②同次式の置換―見つけ方とその選択

$s=y/x,t=z/x$ とおくと $st=1$ である。与式は

であり、最後の等号は $(s-1)^2=0$ のときに限る。したがって最大値は $\boxed{1}$、等号は $x=y=z$ のときに成り立つ。

分子・分母は2次で、条件も正の共通倍率で保たれます。すべて正なので、どの文字も基準にできます。条件で $x^2$ が単独になっていることから、まず $x$ を基準にする理由があります。

三変数から二つの比 $s,t$ へ直し、条件を代入して初めて $st=1$ が得られます。ここで一方を消せるので、一変数になりました。同次性だけで二つとも消えたのではありません。等号の比は正の共通倍率を戻して実現します。

$h=a+b$、$A=a/h,B=b/h$ とおく。$A+B=1$、$A,B\gt 0$ であるから、

よって $1/2\leq E^2\lt 1$。逆に、任意の $q\in(0,1/4]$ に対し、$T^2-T+q=0$ は正の二根 $A,B$ を持つ。それらを $a,b$ とすれば $E^2=1-2q$ が実現する。

したがって求める範囲は $\boxed{1/\sqrt2\leq E\lt 1}$。左端は $a=b$ のときにとる。

問題に見える部品は $a,b,a+b,a^2+b^2$ とその正の平方根です。基本比 $a/b$、和基準、二乗和基準、$(a+b)/\sqrt{a^2+b^2}$ などが作れます。

表示された分母を1にするため、まず和基準を試します。代入後は $A+B=1$ となり、二乗して積 $AB$ へまとめられると確認できました。正の平方根なので、二乗して得た範囲から正の値だけを戻せます。

二乗和基準でも解けます。この例で一方だけが正解なのではありません。和基準で短く評価と復元ができたため、そのまま続けました。上端1は、正の積が0になれないため含みません。

$s=(a+b)/c,t=ab/c^2$ とおく。条件は $s+t=1$ であり、$s^2\geq4t$ から

与式は $s^2-2t=s^2+2s-2$。これは $s\gt 0$ で増加するので、最小値は

である。$a=b=(\sqrt2-1)c$、$c\gt 0$ で元の条件を満たし、等号が成立する。

$c$ は条件の右辺に現れ、$a,b$ は交換しても条件と目的が変わりません。そこで基本比 $a/c,b/c$ と、その和・積を候補にします。和と積を選べば、問題文に表示された $ab$ と $a+b$ を記録できます。

実際に代入すると、条件が $s+t=1$ になり、目的も $s^2-2t$ へ収まりました。ここで初めて一方だけを残せます。二根の実数条件 $s^2\geq4t$ から範囲を調べ、増加を確かめてから等号を戻します。最初から $a=b$ と仮定してはいません。

上の範囲は十分でもあります。任意の $s\in[2(\sqrt2-1),1)$ に対し、$T^2-sT+1-s=0$ の二根は正であり、それを $a/c,b/c$ として戻せます。

$A+B=s,AB=t$ とし、$M_j=A^j+B^j$ とおきます。$M_0=2,M_1=s$ と

から、すべての $M_j$ は $s,t$ の多項式です。対称に組になった項も、$i\gt j$ なら

で、同じ指数の単独の項は $A^iB^i=t^i$ です。よって、対称多項式全体を和と積で表せます。

対称有理式 $N(A,B)/D(A,B)$ は、分母に $D(B,A)$ を掛けると分子・分母を対称多項式にできます。分子の対称性は、元の交換不変性による

から従います。したがって、対称有理式も和と積の有理式になります。新しい分母が零となる点は、元の式の定義域へ戻って扱います。

同じ全次数の項を集めても対称なので、そのまとまりごとに考えます。$a$ の指数、次に $b$ の指数が大きい順に単項式を並べると、対称性より先頭の項 $a^i b^j c^k$ は $i\geq j\geq k$ です。

同じ係数を付けた $p^{i-j}q^{j-k}r^k$ を引くと、その先頭の項も $a^i b^j c^k$ なので消えます。残りも対称で、同じ次数の単項式は有限個のため、繰り返すと最後まで消せます。たとえば $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=q^2-2pr$ です。

