科学大数学系院試過去問解答例(2022午前02)
ここでは科学大数学系の修士課程の院試の2022午前02の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$V$を体$K$上の有限次元線型空間とし、$f:V\to V$を線型写像とする。このとき線型写像$g,h:V\to V$で次の条件を満たすようなものが存在することを示せ。
- $g$は線型同型である。
- $h$は$h^2=h$を満たしている。
- $f=gh$である。
$r=\mathrm{rank}f$とし、$V$の基底$e_1,\cdots,e_n$を
$$
\mathrm{Ker}f=\langle e_{r+1},\cdots,e_n\rangle
$$
であるようにとる。そして$\{f(e_i)\}_{i=1}^r$を含む$V$の基底$v_1=f(e_{1}),\cdots,v_r=f(e_{r}),v_{r+1},\cdots,v_n$をとり、線型写像$h:V\to V$及び線型同型$g:V\to V$を
$$
g(e_i)=v_i
$$
$$
h(e_i)=\begin{cases}
e_i&(i\leq r)\\
0&(r< i)
\end{cases}
$$
が満たされるようにとる。このとき$g$は基底を基底に移す線型写像なので(i)が成り立ち、$h$の定義から(ii)が満たされていて、
$$
gh(e_i)=\begin{cases}
v_i&(i\leq r)\\
0&(r< i)
\end{cases}
$$
であるから(iii)も成り立つ。以上から$g,h$は所望の条件を満たしている。