円に接する放物線
$単位円C:x^2+y^2=1と放物線Pが$
$点A(\cos θ,\sin θ)(0<θ<π/2)で2次の接触をしている。$
$このときPはCと点B(\cos 3θ,-\sin 3θ)で交わる。$
ｸﾞﾁｬｸﾞﾁｬ計算すると一致しますが、何かこの綺麗な3θという計算結果に背景があるのか知りたいです!
視覚的にはこの方のツイがわかりやすいです
https://twitter.com/aoki_taichi/status/1329543810175492096?s=21
以後$c=\cos θ,s=\sin θ とします。
$
2次の接触というのはざっくり言うとPは点A近傍でCの円弧の1部とみなせるぐらいより強い意味で接していることです。厳密には$f(x)=\sqrt{1-x^2}とすると$
$P:y=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac12 f''(c)(x-c)^2$
と表せるということであり、曲率半径が1と言えます。実際に計算すると
$P:y=-\frac{1}{2s^3}(x-c^3)^2+s(1+\frac12 c^2)$.
元々これは塾教師に教わった次の初等的な物理の話題に起因しています。
座標平面内で単位円$C:x^2+y^2=1$内を小球が転がる。重力加速度$g=1$が$y$軸負の方向にかかっていて、小球は$(0,-1)$から初速$v_0$を得て円弧を駆け上がる。小球は点$A(\cos θ,\sin θ)(0<θ<π/2)$で時刻$t=0にC$から離れて以後は軌跡が$P$の放物線運動をして点$BでC$と衝突する
点$A$での速さ$v_A$は$C$の垂直抗力$N$に関する議論により、小球の質量を$m$として
$N=mv_A^2/1-mgs =0$
$∴v_A=\sqrt{s}$
小球の座標$(x,y)=(c-s\sqrt{s}t,s+\sqrt{s}ct-\frac12 t^2)$
これのtを消去すればPが求まり、$t=c\sqrt{s}$で小球は最高点$(c^3,s(1+\frac12 c^2) )$に到達して降下し$t=4c\sqrt{s}$で$Cに点B$で衝突することが確かめられると思います。
ただしこの運動を行うvの範囲は$\sqrt{2}< v_0<\sqrt{5}$に限られます。しかし計算を進めていくと色々な項が打ち消されて綺麗な成分だけ残るのは奇妙としか思えません。
何か先行的な考察について知っている方がいればコメントお願いします
(/・ω・)/にゃー!
