今回計算する積分:
分母分子を
最右辺を①とします.
ここで,
右辺は
これは他人の解き方ですが, スタイリッシュで好きだったので紹介します.
ここで, この形は
下の式は新しく計算しなくてもラプラス変換表からわかります.
以上より,
最右辺を②とします.
ここで, 次の無限級数を考えます.
(1) 普通に計算する
無限等比級数の和より,
これを③とします.
(2) 中身をフーリエ変換してから足す
まず,
※ 左辺を
フーリエ変換の定義に沿って計算をします.
絶対値に注意して,
普通に積分すると,
変換したものを足すから,
これを④とします.
ここで,
ポアソンの和公式より,
③, ④より,
整理すると,
左辺が②と等しいから,
長いように思えるかもしれませんが,