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積分の計算(2)

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問題

今回計算する積分:

0sinxex1dx=1+πcothπ2

解答

分母分子をexで割り無限級数にします. その際, 級数は一様収束するのでを交換できます.
0sinxex1dx=n=10enxsinxdx
sinのマクローリン展開より,
=n=1k=1(1)k1(2k1)!0x2k1enxdx
xxnと置換すると,
=n=1k=1(1)k1(2k1)!1n2k0x2k1exdx=n=1k=1(1)k1(2k1)!Γ(2k)n2k=n=1k=1(1)k1n2k
最右辺を①とします.

ここで, sinπzの無限積表示について考えます.

sinの無限積表示

sinπz=πzn=1(1z2n2)

右辺はzCで一様収束するので, 両辺を対数微分すると,
πcosπzsinπz=ππz+n=12zn21z2n2πcotπz=1z2zn=1z2n21z2n2
|z2|<1だから, 無限等比級数の和の公式より,
πcotπz=1z2zn=1k=1z2kn2k1+πzcotπz2=n=1k=1z2kn2k
ziとすれば,
1+iπcotiπ2=n=1k=1(1)kn2k=n=1k=1(1)k1n2k
sinix=isinhix=isinhxcosix=coshxであること, 最右辺は①と一致していることから,

0sinxex1dx=1+πcothπ2

おまけ

これは他人の解き方ですが, スタイリッシュで好きだったので紹介します.
enxの無限級数にするところまでは同じです.
0sinxex1dx=n=10(sinx)enxdx
ここで, この形はsinxのラプラス変換です.

ラプラス変換(+α)

L[f](s)=0f(x)esxdx
L[sin(ωx)](s)=ωs2+ω2

下の式は新しく計算しなくてもラプラス変換表からわかります.
以上より,
=n=1L[sinx](n)=n=11n2+1
最右辺を②とします.

ここで, 次の無限級数を考えます.
n=e2π|n|
(1) 普通に計算する
nの範囲を分割して考えると,
=e2π0+2n=1e2πn
無限等比級数の和より,
=1+2e2π1e2π
これを③とします.
(2) 中身をフーリエ変換してから足す
まず,

フーリエ変換

f^(ξ)=f(x)e2πixξdx
※ 左辺をF[f](ξ)と書く流儀があります.

フーリエ変換の定義に沿って計算をします.
e2π|x|e2πixξdx
絶対値に注意して,
0e2πx2πixξdx+0e2πx2πixξdx
普通に積分すると,
=[e2πx(1+iξ)2π(1+iξ)]0+[e2πx(1iξ)2π(1iξ)]0=1π11+ξ2
変換したものを足すから,
=1πξ=1ξ2+1
ξの範囲を分割して,
=1π+2πξ=11ξ2+1
これを④とします.

ここで,

ポアソンの和公式

n=f(n)=n=f^(n)

ポアソンの和公式より, の無限級数は, '中身'をフーリエ変換してから足しても値が等しいから,
n=e2π|n|=ξ=F[e2π|n|](ξ)
③, ④より,
1+2e2π1e2π=1π+2πξ=11ξ2+1
整理すると,
ξ=11ξ2+1=1+πcothπ2
左辺が②と等しいから,

0sinxex1dx=1+πcothπ2

長いように思えるかもしれませんが, sinのラプラス変換やm=11m2+1の値を既知とすればかなり素早い解法になります!
0sinxex1dx=n=10(sinx)enxdx=n=1L[sinx](n)=n=11n2+1=1+πcothπ2

投稿日:20201119
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地頭が悪い 研究するより、ただ「知って」ただ「使う」のが好き

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