対称有理式は、元の分母の全順列を掛け合わせた対称な分母へ通分すれば、分子も対称になります。よって同じ性質が使えます。これは有理式としての表示の主張で、個々の点の分母の確認は残ります。

巡回させた三組では値が同じである。代表二組を計算すると

六つの並べ方は、この二組の巡回置換で尽くされる。よって求める値は $\boxed{25/6,\ 23/6}$ である。

条件は文字を自由に交換しても保たれます。しかし、目的は $a\to b\to c\to a$ の巡回では変わらず、二文字の交換では一般に変わりません。

三つの値が同じ集合だと分かっても、並べ方の情報が必要です。この例では六通りを巡回順で三つずつに分ければ、計算は二通りで済みます。$p=a+b+c,q=ab+bc+ca,r=abc$ はどの順序でも同じなので、それだけで二つの値を区別することはできません。

正の数 $k,l$ に対して、$bc/a^2=k,ca/b^2=l$ を満たす正の組を戻してみましょう。

$s=b/a,t=c/a$ とすれば $st=k,t/s^2=l$。二式を割ると $s^3=k/l$ なので、

したがって全解は

です。直接代入して二式を満たすことを確認できます。正の $k,l$ は任意に選べ、三つ目の複合比は $1/(kl)$ と決まります。三つを独立に指定することはできません。

$t=x/y\gt 0$ とおく。第2式から $(t-1)(t-3)=0$ なので、$t=1,3$。第1式より

$t=1$ では $(x,y)=(\sqrt5,\sqrt5)$、$t=3$ では $(x,y)=(3,1)$ となる。いずれも二式を満たすから、求める値は $\boxed{5,\ 3}$ である。

第2式は2次の零方程式なので、まず比を調べられます。一方、第1式は二乗和を10に固定しており、倍率を自由には変えられません。

比が1または3と分かった後、正の $y$ を倍率として残すと、第1式がその大きさを一意に決めます。比だけを答えるのでも、二乗和を1にしたまま $xy$ を答えるのでも不十分です。実際の組へ戻してから、元の目的の値を出します。

$s=(a+b)/\sqrt{a^2+b^2}$ とおく。$a,b\gt 0$ より $1\lt s\leq\sqrt2$ であり、

したがって $2\sqrt2/3\leq E\lt 1$。

任意の $s\in(1,\sqrt2]$ に対し

はともに正で、$a+b=s,a^2+b^2=1$ を満たす。よって $s$ の全範囲が実現し、求める値域は

左端は $a=b$ のときにとり、最大値は存在しない。

出発点：何を見て、倍率を外すか

分子・分母は2次、変数は正で、固定値条件はありません。目的も定義域も正の共通倍率で保たれます。したがって、共通倍率を除いて比を調べられます。

見える部品は $a+b,a^2+b^2,ab$ と平方根です。さらに $a,b$ を交換しても変わりません。ここから、基本比 $t=a/b$、二乗和による規格化、和と二乗和の比 $s=(a+b)/\sqrt{a^2+b^2}$、積の比 $q=ab/(a^2+b^2)$ が作れます。

試す前：候補をどう比べるか

まず基本比を短く試すと

です。一変数化はできました。ここまでが試して得た情報で、誤った置換ではありません。ただ、平方根が残っています。微分へ進む前に、既に見えていた対称な部品から作る候補も比較できます。

試した後：条件を加えて、候補を絞り直す

$h=\sqrt{a^2+b^2}$、$A=a/h,B=b/h$ とおくと、$A^2+B^2=1$ です。ここで対称性をもう一度使い、$s=A+B$ とおきます。すると

と分かります。この代入によって初めて、根号が消え、同じ $s$ 一つで目的を記録できると確認できました。そこで、この候補を採用して増減を調べます。

$q$ を残しても $E=\sqrt{1+2q}/(1+q)$ となり、十分扱えます。「微分が短くなるから $s$」と言う場合、その判断ができるのは、少なくとも両方の表示を計算した後です。

終点：範囲・端・元への復元

$AB\gt 0$ と $(A-B)^2\geq0$ から、$1\lt s\leq\sqrt2$。必要な範囲が分かっても、それだけでは値域の証明は終わりません。答案の二根の構成により、任意の $s$ が正の $a,b$ から戻ることを確認します。さらに、連続な減少関数なので、その間の値もすべてとります。

