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大学数学基礎解説
文献あり

距離空間上の集積点とその周辺

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概要

本稿では,距離空間における集積点,閉集合,閉包の概念についてまとめる.

以下,(X,d)を距離空間とし,xX,r>0に対してB(x,r):={yX:d(x,y)<r}と定める.また,AXの部分集合とする.

集積点

集積点

xXA集積点であるとは,任意のε>0に対してB(x,ε)(A{x})が成り立つことをいう.

集積点の定義は「xAの元を用いていくらでも近似できる」ということを意味している.これを点列の言葉で置き換えたのが次の命題である.

集積点の点列による特徴づけ

次の2条件は同値である.

  1. xXAの集積点である.
  2. xnA{x}n=1,2,)かつlimnxn=xを満たす点列{xn}n=1,2,が存在する.

12を示そう.xXAの集積点とする.このとき,各n=1,2,に対してB(x,n1)(A{x})であるから,その元を1つ選んでxnとおく.すると,点列{xn}n=1,2,は定義よりxnA{x}n=1,2,)を満たす.さらに,任意のε>0に対して1<NεとなるようなNNをとれば,nNのときd(xn,x)<n1<εが成り立つからlimnxn=xである.以上より12が従う.

21を示そう.点列{xn}n=1,2,xnA{x}n=1,2,)かつlimnxn=xを満たすものとする.このとき,任意のε>0に対してnNならばd(xn,x)<εとなるようなNNが存在し,特にxNB(x,ε)(A{x})である.従って,xXAの集積点であり,21が成り立つ.

次の2条件について,12は成り立つが21は成り立たない.

  1. xXAの集積点である.
  2. xnAn=1,2,)かつlimnxn=xを満たす点列{xn}n=1,2,が存在する.

12は命題1の12からわかる.21の反例を挙げよう.
X=RA=[0,1]{2}とし,点列{xn}n=1,2,xn=2n=1,2,)により定める.このとき,点列{xn}n=1,2,xnAn=1,2,)かつlimnxn=2を満たすが,2Aの集積点ではない.実際,B(2,21)(A{2})=(3/2,5/2)[0,1]=である.

閉集合

閉集合は集積点の概念を用いて定義できる.

閉集合

AX閉集合であるとは,Aの任意の集積点がAに属することをいう.

閉集合の定義もやはり点列の言葉で言い換えることができる.

閉集合の点列による特徴づけ

次の2条件は同値である.

  1. AXの閉集合である.
  2. 点列{xn}n=1,2,xnAn=1,2,)かつlimnxn=xXを満たすならばxAである.

12を示そう.AXの閉集合とし, 点列{xn}n=1,2,xnAn=1,2,)かつlimnxn=xXを満たすとする.xN=xなるNNが存在するとき,点列の満たす条件よりxAである.また,すべてのn=1,2,に対してxnxが成り立つとき,点列{xn}n=1,2,xnA{x}n=1,2,)かつlimnxn=xXを満たすから,命題1よりxAの集積点である.よって,AXの閉集合であるからxAである.以上より12が従う.

21を示そう.xXAの集積点とすると,命題1よりxnA{x}n=1,2,)かつlimnxn=xを満たす点列{xn}n=1,2,が存在する.従って,2よりxAとなるから,21が成り立つ.

X自身も閉集合である.

閉包

閉包

任意のε>0に対してB(x,ε)Aを満たすようなxX全体の集合をA閉包といい,Aと書く.

閉包の最小性

AAを含む最小の閉集合である.

AAであることを示そう.xAのとき,任意のε>0に対してxB(x,ε)AゆえxAが成り立つ.よってAAである.

Aが閉集合であることを示そう.xXAの集積点とし,ε>0とする.このときB(x,ε/2)(A{x})であるから,その元を1つ選んでyとする.さらに,yAよりB(y,ε/2)Aであるから,その元を1つ選んでzとする.するとd(x,z)d(x,y)+d(y,z)<ε/2+ε/2=εゆえzB(x,ε)Aである.よってxAであるから,閉集合の定義よりAは閉集合である.

Aの最小性を示そう.FAを含む閉集合とし,xAとする.このとき,任意のε>0に対してB(x,ε)AかつB(x,ε)AB(x,ε)Fが成り立つからB(x,ε)Fである.そこで,各n=1,2,に対してB(x,n1)Fの元を1つ選びxnとおくと,点列{xn}n=1,2,xnFn=1,2,)かつlimnxn=xを満たす.Fは閉集合であるから,命題2よりxFである.ゆえにAFである.

次の命題は,閉包がもとの集合に集積点を付け加えたものであることを示している.

閉包と集積点の関係

Aの集積点全体をAとするとき,A=AAである.

AAAであることを示そう.命題3よりAAである.xAとすると,任意のε>0に対してB(x,ε)(A{x})B(x,ε)Aが成り立つから,xAである.すなわちAAである.よってAAAが成り立つ.

AAAであることを示そう.xAAとすると,任意のε>0に対してB(x,ε)(A{x})=B(x,ε)Aが成り立つからxAである.よってAAAである.

この事実から,閉包を用いて閉集合を特徴づけられることがわかる.

閉集合の閉包による特徴づけ

次の2条件は同値である.

  1. AXの閉集合である.
  2. A=A

Aの集積点全体の集合をAとする.
1を仮定すると,AAであるから,命題4より2が得られる.
2を仮定すると,命題4よりA=AAである.従ってAAであるから1が得られる.

参考文献

[1]
内田伏一, 集合と位相, 裳華房, 1986
投稿日:20201119
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  3. 閉集合
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