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第二種楕円積分と楕円の弧長

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初めに

よのです.今回は第二種楕円積分を紹介したいと思います.

この記事は「楕円積分と楕円関数 -おとぎの国の歩き方-」という本の輪読会で使用する(された)資料です.
本のまとめと練習問題の解答が主であり, この本独自の書き方や資料作成時の省略等で読みづらいかもしれませんがご容赦ください.

適宜, 内容の補充はしていきたいと思います.

1章 「曲線の弧長」

早速だが, 楕円の弧長を求めてみようと思う.
楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\gt b\gt0)$とすると, この曲線のパラメタ表示は$\big(x(\phi),y(\phi)\big)=(a\sin\phi,b\cos\phi)\big(\phi \in\big[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\big]\big)$と表せる.
(但し, $\phi$は半径$a$の補助的な円上の点と$y$軸を結ぶ線分が$y$軸となす角である.)

弧長の公式に代入して楕円の長さを確かめよう.
\begin{align*} (第1象限における楕円の弧長) &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{\bigg(\frac{dx(\phi)}{d\phi}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy(\phi)}{d\phi}\bigg)^2} d\phi \\ &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{\bigg(\frac{d}{d\phi}a\sin\phi\bigg)^2+\bigg(\frac{d}{d\phi}b\cos\phi\bigg)^2} d\phi \\ &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\cos^2\phi+b^2sin^2\phi} d\phi \\ &=a\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2\phi}d\phi \\ &=a\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi &(k:=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}とした) \\ \end{align*}
この$k$は「離心率」と呼ばれ, 円弧の長さは$k=0$に一致する.

この積分は初等関数では表せないので, ここで新しい積分を導入する.

第二種不完全楕円積分

まずは不定積分の形を定義する.

第二種不完全楕円積分

パラメタ$(0\lt k\lt1)$$\theta$で定まる
$E(k,\theta):=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi$第二種不完全楕円積分と呼ぶ.

第二種完全楕円積分

次に定積分の形を定義する.

第二種完全楕円積分

第二種不完全楕円積分において$\theta=\displaystyle\frac{\pi}{2}$とした
$E(k):=E(k,\displaystyle\frac{\pi}{2})=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi$第二種完全楕円積分と呼ぶ.

これら二つを合わせて第二種楕円積分と呼ぶ. パラメタ$k$はこれらのモジュラスと呼ばれる.

楕円の弧長

以上の定義を用いると,
(楕円の弧長($0\leq\phi\leq1))=aE\bigg(\displaystyle\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}},\theta\bigg)$,
(楕円の周長)$=4aE\bigg(\displaystyle\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\bigg)$ と表される.      (第1象限以外にも考えている)

第二種楕円積分の代数的表示

変数変換をする. $z=\sin\phi$とすると$dz=\cos\phi$, $\cos\phi=\sqrt{1-z^2}$であるので
\begin{align*} E(k,\theta) &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi =\displaystyle\int_{0}^{\sin\theta} \sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz \end{align*}

\begin{align*} E(k) &=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi =\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz \end{align*}
と代数的に表示される. (被積分関数に三角関数が現れないの意)

勿論, 最初からこの表示を導くことも出来る.
パラメタ表示ではなく, 楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\gt b\gt0)$$y$について解いて
$\big(x,y(x)\big)=\bigg(x,b\sqrt{1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2}}\bigg)$ $(x\in[0, a\sin\theta])$と表示できる.(但し, $0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}$として第一象限のみを考える. )
$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$であるので, これを用いると
\begin{align*} (弧長) &=aE(k,\theta)\\ &=\displaystyle\int_{0}^{a\sin\theta}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2} dx \\ &=\displaystyle\int_{0}^{a\sin\theta}\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{(x/a)^2}{1-(x/a)^2}}dx \\ &=\displaystyle a\int_{0}^{\sin\theta}\sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz&(z=\frac{x}{a}とした) \end{align*}

これからも第二種楕円積分の代数的表示を得ることが出来る.

最後に

第二種から先に定義しましたが, 次回では第一種楕円積分と定義したいと思います (理由もその時に). ではまた次回に.

投稿日:20201119

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