθ)(0<θ<π/2)2
PCB(cos3θ,sin3θ)

グチャグチャ計算すると一致しますが、何かこの綺麗な3θという計算結果に背景があるのか知りたいです!
視覚的にはこの方のツイがわかりやすいです
https://twitter.com/aoki_taichi/status/1329543810175492096?s=21

以後c=cosθ,s=sinθ
‪2次の接触というのはざっくり言うとPは点A近傍でCの円弧の1部とみなせるぐらいより強い意味で接していることです。厳密にはf(x)=1x2
P:y=f(c)+f(c)(xc)+12f(c)(xc)2
‪と表せるということであり、曲率半径が1と言えます。実際に計算すると‬
P:y=12s3(xc3)2+s(1+12c2).
‪元々これは塾教師に教わった次の初等的な物理の話題に起因しています。‬

座標平面内で単位円C:x2+y2=1内を小球が転がる。重力加速度g=1y軸負の方向にかかっていて、小球は(0,1)から初速v0を得て円弧を駆け上がる。小球は点A(cosθ,sinθ)(0<θ<π/2)で時刻t=0Cから離れて以後は軌跡がPの放物線運動をして点BCと衝突する‬

‪点Aでの速さvACの垂直抗力Nに関する議論により、小球の質量をmとして‬
N=mvA2/1mgs=0
vA=s
‪小球の座標(x,y)=(csst,s+sct12t2)
‪これのtを消去すればPが求まり、t=csで小球は最高点(c3,s(1+12c2))に到達して降下しt=4csCBで衝突することが確かめられると思います。
ただしこの運動を行うvの範囲は2<v0<5に限られます。しかし計算を進めていくと色々な項が打ち消されて綺麗な成分だけ残るのは奇妙としか思えません。‬
何か先行的な考察について知っている方がいればコメントお願いします
(/・ω・)/にゃー!

投稿日:20201119
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赤げふ
赤げふ
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東工大情報B4 数学,理論物理,Minecraft計算機/微分演算子の記事を書きます/主に表現論,量子群,物理の数理に興味があります

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