哲学的微積分1

(仮)

積分って...なんでしょう?
Dirac delta function in case of x equal zero behaves infinity? の記事でも少しだけ説明していたのですが、積分のなす意味とは、いわば「足し合わせを超極小に細分して半端ないほどそれらを足し合わせる」つまり「離散和の連続化」です(だと思ってます)。
少し物理の話になるのですが、簡単な例です。
初期位置(時刻$t_0$)のベクトル$\vec{R_0}=(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$と設定します。そして移動後(時刻$t_1$)のベクトルを$\vec{R_1}=(x(t_1),y(t_1),z(t_1))$とします。ここでの変位は$\vec{R_1}-\vec{R_0}=:\Delta{\vec{R}}$、時刻の変化は$t_1-t_0=:\Delta{t}$とすれば、
平均速度ベクトルは$\frac{\Delta{\vec{R}}}{\Delta{t}}$と表現できます。ベクトル関数として考えて、位置ベクトル関数$\vec{R}$を時刻関数$t$で微分してみましょう。ここでは数学の意味で導関数をもとめることにします。すると、
$$\vec{R}'(t)=\frac{d\vec{R}}{dt}$$
となります。これは言うまでもなく速度ベクトルの定義なんですが、平均速度ベクトルと比較すれば見えてこないでしょうか?
そうですね。時刻変化$\Delta{t}$をとっにかく小さくしたものが時刻の微小な変化$dt$であり、それに伴って縮まる$\Delta{\vec{R}}$は最終的に(?)$d\vec{R}$へと帰着するわけです。
厳密な話ではないのですが、こう捉えるといろんな話がスムージーなのは皆さんも少しは認知していると思います。
さあ！ここで強調マークで赤色になっている文を$t$と$\vec{R}$で比較してみてください。

これ以降名詞として使う「微分」は次のように捉えて下さい。

ここ(強調)で最も伝えたかったのは、$dt$は定数としてとらえることができ、あくまで$d\vec{R}$は$t$の関数であるということ。
は？お前ほんとマジお前分かって(ry
と思った方が半分、思わなかった方がもう半分と思っています。
分からなかった人は枠で囲んだ部分をじっくり読んでください。
それでも分からなかった人は、生粋の数学者であるか、ほんとに分からなかった人のどちらかです。多分。
ここからはいろいろな(いろいろすぎる)話をするので、吐き気を少しでも感じたらブラウザバック()。

$\sin{x}$を$\cos{x}$で微分してみよう

ここは(動詞)+するの形なので名詞じゃなくて普通の導関数として(捉えようにも捉えられないけど)捉えて下さい。
考え方をいくつか紹介。

「微分」

名詞の微分です。まず$d\sin{x}$の$x$に関する微分を考えましょう。
$y=\sin{x}$とおけば$dy=\cos{x}\cdot dx$となるので$d\sin{x}=\cos{x}dx$です。
同様に$d\cos{x}=-\sin{x}dx$。
よってこれらを分数形で書いて(dxは定数扱いするので約分できるものとします)、
$$\frac{d\sin{x}}{d\cos{x}}=\frac{\cos{x}\cdot dx}{-\sin{x}\cdot dx}=-\frac{1}{\tan{x}}$$
微小量の次元もちゃんと保たれてるとこがいいですね。

chainrule

連鎖律によって少しだけ地道に計算します。
$$\frac{d\sin{x}}{d\cos{x}}=\frac{d\sin{x}}{dx}\cdot \frac{dx}{d\cos{x}}=\cos{x}\cdot -\frac{1}{\sin{x}}=-\frac{1}{\tan{x}}$$
たまにはこういうのもいい(?)。

「微分」(定義版)

「微分」の定義に従って進めましょう。
$$\frac{d\sin{x}}{d\cos{x}}=\frac{\sin(x+dx)-\sin{x}}{\cos(x+dx)-\cos{x}}=\frac{\sin{x}\cos{dx}+\sin{dx}\cos{x}-\sin{x}}{\cos{x}\cos{dx}-\sin{x}\sin{dx}-\cos{x}}$$
どう足掻いても$\cos{dx}$は$1$で近似できるので(ここでは完全に$1$とします)、一部が相殺して、
$$=\frac{\sin{dx}\cos{x}}{-\sin{x}\sin{dx}}=-\frac{1}{\tan{x}}$$
キレイに仕上がりました。

conclusion

これらは多分古来の微積分に通ずる考え方だと思われます。無限小量を極限から間接的に定義できたことによって、$dx$が数学における「数」として扱われにくくなったのでしょう。
そうそう、ネタがなかった中この記事にわずかな希望を残しています。
なので、シリーズ化します...
To Be Continued.