Weierstrassの$\wp$函数ショートコース（１）

以下${\omega }_1,{\omega }_2\in \mathbb{C}$は$\mathrm{Im}({\omega }_1/{\omega }_2)>0$とする。

楕円函数

定義 $\mathbb{C}$上有理型な函数$f$が 楕円函数 （Elliptic Function）とは、二つの周期

$$\begin{array}{rl}f(z+2{\omega }_1)& =f(z),\\ f(z+2{\omega }_2)& =f(z)\end{array}$$

を持つことをいう。${\omega }_1,{\omega }_2$を半周期といい、$m,n\in \mathbb{Z}$について${\mathrm{\Omega }}_{m,n}=2m{\omega }_1+2n{\omega }_2$と表す。その全体を$\mathrm{\Omega }$と置く。

• 定数は楕円函数である。

楕円函数$f$が与えられたとき、点$t,t+2{\omega }_1,t+2{\omega }_1+2{\omega }_2,t+2{\omega }_2$で与えられる平行四辺形の領域を$\mathrm{\Delta }$とする。このとき$\mathrm{\Delta }$の境界$C$上には$f$の零点や極が無いものとする。

命題 定数でない楕円函数$f$について以下が成り立つ。

• $\mathrm{\Delta }$内部における$f$の極は有限個である。
• $\mathrm{\Delta }$内部における$f$の零点は有限個である。
• $\mathrm{\Delta }$内部における留数の和はゼロである。
• $f$は$\mathrm{\Delta }$上で正則でない。

（証明）$\bar{\mathrm{\Delta }}$は有界閉なので、もし$f$の極が$\mathrm{\Delta }$内部に無限個存在すれば集積点を持つ。これは$f$が有理型であることに反する。零点の場合も$f$の零点は$1/f$の極であり、$1/f$が楕円函数であることから従う。

留数定理より

$$\begin{array}{rl}\sum _{a\in \mathrm{\Delta }}{\mathrm{Res}}_{z=a}f(z)& =\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}{\oint }_{C}f(\zeta )\mathrm{d}\zeta \\ & =({\int }_t^{t+2{\omega }_1}+{\int }_{t+2{\omega }_1}^{t+2{\omega }_1+2{\omega }_2}+{\int }_{t+2{\omega }_1+2{\omega }_2}^{t+2{\omega }_2}+{\int }_{t+2{\omega }_2}^t)f(\zeta )\mathrm{d}\zeta \end{array}$$

となるが、周期性より積分の1番目と3番目、2番目と4番目が打ち消しあうのでゼロとなる。

$f$が$\mathrm{\Delta }$上で正則なら$\bar{\mathrm{\Delta }}$上で連続なので有界である。周期性より$\mathbb{C}$上で有界なのでLiouvilleの定理より$f$は定数となる。$◻$

注意 $f$を定数でない楕円函数とする。任意の$c\in \mathbb{C}$に対して、$f-c$もまた楕円函数である。ここで必要なら$\mathrm{\Delta }$を少しずらすことで$\mathrm{\Delta }$内部に$f-c$の零点が全て含まれるようにできる。このとき同様に有限個であることが分かるため、この意味で$f$の$c$点もまた$\mathrm{\Delta }$内部で有限個である。

命題 $f$を定数でない楕円函数とする。$\mathrm{\Delta }$内部における極と零点の重複込みの個数は一致し、一般に$c$点の重複込みの個数も一致する。更に$\mathrm{\Delta }$内部における零点を重複込みで$a_1,\dots ,a_n$とし、極を重複込みで$b_1,\dots ,b_n$とすると、

$$\sum _{i=1}^n{a}_i\equiv \sum _{i=1}^n{b}_i\mathrm{mod}\mathrm{\Omega }$$

が成り立つ。

（証明）偏角の原理を思い出す。$f$が$a$で$k$位なら$f(z)=(z-a{)}^{k}g(z)$と表せる。（$g$は$a$で正則で$g(a)\ne 0$を満たす。）このとき

$$\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{k}{z-a}+\frac{g^{\prime }(z)}{g(z)}$$

となるが、$g^{\prime }(z)/g(z)$は$a$で正則なので$C_a$を$a$まわりの円周として

$$k=\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}{\oint }_{C_a}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z$$

