複素積分もFourier変換も使わないDirichlet積分の証明
Dirichletの不連続積分
この記事では, $\mathbb{R}_{>0}$で正実数全体, $C(\mathbb{R}_{>0})$で定義域が$\mathbb{R}_{>0}$な連続関数全体を表わす. 実数$a$と$x=a$の右側近傍で定義された関数$f$に対して, $\lim_{x\downarrow a}f(x)$で$x>a$を$a$に近づけたときの$f$の極限を表わすものとする. また, よく知られた公式:$\frac{d}{dx}\arctan x=(1+x^2)^{-1}$は前触れなく用いる.
この記事の目標は, 次の定理の証明である.
符号関数$\text{sgn}:\mathbb{R}\setminus\Pas{0}\to\Pas{\pm1}$を
\begin{align}
\text{sgn}(x)=
\left\{
\begin{array}{l}
1,\quad &(x>0) \\
-1\quad &(x<0)
\end{array}
\right.
\end{align}
で定義したとき, $0$でない実数$x$に対して次が成り立つ.
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{i\omega x}}{\omega}d\omega=i\pi \text{sgn}(x)
\end{align}
特に,
\begin{align}
\int_0^\infty\frac{\sin(\omega x)}{\omega}d\omega=\frac{\pi}{2}\text{sgn}(x).
\end{align}
後半のみを, Eulerの定理と呼ぶこともある. この定理は一般に複素積分やFourier変換を用いて証明するが, ここではそのいずれも使わない上に, 前提知識も簡単な解析学で十分である.
関数$f$を,
\begin{align}
f(y)=\int_0^\infty e^{-sy}\frac{\sin s}{s}ds\quad(y>0)
\end{align}
で定めると, $f$は$C^1$級である. 実際,
\begin{align}
\lim_{h\to0}\frac{f(y+h)-f(y)}{h}
&=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\int_0^\infty\pas{e^{-sh}-1}e^{-sy}\frac{\sin s}{s}ds\\
&=\lim_{h\to0}\int_0^\infty\pas{-s+h\sum_{n=2}^\infty\frac{(-s)^n}{n!}h^{n-2}}e^{-sy}\frac{\sin s}{s}ds\\
&=-\int_0^\infty e^{-sy}\sin sds\in C(\mathbb{R}_{>0}).
\end{align}
但し, 二つ目の等式では$e^{-sh}$のTaylor展開, 三つ目の等式では積分が$h=0$の近傍で連続であることを用いた. $I=\int_0^\infty e^{-sy}\sin sds$とおくと, 部分積分法により
\begin{align}
I &=-\left[e^{-sy}\cos s\right]_0^{\infty}-y\int_0^\infty e^{-sy}\cos sds\\
&=1-y\left[e^{-sy}\sin s\right]_0^\infty-y^2\int_0^\infty e^{-sy}\sin s ds\\
&=1-y^2I.
\end{align}
故に,
\begin{align}
\frac{d}{dy}f(y)=-I=-\frac{1}{1+y^2}
\end{align}
が成り立つ. そこで両辺$y$で積分すると, ある定数$C$を用いて
\begin{align}
f(y)=C-\arctan y
\end{align}
と書ける. ここから$f$が$y=0$で右側連続であることが分かる. 従って,
\begin{align}
\lim_{y\downarrow0}f(y)=f\pas{\lim_{y\downarrow0}y}=\int_0^\infty\frac{\sin s}{s}ds.
\end{align}
ところで, $f$の連続性より
\begin{align}
\lim_{y\to\infty}f(y)=f\pas{\lim_{y\to\infty}y}=0
\end{align}
であるから,
\begin{align}
C=\lim_{y\to\infty}\pas{f(y)+\arctan y}=\frac{\pi}{2}
\end{align}
故に
\begin{align}
\lim_{y\downarrow0}f(y)=\lim_{y\downarrow0}\pas{\frac{\pi}{2}-\arctan y}=\frac{\pi}{2}.
\end{align}
これらのことから
\begin{align}
\int_0^\infty\frac{\sin s}{s}ds=\frac{\pi}{2}
\end{align}
を得る. 左辺の積分において, $x>0$において$s=\omega x$,$x<0$において$s=-\omega x$と変数変換すると,
\begin{align}
\frac{\pi}{2}=
\left\{
\begin{array}{l}
\int_0^\infty\frac{\sin(\omega x)}{\omega x}xd\omega, \quad(x>0)\\
\int_0^\infty\frac{\sin(-\omega x)}{-\omega x}(-x)d\omega \quad(x<0)
\end{array}
\right.
\end{align}
となり, これをまとめれば
\begin{align}
\int_0^\infty\frac{\sin(\omega x)}{\omega}d\omega=\frac{\pi}{2}\text{sgn}(x)
\end{align}
が得られる. また, $\frac{\cos(\omega x)}{\omega}, \frac{\sin(\omega x)}{\omega}$はそれぞれ奇関数,偶関数であるから, Eulerの公式より
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \frac{e^{i\omega x}}{\omega}d\omega
&=\int_{-\infty}^\infty\frac{\cos(\omega x)}{\omega}d\omega+i\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(\omega x)}{\omega}d\omega\\
&=2i\int_0^\infty\frac{\sin(\omega x)}{\omega }d\omega\\
&=i\pi \text{sgn}(x).
\end{align}
参考：オイラー博士の素敵な数式, ポール・J・ナーイン,小山信也訳, 日本評論社