$s=\sqrt2$ は $a=b$ で実現します。一方、$s=1$ は正の積が0になることを要求するので実現しません。そのため上限1は値域に含まれず、最大値もありません。共通倍率は自由なので、構成した組を任意の正の数倍して戻せます。

この試行が進まなかったなら、残った量が多いのか、式が複雑なのかを見分けます。前者なら条件や候補の組へ、後者なら基準と部品の選択へ戻ります。計算を続けるか、選び直すかを、得た式に基づいて判断します。

$h=\sqrt{x^2+y^2}\gt 0$、$s=(x+y)/h,t=(x-y)/h$ とおくと、$s\ne0$、$s^2+t^2=2$。よって $-\sqrt2\lt t\lt \sqrt2$ である。

逆に、任意の $t\in(-\sqrt2,\sqrt2)$ に対し、$s=\sqrt{2-t^2}$ とし

とおけば、$x^2+y^2=1,x+y=s\ne0$ で $E=t$ となる。したがって値域は $\boxed{-\sqrt2\lt E\lt \sqrt2}$ である。

分母の平方根は正の倍率で1次、分子も1次なので、正の倍率を外せます。和も非零ですが、負になり得ます。符号の枝を増やさず扱える二乗和の平方根を基準にします。

代入後、和と差の二乗の恒等式から $s^2+t^2=2$ を得ます。ここで元の条件 $s\ne0$ を使わなければ、端点 $t=\pm\sqrt2$ を誤って含めてしまいます。二乗による評価だけで元の定義域を広げてはいけません。

また、$(x,y)$ と $(-x,-y)$ では $y/x$ が同じでも、$E$ の符号は逆です。基本比を使うならその符号も残す必要があります。答案では、任意の内点から元の組を構成して、途中に欠ける値がないことまで確認しました。

$t=x/y\gt 0$ とおくと、与式は

である。

より、$\alpha=(1+\sqrt5)/2$ とおけば、$f$ は $0\lt t\lt \alpha$ で増加、$t\gt \alpha$ で減少する。$\alpha^2=\alpha+1$ を用いると $f(\alpha)=\alpha$ である。

したがって最大値は

そのときの比は

である。この比は正の $x,y$ で実現する。

分子・分母が2次で、$x,y\gt 0$ なので、どちらの文字も基準にできます。一方、$x^2$ と $y^2$ の係数が違い、目的は交換対称ではありません。

候補は基本比 $x/y$ と $y/x$、和基準、二乗和基準です。対称な量 $xy/(x^2+y^2)$ だけでは、交換した二組を区別できず、目的の $x^2/(x^2+y^2)$ まで決まりません。

特別な条件も根号もないので、まず一つの基本比を試せます。二つの向きに本質的な優劣はありません。代入して二次式の商になり、さらに微分して正の臨界点が一つと確認できたので、そのまま続けます。最大の比は $(x,y)=(\alpha h,h)$、$h\gt 0$ で実現します。

$\alpha=(1+\sqrt5)/2$ とおく。$\alpha-1=1/\alpha\gt 0$ であるから、

よって与式は $\alpha$ 以下であり、等号は $x=\alpha y$ のときに成り立つ。

$p=x+y+z$、$X=x/p,Y=y/p,Z=z/p$ とおく。$X+Y+Z=1$、$X,Y,Z\gt 0$ であり、与式 $E$ は

となる。$A=X-25/71,B=Y-18/71$ とおけば、

等号は $X=25/71,Y=18/71,Z=28/71$ のときに成り立ち、これらはすべて正である。

したがって最大値は

のときにとる。

分子・分母は2次で、分母には和の二乗があります。係数が $4,5,6$ と違うので、完全対称でも巡回対称でもありません。

基本比の組、和・二乗和・積の各基準が候補です。和基準なら表示された分母を1にできるため、まずそれを試します。ここで一変数化や、平方完成の成功まで予想する必要はありません。

