ガンマ関数の逆数和の一次結合で遊んでみよう
まずは基本的な問題で肩慣らし
本稿ではガンマ関数の逆数和の一次結合で遊びます。
まず基本となる次の問題を見てみましょう。
$\{a_{n}\}_{n\in \mathbb{N}\cup \{0\}}$に対して以下の級数を考える。
\begin{equation}
S_{N}\left(z\right)=\sum_{n=0}^{N}\frac{a_{n}}{\Gamma{\left(z+n\right)}}
\end{equation}
この級数の極限が存在する場合下記の様に書ける。
\begin{eqnarray}
S\left(z\right)&=&\lim_{N\rightarrow \infty}S_{N}\left(z\right)\\
&=&\frac{1}{\Gamma{\left(z\right)}}\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{m}a_{m+n}}{m!n!}\frac{1}{z+m}
\end{eqnarray}
下記の様な級数を考える。
\begin{eqnarray}
T_{N}\left(z\right)&=&\sum_{n=0}^{N}\frac{a_n}{\Pi_{k=0}^{n}\left(z+k\right)}\\
&=&\sum_{n=0}^{N}\frac{b_n}{z+n}
\end{eqnarray}
両辺に$z+m$をかけて、$z\rightarrow -m$とすると
\begin{eqnarray}
b_m&=&\lim_{z\rightarrow -m}\left(z+m\right)T_{N}\left(z\right)\\
&=&\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{n=m}^{N}\frac{a_{m}}{\left(n-m\right)!}\\
&=&\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\left(\sum_{n=0}^{N-m}\frac{a_{m+n}}{n!}\right)\\
&=&\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{m+n}}{n!}-\sum_{n=N-m+1}^{\infty}\frac{a_{m+n}}{n!}\right)
\end{eqnarray}
$A=\max\left(a_{1},a_{2},...\right)$とすると下記の不等式を得る。
\begin{eqnarray}
|\sum_{n=N-m+1}^{\infty}\frac{a_{m+n}}{n!}| &\leq&
A\sum_{n=N-m+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\\
&\leq&A\left(e-\sum_{n=0}^{N-m}\frac{1}{n!}\right)\\
&\rightarrow& 0
\end{eqnarray}
ゆえに、最終的に下記の結果を得る。
\begin{equation}
b_{m}=\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{m+n}}{n!}
\end{equation}
作って遊ぼう
$a_{n}=1$の場合$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}=e$を用いると下記の式を得る。
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma{\left(z+n\right)}}=\frac{e}{\Gamma{\left(z\right)}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!\left(z+m\right)}
\end{equation}
$a_n=n!$の場合
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{\Gamma{\left(z+n\right)}}=\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{m}{}_{m+n}C_{m}}{z+m}
\end{equation}
この式どっかでみたね。
参照：
https://mathlog.info/articles/PoFeCuxDHaAdWOhW4dkX
この記事を参照すると次の式を得る。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{\Gamma{\left(z+n\right)}}&=&\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{m}m}{\left(m-1\right)\left(z+m\right)}\\
\end{eqnarray}
おやー...感のいいガキは嫌いだよ！これ発散します。
つまり、この例はだめな例だという事さ！
$a_{n}=A^{n}$とした場合$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{n}}{n!}=e^{A}$より下記の様な式を得る。
\begin{eqnarray}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{n}}{\Gamma{\left(z+n\right)}}&=&
\frac{1}{\Gamma{\left(z\right)}}\sum_{m=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{m}A^{m+n}}{m!n!\left(z+m\right)}\\
&=&\frac{e^{A}}{\Gamma{\left(z\right)}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{m}A^{m}}{m!\left(z+m\right)}
\end{eqnarray}
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