となる。従って零点が$N$個、極が$M$個なら

$$N-M=\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}{\oint }_C\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=0$$

となり一致する。（$f^{\prime }/f$は楕円函数であり、最後の等式はその周期性より従う。）

同様に

$$z\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=(a+(z-a))\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}=\frac{ak}{z-a}+\mathrm{hol}.$$

だから

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^n{b}_i& =\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}{\oint }_{C}z\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\{{\int }_t^{t+2{\omega }_1}+{\int }_{t+2{\omega }_1}^{t+2{\omega }_1+2{\omega }_2}+{\int }_{t+2{\omega }_1+2{\omega }_2}^{t+2{\omega }_2}+{\int }_{t+2{\omega }_2}^t\}z\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z\\ & =\frac{1}{2\pi \sqrt{-1}}\{2{\omega }_1{\int }_t^{t+2{\omega }_2}-2{\omega }_2{\int }_t^{t+2{\omega }_1}\}\frac{f^{\prime }(z)}{f(z)}\mathrm{d}z\end{array}$$

となる。ここで$z$が線分$[t,t+2{\omega }_i]$上を動くとき、周期性より$f(z)$は原点周りを何週かして$f(t)$に戻ってくる。$f^{\prime }/f$の積分は$\log f$なので、その回数分$2\pi \sqrt{-1}$が現れる。結局

$$\sum _{i=1}^n{a}_i-\sum _{i=1}^n{b}_i=2m{\omega }_1+2n{\omega }_2={\mathrm{\Omega }}_{m,n}\in \mathrm{\Omega }$$

となる。$◻$

定義 楕円函数$f$について、$\mathrm{\Delta }$内の極の重複込みの個数を$f$の位数と呼ぶ。

位数ゼロの楕円函数は定数である。また留数の和がゼロという性質から、定数でない楕円函数の位数は$2$以上となる。位数$2$の楕円函数を考えると、次のパターンがある。

• $1$箇所に$2$位の極を持ち、留数はゼロである。$\to \mathrm{\wp }(z)$
• $2$箇所に$1$位の極を持ち、留数は互いに逆である。$\to \mathrm{sn}(z)$

Weierstrassの$\mathrm{\wp }$函数

函数$\mathrm{\wp }(z)$を以下で定める。

$$\mathrm{\wp }(z):=\frac{1}{z^2}+\sum _{\omega \in \mathrm{\Omega }}^{\prime }(\frac{1}{(z-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2})$$

ただし$\sum ^{\prime }$はゼロを除く和とする。これは収束していて$\mathbb{C}$上有理型となる。$\mathrm{\Delta }$内部の極は$z\equiv 0$のみで、位数は$2$、留数はゼロである。

定義 $\mathrm{\wp }(z)$を Wierstrassの$\mathrm{\wp }$（ペー）函数 という。

${\omega }_1=\pi /2,{\omega }_2\to \mathrm{\infty }$とすると$\omega =2m{\omega }_1+2n{\omega }_2$に対して$n=0$の項だけが残り

$$\frac{1}{z^2}+\sum _m^{\prime }(\frac{1}{(z-\pi m{)}^2}-\frac{1}{(\pi z{)}^2})=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(z-\pi m{)}^2}-\frac{2}{{\pi }^2}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{m^2}=\frac{1}{{\sin }^{2}z}-\frac{1}{3}$$

だから$\mathrm{\wp }$函数は概ね${\mathrm{cosec}}^2(z)$のようなものである。

$\mathrm{\wp }$函数の微分は、項別微分して

$${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)=-2\sum _{\omega }\frac{1}{(z-\omega {)}^3}$$

と分かる。

命題 $\mathrm{\wp }$函数に対して以下が成り立つ。

• ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$は奇函数、$\mathrm{\wp }(z)$は偶函数である。
• ${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z),\mathrm{\wp }(z)$は共に楕円函数である。

（証明）${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$について

$${\mathrm{\wp }}^{\prime }(-z)=-2\sum \frac{1}{(-z-\omega {)}^3}=2\sum \frac{1}{(z-(-\omega ){)}^3}=-{\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$$

より${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$は奇函数である。同様に$\mathrm{\wp }(z)$は偶関数である。