実際に $Z=1-X-Y$ を入れると、二変数の二次式になりました。次に平方完成を選び、中心を定める

を解いて $X=25/71,Y=18/71$ を得ます。その中心からの差で整理すると、負の平方二つになります。答案の分数は、この計算で決まる値です。

二変数のまま評価できたので、一変数へ減らす候補を探し続けません。中心の三成分がすべて正であることを確認し、元の比を戻します。同次性の寄与は三変数から二変数までです。

$A=a,B=2b$、$t=(A+B)/\sqrt{AB}$ とおく。$t\geq2$ であり、

等号は $t=2$、すなわち $A=B$ のときに成り立つ。よって最小値と等号成立条件は

である。

表示された部品は $a,2b$、その二乗和の根、積の根です。そこで $A=a,B=2b$ とそろえると、$A/B$、積基準、二乗和基準、$(A+B)/\sqrt{AB}$ が生成できます。

元の分母が $\sqrt{AB}/\sqrt2$ なので、積基準を先に試す理由があります。$A,B$ の交換対称性も保てますが、この時点では根号まで一つの和に収まるかは未確認です。

実際に $X=A/\sqrt{AB},Y=B/\sqrt{AB}$ とおくと $XY=1$。そこで残った対称性を見直し、$t=X+Y$ を取ると $X^2+Y^2=t^2-2$ と分かります。二度目の整理で、根号も同じ $t$ へ収まりました。$t\geq2$ のもとで各項が増えるので、端で最小です。

基本比 $A/B$ でも一変数になりますが、根号と平方根の分母が残ります。両方を短く試した結果として、今回は積基準から和を取り直す方針を採用できます。等号の $A=B\gt 0$ も実現します。

$a,b\gt 0$ より

したがって与式は $2\sqrt2+2$ 以上である。二つの等号は、ともに $a=2b$ のときに成り立つ。

$q=ab+bc+ca$ とおく。条件から

よって与式は $q/(3-2q)$ である。また

より $0\lt q\leq1/3$ である。

であり、等号は $a=b=c=1/3$ のときに成り立つ。

したがって最大値は $\boxed{1/7}$、等号成立条件は $\boxed{a=b=c=1/3}$ である。

条件と目的は完全対称で、和1の条件があります。ただし分母には定数項が混在し、初めから0次として書かれているわけではありません。

$p=a+b+c$ として $1=p^2$ と同次化すると、完全対称な候補 $q/p^2,r/p^3$ を作れます。表示された分子は既に $q$、分母は二次の式なので、まず $p^2,q$ で整理する理由があります。

展開して初めて分母が $3p^2-2q$ と分かり、目的は $q/p^2$ 一つへ収まります。三変数が一変数になったのは、この二次式が二つ目の量 $r/p^3$ を必要としないためです。

その後に $q\leq1/3$ を評価し、等号から $a=b=c$ を得ます。ここでは最大値だけを問うため、上からの評価とその実現で証明が完結します。

$h=\sqrt{ab}\gt 0$、$t=(a+b)/h\geq2$ とおく。条件から $h^3t=1$、すなわち $h=t^{-1/3}$ であり、

右辺を $f(t)$ とすると、$t\geq2$ で

また $f(2)=\sqrt[3]2$、$\lim_{t\to\infty}f(t)=\infty$ である。

任意の $t\geq2$ に対し、$h=t^{-1/3}$ として

とおけば、$a,b\gt 0$、$ab=h^2$、$a+b=ht$ となり、条件を満たす。

したがって、求める範囲は

である。左端は $a=b=2^{-1/3}$ のときにとる。

固定条件の左辺は3次、目的は2次で、両方とも $a,b$ に交換対称です。条件には和と積が表示され、目的も $(a+b)^2-2ab$ と書けます。したがって基本比、$(a+b)^2/(ab)$、その正の平方根が候補です。次数合わせでは $(a^2+b^2)^3/\{ab(a+b)\}^2$ も作れます。

和と積を両方記録し、最初から $t\geq2$ と分かる $t=(a+b)/\sqrt{ab}$ を先に試します。和 $a+b$ そのものを残す別解も有効で、一方だけが正解ではありません。

代入すると、補助に残した $h=\sqrt{ab}$ が条件 $h^3t=1$ で決まり、ここで初めて目的を $t$ 一つへ表せます。微分で増加が分かるので、最小値と上に限りがないことが確認できます。

