第二種楕円積分と楕円の弧長

初めに

よのです.今回は第二種楕円積分を紹介したいと思います.

適宜, 内容の補充はしていきたいと思います.

1章 「曲線の弧長」

早速だが, 楕円の弧長を求めてみようと思う.
楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\gt b\gt0)$とすると, この曲線のパラメタ表示は$\big(x(\phi),y(\phi)\big)=(a\sin\phi,b\cos\phi)\big(\phi \in\big[0,\displaystyle\frac{\pi}{2}\big]\big)$と表せる.
(但し, $\phi$は半径$a$の補助的な円上の点と$y$軸を結ぶ線分が$y$軸となす角である.)

弧長の公式に代入して楕円の長さを確かめよう.
\begin{align*} (第1象限における楕円の弧長) &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{\bigg(\frac{dx(\phi)}{d\phi}\bigg)^2+\bigg(\frac{dy(\phi)}{d\phi}\bigg)^2} d\phi \\ &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{\bigg(\frac{d}{d\phi}a\sin\phi\bigg)^2+\bigg(\frac{d}{d\phi}b\cos\phi\bigg)^2} d\phi \\ &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{a^2\cos^2\phi+b^2sin^2\phi} d\phi \\ &=a\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-\frac{a^2-b^2}{a^2}\sin^2\phi}d\phi \\ &=a\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi &(k:=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}とした) \\ \end{align*}
この$k$は「離心率」と呼ばれ, 円弧の長さは$k=0$に一致する.

この積分は初等関数では表せないので, ここで新しい積分を導入する.

第二種不完全楕円積分

まずは不定積分の形を定義する.

第二種完全楕円積分

次に定積分の形を定義する.

これら二つを合わせて第二種楕円積分と呼ぶ. パラメタ$k$はこれらのモジュラスと呼ばれる.

楕円の弧長

以上の定義を用いると,
(楕円の弧長($0\leq\phi\leq1))=aE\bigg(\displaystyle\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}},\theta\bigg)$,
(楕円の周長)$=4aE\bigg(\displaystyle\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\bigg)$ と表される. 　　　　　(第1象限以外にも考えている)

第二種楕円積分の代数的表示

変数変換をする. $z=\sin\phi$とすると$dz=\cos\phi$, $\cos\phi=\sqrt{1-z^2}$であるので
\begin{align*} E(k,\theta) &=\displaystyle\int_{0}^{\theta} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi =\displaystyle\int_{0}^{\sin\theta} \sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz \end{align*}

\begin{align*} E(k) &=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-k^2\sin^2\phi}d\phi =\displaystyle\int_{0}^{1} \sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz \end{align*}
と代数的に表示される.　(被積分関数に三角関数が現れないの意)

勿論, 最初からこの表示を導くことも出来る.
パラメタ表示ではなく, 楕円$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\gt b\gt0)$を$y$について解いて
$\big(x,y(x)\big)=\bigg(x,b\sqrt{1-\displaystyle\frac{x^2}{a^2}}\bigg)$ $(x\in[0, a\sin\theta])$と表示できる.(但し, $0\leq\theta\leq\displaystyle\frac{\pi}{2}$として第一象限のみを考える. )
$\displaystyle\frac{dy}{dx}=-\frac{b}{a}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}$であるので, これを用いると
\begin{align*} (弧長) &=aE(k,\theta)\\ &=\displaystyle\int_{0}^{a\sin\theta}\sqrt{1+\bigg(\frac{dy}{dx}\bigg)^2} dx \\ &=\displaystyle\int_{0}^{a\sin\theta}\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}\frac{(x/a)^2}{1-(x/a)^2}}dx \\ &=\displaystyle a\int_{0}^{\sin\theta}\sqrt{\frac{1-k^2z^2}{1-z^2}}dz&(z=\frac{x}{a}とした) \end{align*}

これからも第二種楕円積分の代数的表示を得ることが出来る.

最後に

第二種から先に定義しましたが, 次回では第一種楕円積分と定義したいと思います　(理由もその時に). ではまた次回に.