パンツ分解を与える曲線について

$\gamma'$と$\delta'$が互いに交わっていたとする。これらは、互いに交わらない単純閉曲線からの連続変形で得られることから、交点のでき方はbigonを作るようなでき方しか有り得ない。$\gamma'$と$\delta'$の交点のうち、bigonを作っている$2$頂点を$p,q$とし、bigonをなす$\gamma',\delta'$の部分弧をそれぞれ、$\gamma'|_{pq}$,$\delta'|_{pq}$とする。このとき、$\gamma'|_{pq}$は$\delta'|_{pq}$にホモトピックである。$p,q$を端点に持つ曲線のホモトピー類の中で、測地線は一意であるから、$\gamma'|_{pq}=\delta'|_{pq}$ということになり、測地線の伸ばし方は一意であるから、$\gamma'=\delta'$となる。しかし、これは$[\gamma]$と$[\delta]$が互いに交わらないことに矛盾。

(1.$\Rightarrow$3.) まず、パンツ分解を与える閉曲線の本数は$3g-3$本であることを示す。$M$が$m$個のパンツ$P_1,\cdots,P_m$に分解されたとすると、パンツのオイラー標数は$-1$なので、オイラー標数の加法性から、
$$ 2-2g = \chi(M) = \chi(P_1) + \cdots + \chi(P_m)=-m$$
となる。したがって、$m=2g-2$がわかる。単純閉曲線で切るごとに、境界成分は2つ増える。最終的に、境界成分は$3\times(2g-2)=6g-6$個できる。したがって、パンツ分解をするためには$(6g-6)\div2=3g-3$回切ることが必要である。したがって、$n=3g-3$である。

(2.$\Rightarrow$1.) $\{\gamma_1,\cdots,\gamma_n\}$を互いに交わらない単純閉曲線の族で、極大なものとする。これらの曲線で、曲面$M$を切ったときに、得られる曲面の連結成分をそれぞれ$P_1,\cdots,P_m$とする。これらが、すべてパンツならば、話は終わるので、パンツでないような曲面$P_i$があるとする。すると、$P_i$は閉曲面の分類定理から、種数が$1$以上の閉曲面から円板を取り除いて得られる曲面か、球面から円板を$4$つ以上取り除いて得られる曲面のいずれかである。なぜなら、$M$を単純閉曲線で切って得られる曲面はすべてオイラー標数が負になることが必要だからである。

(オイラー標数が非負であるような曲面で、出て来る可能性があるのは、球面、円盤、トーラス、シリンダーであるが、球面とトーラスは境界が無いので有り得ず、円盤が出て来るときは自明なループで切ったときであり、シリンダーが出てきたら、ホモトピー同値なループで切ってしまっているということになるからである。)

しかし、このとき$P_i$から、明らかに非自明なループで境界成分にホモトピックでないものが取れてしまうことになり、$\{\gamma_1,\cdots,\gamma_n\}$が極大なものであることに反する。したがって、$P_1,\cdots,P_m$はすべてパンツである。

(3.$\Rightarrow$2.) $\Gamma=\{\gamma_1,\cdots,\gamma_{3g-3}\}$を条件を満たすループの族とする。$\Gamma'$を$\Gamma \subset \Gamma'$となるような曲線の族で極大なものとする。このとき、(2.$\Rightarrow$1.)より、$\Gamma'$はパンツ分解を与える。(1.$\Rightarrow$3.)より$|\Gamma'|=3g-3$である。したがって、$\Gamma=\Gamma'$である。