まず$w{p}^{\prime }(z)$について

$${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z+2{\omega }_1)=-2\sum \frac{1}{(z+2{\omega }_1-{\mathrm{\Omega }}_{m,n}{)}^3}=-2\sum \frac{1}{(z-{\mathrm{\Omega }}_{m-1,n}{)}^3}={\mathrm{\wp }}^{\prime }(z)$$

より楕円函数である。従って積分すると

$$\mathrm{\wp }(z+2{\omega }_1)=\mathrm{\wp }(z)+\mathrm{const}.$$

となるが、$z=-{\omega }_1$と置けば偶関数より定数部分はゼロとなる。故に$\mathrm{\wp }(z)$も楕円函数である。$◻$

命題 $\mathrm{\wp }(z)$は

$${\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}z}\right)}^2=4y^3-g_{2}y-g_3$$

の解である。ただし

$$\begin{array}{rlrl}{g}_2& =60\sum ^{\prime }\frac{1}{{\omega }^4},& g_3& =140\sum ^{\prime }\frac{1}{{\omega }^6}\end{array}$$

とする。

（証明）$\varphi (z)=\mathrm{\wp }(z)-1/z^2$は原点で正則な偶関数であるから$\varphi (z)=a_0+a_2{z}^2+a_4{z}^4+\cdots$と表せる。すると

$$a_0=\varphi (0)=\sum ^{\prime }(\frac{1}{(-\omega {)}^2}-\frac{1}{{\omega }^2})=0$$

より$\mathrm{\wp }(z)=z^{-2}+a_2{z}^2+a_4{z}^4+\cdots$となる。頑張って計算すると

$${\mathrm{\wp }}^{\prime }(z{)}^2-4\mathrm{\wp }(z{)}^3+20a_2\mathrm{\wp }(z)=-28a_4+\mathrm{higher}.$$

となる。左辺は楕円函数なので右辺も楕円函数だから定数となる。あとは係数を計算すると

$$\begin{array}{rlrlrl}{a}_2=\frac{{\varphi }^{(2)}(0)}{2!}& =3\sum ^{\prime }\frac{1}{{\omega }^4},& a_4& =5\sum ^{\prime }\frac{1}{{\omega }^6},& \dots & \end{array}$$

より目的の微分方程式を満たすことが分かる。$◻$

ちなみに

$$\begin{array}{rlrlrlrlrlrlrl}{a}_2& =\frac{g_2}{20},& a_4& =\frac{g_3}{28},& a_6& =\frac{g_2^2}{1200},& a_8& =\frac{3g_2{g}_3}{6160},& a_{10}& =\frac{g_2^3}{156000}+\frac{g_3^2}{10192},& a_{12}& =\frac{g_2^2{g}_3}{184800},& \dots & \end{array}$$

と順次$g_2,g_3$によって求めていくことができる。具体的には$\mathrm{\wp }$函数は$g_2$と$g_3$によって決まる。

注意 逆に$y=\mathrm{\wp }(u(z))$が解なら$({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2{\dot{u}}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3=({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2$より${\dot{u}}^2=1$だから$u=\pm z+\alpha$となる。よって$y=\mathrm{\wp }(\pm z+\alpha )=\mathrm{\wp }(z\pm \alpha )$を得る。従って一般解は$\mathrm{\wp }(z+\alpha )$である。

注意 $({\mathrm{\wp }}^{\prime }{)}^2=4{\mathrm{\wp }}^3-g_2\mathrm{\wp }-g_3$を更に微分すると$2{\mathrm{\wp }}^{\prime }{\mathrm{\wp }}^{(2)}=12{\mathrm{\wp }}^2{\mathrm{\wp }}^{\prime }-g_2{\mathrm{\wp }}^{\prime }$だから

$$\begin{array}{rlrl}{\mathrm{\wp }}^{(2)}& =6{\mathrm{\wp }}^2-\frac{g_2}{2},& {\mathrm{\wp }}^{(3)}& =12\mathrm{\wp }{\mathrm{\wp }}^{\prime }\end{array}$$

を得る。特に$\mathrm{\wp }$はパンルヴェＩ（$y^{(2)}=6y^2+t$）の$t\to -g_2/2$における自励極限であることが分かる。