海外のコンテストの整数問題100問

$\sqrt[3]{n}$より小さいすべての正整数が$n$を割り切るような最大の整数$n$を求めよ

異なるいくつかの平方数の和として表せない正整数の集合は有限であることを示せ

すべての正整数$n$に対して$\left\lfloor\dfrac{(n-1)!}{n(n+1)}\right\rfloor$は偶数であることを示せ

すべての正整数$n\geq 2$に対して$n$以下の素数すべての積は$4^n$より小さいことを示せ

$\phi(n)$と$d(n)$がともに平方数となる正整数$n$は無限に存在することを示せ

$d(a)=d(b)$かつ$d(a^2)=d(b^2)$だが$d(a^3)\not=d(b^3)$となるような正整数$a,b$は存在するか．

自然数からなる単調増加な無限数列であって，異なる$2$数の和すべてが異なる$3$数の和すべてと互いに素であるようなものは存在するか．

$100\leq n\leq 1997$である正整数であって，$\dfrac{2^n+2}{n}$も整数であるものを求めよ

$a,b,c$を$\gcd(a,b)+\textrm{lcm}(a,b)=\gcd(a,c)+\textrm{lcm}(a,c)$を満たす正整数とする．このことから$b=c$となるか．

最小公倍数が平方数となるような$5$つの連続した正整数は存在するか

正整数$N$は$N$のすべての約数の平方和が$N(N+3)$に等しいとする．このとき$N=F_iF_j$を満たす$2$つの添字$i,j$が存在することを示せ($(F_i)_{n=1}^\infty$はフィボナッチ数列)

$a,b$はすべての正整数$n$に対して$b^n+n$が$a^n+n$の倍数であるような正整数とする．$a=b$を示せ

$n^2+1$が無平方となる整数$n$が無限に存在することを示せ

$712!+1$は素数か

$\sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\cdots +\sqrt{\sigma(n-1)+\sqrt{\sigma(n)}}}}}$が有理数となる集合$\{1,2,3,\cdots ,n\}$の置換$\sigma$が存在するような正整数$n$をすべて求めよ

$n^2+1$が差が$n$である$2$つの約数を持つような正整数$n$が無限に存在することを示せ

$n!=a^{n-1}+b^{n-1}+c^{n-1}$は正整数の範囲で高々有限個しか解を持たないことを示せ

正整数の無限集合$S$のうち，すべての$n\geq 1$に対して$S$の$n$個の異なる要素$x_1,x_2,\cdots ,x_n$をどのようにとっても$x_1+x_2+\cdots x_n$が平方数とならないものを一つ求めよ

$n$を正整数とし，その正の約数をそれぞれの和が素数となるように$2$つ組に分けることができるとする．それらの素数は異なり，$n$の約数でないことを示せ

任意の正整数$n\geq 2$に対して
$\displaystyle\sum_{k=2}^n\lfloor\sqrt[k]{n}\rfloor=\displaystyle\sum_{k=2}^n\lfloor\log_kn\rfloor$
を示せ

$x!+y!=x^y$を満たす正整数の組$(x,y)$をすべて求めよ

$a!+b!=a^b+b^a$を満たす正整数の組$(a,b)$をすべて求めよ

$n^2$を$4$進法で表記したときに桁に$1$と$2$しか含まないような正整数$n$が無限に存在することを示せ

$n^4+n^2+1$の最大の素因数が$(n+1)^4+(n+1)^2+1$の最大の素因数と等しいような正整数$n$が無限に存在することを示せ

任意の整数$n$に対して$n^m-m$が$p$で割り切れないような素数$p$が存在するとき，正整数$m$をすべて求めよ

$a,b$を整数とする．$a+b+c+d=0$かつ$ac+bd=0$を満たす整数$c,d$が存在する必要十分条件は$a-b$が$2ab$を割り切ることを示せ

すべての辺の長さが同じで，すべての頂点の座標が有理数である$n$角形がある．$n$は偶数であることを示せ

$n$を正整数とし，$a_1,a_2,\cdots a_n$を互いに異なる正整数とする．$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{[a_1,a_2,\cdots a_k]}<4$を示せ．
ただし$[a_1,a_2,\cdots a_k]$は$a_1,a_2,\cdots a_k$の最小公倍数である