値域なので、端の評価だけでは十分ではありません。任意の $t\geq2$ から正の $a,b$ を構成し、連続な目的関数が最小値から無限大までの全値をとることを示します。

$p=a+b\gt 0$ とおくと、$ab=1/p$ である。正の二根 $a,b$ が存在するための条件は

すなわち $p\geq\sqrt[3]4$ であり、この範囲では実際に $T^2-pT+1/p=0$ の二根が正である。

目的の式は

これは $p\gt 0$ で狭義に増加し、$p=\sqrt[3]4$ で $\sqrt[3]2$、$p\to\infty$ で無限大へ向かう。したがって範囲は $a^2+b^2\geq\sqrt[3]2$ である。

$z=0$ なら $y=-x$ であり、第1式から $2x^2=-2x^2$、よって $x=y=0$ となる。これは除かれているので $z\ne0$ である。

$s=(x+y)/z,t=xy/z^2$ とおく。第2式より $s=2$。第1式を $z^2$ で割ると

となるので、$t=1/4$ である。したがって $x/z,y/z$ は

の二根 $1\pm\sqrt3/2$ である。

よって求める組は

および $x,y$ を交換した組である。ただし $k$ は零でない任意の実数とする。これらはすべて元の二式を満たす。

二つの等式は、零との等式として書けば、それぞれ2次・1次の同次式です。どちらも $x,y$ の交換に対称で、第2条件の $z$ が特別な役割を持ちます。

基本比 $x/z,y/z$、その和と積、和基準、二乗和基準が候補です。$z$ 基準なら第2条件が和の比を直接指定するので、まずこれを試します。符号を許す問題なので、先に $z=0$ を確かめます。

実際に置くと $s=2$ が決まり、第1条件は積の比 $t$ について一次になりました。そこで初めて二つの比が両方決まり、二次方程式の二根として元へ戻せます。

元の二条件は負の共通倍率でも保たれるので、最後の倍率を正に限定してはいけません。二根の順序も、組の全体を求めるために両方残します。

$w=\sin\theta-\cos\theta$ とおく。$w=\sqrt2\sin(\theta-\pi/4)$ より、$w$ は $[-\sqrt2,\sqrt2]$ のすべての値をとる。また

なので、与式は

となる。この区間で分母は正で、

$f(-\sqrt2)=-2,f(\sqrt2)=2$ であるから、求める範囲は

である。

一方、$\theta=0,\pi$ では、どちらも $\tan\theta=0$ だが、与式の値はそれぞれ $-1,1$ である。よって、$\cos\theta\ne0$ の全範囲では、$\tan\theta$ の値だけからは一意に定まらない。

分子には差、分母には積と根号、条件には $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ があります。元の分母は、積が $-1/2$ 以上なので常に正です。

$A=\sin\theta,B=\cos\theta$ として定数1を $A^2+B^2$ に置き換えると、基本比 $A/B$、積の比 $AB/(A^2+B^2)$、差の比 $(A-B)/\sqrt{A^2+B^2}$ が作れます。目的の符号まで記録する必要があるため、表示された差の比を先に試します。

積の比は $(A,B)$ と $(B,A)$ を区別せず、基本比 $A/B$ も $(A,B)$ と $(-A,-B)$ を区別しません。この情報の不足は、最適化前に点検できます。差の比を実際に二乗すると、積まで同じ $w$ で表せると分かり、その後に増減を調べられます。

$\tan$ だけの候補は全範囲の記録には不足し、角度を制限して符号を残すなどの追加が必要です。採用した $w$ は区間全体と端を角度で実現し、その間も分母が零になりません。

$P=(a,b)$、$s=a^2+b^2$ とおくと、$a,b\gt 0$、$s+ab=1$ である。直線 $AB$ は $ax+by=s$ なので、三角形 $OAB$ の面積 $S$ は

