ガンマ関数の逆数和の一次結合で遊んでみよう

$a_n=1$の場合$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}=e$を用いると下記の式を得る。
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(z+n)}=\frac{e}{\mathrm{\Gamma }\left(z\right)}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^m}{m!(z+m)}$$

$a_n=n!$の場合
$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{\mathrm{\Gamma }(z+n)}=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^n\frac{{(-1)}^m{}_{m+n}{C}_m}{z+m}$$
この式どっかでみたね。
参照： https://mathlog.info/articles/PoFeCuxDHaAdWOhW4dkX
この記事を参照すると次の式を得る。
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{\mathrm{\Gamma }(z+n)}& =& \sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^{m}m}{(m-1)(z+m)}\end{array}$$
おやー...感のいいガキは嫌いだよ！これ発散します。
つまり、この例はだめな例だという事さ！

$a_n=A^n$とした場合$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{n!}=e^A$より下記の様な式を得る。
$$\begin{array}{rcl}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{A^n}{\mathrm{\Gamma }(z+n)}& =& \frac{1}{\mathrm{\Gamma }\left(z\right)}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^m{A}^{m+n}}{m!n!(z+m)}\\ & =& \frac{e^A}{\mathrm{\Gamma }\left(z\right)}\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^m{A}^m}{m!(z+m)}\end{array}$$