Fourier級数展開で使えそうな積分まとめ

Fourier級数展開で使えそうな積分まとめ

Fourier級数展開で係数を求めるときに暗記すれば便利な積分をまとめます.
随時更新します.

(2023/07/25 多項式の積分の誤りを訂正しました.)

多項式

$$\int_0^{2\pi} x \sin nx dx = -\frac{2\pi}{n}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx dx = -\frac{2\pi}{n}(-1)^n$$

$$\int_0^{2\pi} x \cos nx dx = 0$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x \cos nx dx = 0$$

$$\int_0^{2\pi} x^2 \sin nx dx = - \frac{4\pi^2}{n}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin nx dx = 0$$

$$\int_0^{2\pi} x^2 \cos nx dx = \frac{8\pi^3}{3}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos nx dx = \frac{2\pi^3}{3}(-1)^n$$

$$\int_0^{2\pi} x^3 \sin nx dx = 0$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \sin nx dx = 0$$

$$\int_0^{2\pi} x^3 \cos nx dx = 4\pi^4(-1)^n$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} x^3 \cos nx dx = 0$$

現実的には$x^2$まで覚えておいて, それ以降は計算するのがよさそう.

指数関数

不定積分から. こっちの方が覚えやすい...?
$$\int e^{ax} \sin nx dx = \frac{e^{ax}}{n^2+a^2} (a \sin nx - n \cos nx)$$

$$\int e^{ax} \cos nx dx = \frac{e^{ax}}{n^2+a^2} (n \sin nx + a \cos nx)$$

続いて定積分.

$$\int_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \sin nx dx = -\frac{2(-1)^n n}{n^2+a^2}\sinh \pi a$$

$$\int_{0}^{2\pi} e^{ax} \sin nx dx = -\frac{n}{n^2+a^2}(e^{2\pi a} - 1) a$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} e^{ax} \cos nx dx = \frac{2(-1)^n a}{n^2+a^2}\sinh \pi a$$

$$\int_{0}^{2\pi} e^{ax} \cos nx dx = \frac{a}{n^2+a^2}(e^{2\pi a} - 1) a$$