$t=ab/s$ とおくと $0\lt t\leq1/2$ であり、条件から $s=1/(1+t)$。したがって

等号には $t=1/2$、すなわち $a=b$ が必要十分である。元の条件より $a=b=1/\sqrt3$ なので、最小値は

である。

図形量を式にして、倍率を見る

最初から比を当てる前に、点 $P=(a,b)$ を置いて直線を立てます。$OP$ の方向を法線に持つ直線なので $ax+by=a^2+b^2$ です。$a,b\gt 0$ より、二つの軸との交点はともに正の側にあり、面積を切片の積の半分で求められます。

その結果、面積は $(a^2+b^2)^2/(2ab)$ という2次の量になりました。一方、曲線の条件も2次ですが、値が1に固定されています。形を変えずに大きさを変えると面積も変わるので、自由な規格化で終えてはいけません。

目的と条件に共通する部品を比にする

条件には二乗和と積があり、面積にも同じ二つが現れます。基本比 $a/b$、和基準、二乗和と積の比が候補です。最後の候補なら交換対称性を保ち、分母 $s=a^2+b^2$ は確実に正です。そこで $t=ab/s$ を先に試します。

代入すると、固定条件が $s(1+t)=1$ になり、$s$ を戻せました。ここで初めて、面積が $1/\{2t(1+t)\}$ の一変数になると分かります。$t\gt 0$ では分母が増えるので、許される最大の $t=1/2$ で面積が最小です。

等号は、点の座標まで戻す

$t\leq1/2$ は $(a-b)^2\geq0$ から得た評価です。その等号から $a=b$ が出て、曲線の条件が大きさを決めます。$a:b=1:1$ だけでは、問いの座標を答えたことにはなりません。

$s=(a+b)/c$、$t=ab/c^2$ とおく。条件から

$t\gt 0$ であり、$a^2+b^2\geq2ab$ より $c^2\geq3ab$ なので、

与式は

である。$f(s)=s(7-2s^2)$ とすると $f'(s)=7-6s^2$ であり、$s_0=\sqrt{7/6}$ は上の区間内にある。したがって最大値は

である。

等号には $t=1/6$、すなわち $c^2=6ab$ が必要で、元の条件と合わせると $a^2+b^2=5ab$ となる。よって

逆に、この比で $c=\sqrt{a^2+b^2+ab}$ とすれば $c^2=6ab$ となり、最大値をとる。

① 最初の式だけから分かること

目的は分子・分母ともに3次です。条件は2次の同次な等式で、正の共通倍率が使えます。$a,b$ は交換対称ですが、$c$ は条件の右辺と目的の分母に現れる特別な文字です。目的には $a+b$ と $ab$ が明示されています。

この情報から $a=b$ と決めることはできません。対称性が示すのは、最適な組を交換した組も最適になることだけです。

② ここから作れる候補

まだ目的を代入していなくても、条件そのものから

が得られ、$s^2=1+t$ と結び付くことは確認できます。これは候補生成後の短い条件の整理であり、目的の簡約結果は使っていません。

③ 計算前の暫定順位

$s,t$ は、目的に表示された和と積をそのまま記録します。また上の関係から一方で他方を表せます。よって、この二候補を基本比より先に試す理由があります。

その中で $s$ を先に残すと、$a+b$ の正の比をそのまま扱えます。$t$ を残す案も、$s=\sqrt{1+t}$ と正の枝が確定するため十分自然です。ここで一方を唯一の正解とはしません。

④ 実際に試して分かること

目的へ代入すると $E=s(5-2t)$ です。条件で $t$ を消して初めて、$E=s(7-2s^2)$ という三次式になると分かります。その微分の零点が区間の内部にあり、そこで最大になることも、ここで初めて確認します。

一方、$a/b=v$ を試すと

となります。この形も正しく一変数ですが、和・積の候補に比べて根号つきの計算が残ります。ここまで短く代入して比較したうえで、今回は採用しません。

⑤ 範囲・等号・戻し方

得た範囲の $s$ が、架空の比だけでないことも確認できます。$t=s^2-1$ とすると、$a/c,b/c$ を戻す二次方程式は

$1\lt s\leq2/\sqrt3$ では、積が正、和が正、判別式 $4-3s^2$ が非負なので、二根はともに正です。したがってこの範囲のすべての $s$ が実現します。

