第二種楕円積分と楕円の弧長

初めに

よのです.今回は第二種楕円積分を紹介したいと思います.

適宜, 内容の補充はしていきたいと思います.

1章 「曲線の弧長」

早速だが, 楕円の弧長を求めてみようと思う.
楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$とすると, この曲線のパラメタ表示は$(x(\varphi ),y(\varphi ))=(a\sin \varphi ,b\cos \varphi )(\varphi \in [0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}])}$と表せる.
(但し, $\varphi$は半径$a$の補助的な円上の点と$y$軸を結ぶ線分が$y$軸となす角である.)

弧長の公式に代入して楕円の長さを確かめよう.
$$\begin{array}{rl}(第1象限における楕円の弧長)& ={\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{(\frac{dx(\varphi )}{d\varphi }{)}^2+(\frac{dy(\varphi )}{d\varphi }{)}^2}d\varphi }\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{(\frac{d}{d\varphi }a\sin \varphi {)}^2+(\frac{d}{d\varphi }b\cos \varphi {)}^2}d\varphi }\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{a^2{\cos }^2\varphi +b^{2}si{n}^2\varphi }d\varphi }\\ & =a{\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}{\sin }^2\varphi }d\varphi }\\ & =a{\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }d\varphi }& (k:=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}とした)\end{array}$$
この$k$は「離心率」と呼ばれ, 円弧の長さは$k=0$に一致する.

この積分は初等関数では表せないので, ここで新しい積分を導入する.

第二種不完全楕円積分

まずは不定積分の形を定義する.

第二種完全楕円積分

次に定積分の形を定義する.

これら二つを合わせて第二種楕円積分と呼ぶ. パラメタ$k$はこれらのモジュラスと呼ばれる.

楕円の弧長

以上の定義を用いると,
(楕円の弧長($0\le \varphi \le 1))=aE({\displaystyle \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}},\theta )}$,
(楕円の周長)$=4aE({\displaystyle \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}})}$ と表される. 　　　　　(第1象限以外にも考えている)

第二種楕円積分の代数的表示

変数変換をする. $z=\sin \varphi$とすると$dz=\cos \varphi$, $\cos \varphi =\sqrt{1-z^2}$であるので
$$\begin{array}{rl}E(k,\theta )& ={\displaystyle {\int }_0^{\theta }\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }d\varphi ={\displaystyle {\int }_0^{\sin \theta }\sqrt{\frac{1-k^2{z}^2}{1-z^2}}dz}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}E(k)& ={\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\varphi }d\varphi ={\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{\frac{1-k^2{z}^2}{1-z^2}}dz}}\end{array}$$
と代数的に表示される.　(被積分関数に三角関数が現れないの意)

勿論, 最初からこの表示を導くことも出来る.
パラメタ表示ではなく, 楕円${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)}$を$y$について解いて
$(x,y(x))=(x,b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}})$ $(x\in [0,a\sin \theta ])$と表示できる.(但し, $0\le \theta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$として第一象限のみを考える. )
${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}}$であるので, これを用いると
$$\begin{array}{rl}(弧長)& =aE(k,\theta )\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{a\sin \theta }\sqrt{1+(\frac{dy}{dx}{)}^2}dx}\\ & ={\displaystyle {\int }_0^{a\sin \theta }\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{(x/a{)}^2}{1-(x/a{)}^2}}dx}\\ & ={\displaystyle a{\int }_0^{\sin \theta }\sqrt{\frac{1-k^2{z}^2}{1-z^2}}dz}& (z=\frac{x}{a}とした)\end{array}$$

これからも第二種楕円積分の代数的表示を得ることが出来る.

最後に

第二種から先に定義しましたが, 次回では第一種楕円積分と定義したいと思います　(理由もその時に). ではまた次回に.