最大点 $s_0$ では $a=b$ ではありません。$a=b$ は $s=2/\sqrt3$ という右端に対応します。最大が内部にあることが分かったので、等置を先にしていたら答えを失います。最後には $c$ を元の条件から構成し、等号が実現することを確認します。

$t=ab/c^2$ とおくと、条件から $(a+b)/c=\sqrt{1+t}$ であり、$0\lt t\leq1/3$ である。目的は

より、$t=1/6$ で最大値 $7\sqrt{42}/9$ をとる。

等号条件は $c^2=6ab$、$a^2+b^2=5ab$ であり、$a/b$ は $v^2-5v+1=0$ の正の二根 $(5\pm\sqrt{21})/2$ である。この比で $c=\sqrt{6ab}$ とすれば条件を満たす。

$A=a/b,B=b/c,C=c/a$ とし、

とおく。$ABC=1$ であり、条件は $U+V=13$ である。展開して得られる恒等式

に $U+V=13$ を使うと、$w=UV\gt 0$ に対して

よって $UV\geq41$、すなわち $U(13-U)\geq41$ であるから、

とおけば $L\leq U\leq H$ となる。

端点では上の差の積が0となる。巡回置換により $A=B=t,C=t^{-2}$ としてよく、$t+1/t\geq2$ と

から $t+1/t=3$。$T=(3+\sqrt5)/2$ とすると、$t=T$ または $T^{-1}$ である。

$t=T$ では $U=L$、$t=T^{-1}$ では $U=H$。元の比は、左端で $\boxed{a:b:c=T^2:T:1}$、右端で $\boxed{a:b:c=1:T:T^2}$、および各々の巡回置換である。これらは元の条件を満たす。

さらに、任意の $L\lt U\lt H$ に対し

を考える。$T^2-3T+1=0$ を用いると

また $X\to\infty$ で $P_U(X)\to\infty$ である。中間値の定理から、三つの区間 $(0,T^{-1}),(T^{-1},T),(T,\infty)$ に正の根を一つずつ持つ。

それらを $A,B,C$ とすれば、解と係数の関係より $ABC=1$、$A+B+C=U$、$AB+BC+CA=13-U$。$(a,b,c)=(AB,B,1)$ とすると元の条件と目的の値 $U$ を実現する。

したがって求める値域は

であり、両端の比は上記のとおりである。

最初に見えること：条件は完全対称、目的は巡回対称

条件も目的も0次で、正の共通倍率を外せます。ただし目的は、二文字を交換すると逆向きの比の和へ変わります。条件を対称な量でまとめても、目的に必要な順序を失ってはいけません。

候補は基本比の組、和・積による規格化、目的に表示された三つの循環比です。今回、目的がそのまま短くなり、三比の積1も分かるため、循環比を先に試す理由があります。この時点で最終的な端点や因数分解を知っている必要はありません。

代入して分かったこと：逆向きの和との和が固定される

$A=a/b,B=b/c,C=c/a$ とおくと $ABC=1$。条件を展開して、3を除いた六項を組み直すと

となります。逆向きの和が $V$ なのは $AB=1/C$ などによります。

ここで初めて、$V=13-U$ と一変数へ結べます。しかし、$U,V$ が正で和13という条件だけでは、正の $A,B,C$ が戻るとは限りません。次の目標は、$ABC=1$ を持つ三数から生まれる制約を取り出すことです。

三数の実在性を、差の積の平方で評価する

三数の差の積を二乗すれば非負であり、完全対称になります。第3・4講の見方から、これを和・積和・積で表す候補が生まれます。計算の長さはありますが、新しい定理を仮定する必要はありません。

実際、

とすると、$ABC=1$ より

したがって差の積の平方は $(M-N)^2=(M+N)^2-4MN$ となり、模範解答の恒等式が得られます。ここへ既に分かっている $U+V=13$ を入れてから、$UV$ の二次式が現れると確認します。その因数分解で上下限が決まります。

等号で二つ等しくなるのは元の $a,b,c$ ではなく、循環比 $A,B,C$ のうち二つです。その結果、元の三数は等比数列の並びになります。対称だから $a=b$ と先に置いていたら、この端点を失います。

値域は、端点だけで終えない

左端と右端を作るだけでは、その間がすべて実現するとはまだ言えません。欲しい $U$ に対し、三数 $A,B,C$ を根に持つはずの三次式を、解と係数の関係から作ります。

正の三根を保証するには、正の範囲で符号が交互に変わる場所があれば十分です。端点の根 $T,T^{-1}$ は既に求まっているので、そこへ代入する候補ができます。代入すると、途中の $U$ でも符号が保たれると確認でき、三つの正の根を構成できます。

最後に $ABC=1$ から元の三比を復元し、条件が $3+U+V=16$ として戻ることを確かめます。条件の対称性、目的の巡回順序、置換後の実在性を、それぞれ使い分ける問題です。

$h=(x+y+z)/3$、$X=x/h,Y=y/h,Z=z/h$ とおく。条件から

$a=X-1,b=Y-1,c=Z-1$ とおけば、

$b+c=-a$ より $b^2+c^2\geq a^2/2$ なので $|a|\leq2/3$ である。また $bc=a^2-1/3$ であるから、

$-2/3\leq a\leq2/3$ において

したがって $16/27\leq XYZ\leq20/27$ であり、

左端は $X,Y,Z$ が $1/3,4/3,4/3$ の順列、右端は $5/3,2/3,2/3$ の順列のときに限る。よって等号比は

およびそれぞれの順列である。

さらに、$-2/3\leq a\leq-1/3$ に対し

と定めると、上の和・二乗和を満たす。このとき各偏差の絶対値は $2/3$ 以下なので $X,Y,Z\gt 0$ であり、$XYZ$ は連続に $16/27$ から $20/27$ までのすべての値をとる。したがって表示した区間全体が実現する。

① 最初から分かること

条件も目的も0次で、完全対称です。条件には和の二乗と二乗和、目的には積があります。三変数なので、同次性だけでは二つの比が残ります。

② 作れる候補

$p=x+y+z,q=xy+yz+zx,r=xyz$ とすれば、$q/p^2,r/p^3$ が二つの対称な候補です。条件そのものから

となるので、第1の候補が $q/p^2=8/27$ と固定されます。第2の候補が目的です。

和基準のほか、二乗和基準、一文字基準も作れます。しかしこの条件が固定する対称量を使うと、どの情報がまだ動くかを明示できます。

③ 計算前の暫定順位

和が条件と目的の両方の分母にあるので、和基準を先に試します。二乗和も一定になることが見えており、平均からのずれを考える候補が生成されます。平均を1にするため、和1の代わりに和3を選びます。この定数倍の違いに本質的な意味はありませんが、中心からのずれを $X-1$ と書けます。

この段階で二文字を等しくしてよいとは分かっていません。端点の形がどうなるかは、これから評価して確かめます。

④ 代入してから、一変数を作り直す

平均からのずれを $a,b,c$ とすると、和0・二乗和一定になります。ここで候補生成をもう一度行います。一つの偏差 $a$ を残せば、残り二つは交換対称なので、その和 $b+c$ と積 $bc$ を条件から作れます。

実際に計算すると $b+c=-a$、$bc=a^2-1/3$ となり、積全体が $a^3-a/3$ へ移ります。これが一変数化を正当化する計算です。最初から三変数を一文字だけにしてよい、と仮定していません。

⑤ 範囲の発見、端点、復元

$|a|\leq2/3$ は、残り二つの二乗和を評価した結果です。残る三次式 $g(a)=a^3-a/3$ を調べるには、微分

を計算し、端 $\pm2/3$ と臨界点 $\pm1/3$ の値を比べれば、上下限 $\pm2/27$ を発見できます。答案の二つの因数分解は、その候補の上限・下限との差を整理したものです。因数分解を先に知っていたことにはしません。

等号条件を戻すと二文字が等しい組になります。ここで初めて、その形が正当化されました。すべての偏差は $[-2/3,2/3]$ にあるため、規格化後の文字は $[1/3,5/3]$ にあり、正値性が自動的に保たれます。

最後の連続な一族は、区間の途中を漏らしていないことの確認です。「条件を満たす集合が連続そうだから」という直感で済ませず、根号が実数である範囲を指定して構成しました。元の組は、その $X,Y,Z$ の任意の正の共通倍で復元できます。