$a,b$を正整数とする．$4ab-1$が$(4a^2-1)^2$を割り切るとき，$a=b$であることを示せ

$k$を正整数とし，$a_0=1,a_{n+1}=a_n+\lfloor\sqrt[k]{a_n}\rfloor$で定義される数列を考える．各$k$について，$(\sqrt[k]{a_n})$内のすべての整数からなる集合$A_k$を求めよ

$a,b$を$1$より大きい異なる整数とする．$(a^n-1)(b^n-1)$が平方数とならない正整数$n$が存在することを示せ

$n> 1$において，$n$は$2^{n-1}+1$を割り切らないことを示せ

すべての整数$n$に対して$4n+1$と$kn+1$が共通の約数を持たないような$k\in\mathbb{Z}$をすべて求めよ

$5$個以下の平方数の和として一意に表現できる自然数をすべて求めよ

$1$より大きく互いに異なる$a,b,c$を用いて$\dfrac{a-1}{b}+\dfrac{b-1}{c}+\dfrac{c-1}{a}$と表せる正整数が無限に存在することを示せ

$\dfrac{a^p-a}{p}=b^2$を満たす素数$p$と自然数$b\geq 2$が存在するような最小の自然数$a\geq 2$を求めよ

$2^{561}-2,3^{561}-3,\cdots ,561^{561}-561$の最大公約数を求めよ

整数$d>1,m$が与えられる．$(2^{2^k}+d,2^{2^l}+d)>m$となる整数$k>l>0$が存在することを示せ

$x,y,m,n$を
$\underbrace{x^{x^{x^{\cdot^{\cdot^x}}}}}_{m\text{times}}=\underbrace{y^{y^{y^{\cdot^{\cdot^y}}}}}_{n\text{times}}$
を満たす$1$より大きい正整数とする．このことから$m=n$となるか．

$n\geq 2$を整数とする．$x_1^{x_2}=x_2^{x_3}=\cdots =x_{n-1}^{x_n}=x_n^{x_1}$を満たす正の有理数からなる数列$x_1,\cdots x_n$をすべて求めよ

$p+q+r=0$かつ$pqr=1$を満たすような$p,q,r\in\mathbb{Q}$を見つけることは可能か

$0\leq a < n!$で，$n!|a^n+1$を満たす整数$a$が一意に存在するような正整数$n$をすべて求めよ

正整数の組$(m,n)$のうち，$\dfrac{a^m+b^m}{a^n+b^n}$が整数となるような$1$より大きく互いに素な整数$(a,b)$が存在するものをすべて求めよ

$a,b$を$2$つの正整数とする．$a^2+\left\lceil\dfrac{4a^2}{b}\right\rceil$は平方数でないことを示せ

$a>b>1$を奇数とし，$n$を正整数とする．$b^n|a^n-1$ならば$a^b>\dfrac{3^n}{n}$を示せ

$x< y$を正整数とし，$P=\dfrac{x^3-y}{1+xy}$とする．$P$の取りうる整数値をすべて求めよ

正整数からなる無限等差数列であって，ある$N\in\mathbb{N}$が存在して任意の素数$p>N$に対してその数列の$p$番目も素数となるものをすべて求めよ

$n^n+(n+1)^{n+1}$が合成数となる正整数$n$が無限に存在することを示せ

$\phi(n)=d(n)$を満たすような$n$をすべて求めよ

任意の自然数$k$について，$p$が$qr-k$を割り切り，$q$が$rp-k$を割り切り，$r$が$pq-k$を割り切るような異なる素数の組$(p,q,r)$が高々有限個存在することを示せ

関数$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$がすべての正整数$n$に対して$f^{f^{f(n)}(n)}(n)=n$であるとき，$f$は飽和である．すべての飽和な関数$f$に対して$f^{2014}(m)=m$を満たす正整数$m$をすべて求めよ

$k$以下の異なる正整数のすべての組$(m,n)$に対して$n^{n-1}+m^{m-1}$が$k$で割り切れないような整数$k\geq 2$をすべて求めよ

平面上に$n\geq 3$個の点がある．$1\leq \dfrac{AB}{AC}\leq \dfrac{n+1}{n-1}$を満たす$3$点$A,B,C$が存在することを示せ

$a,b,c$を$a< b< c< a+b$を満たす正整数とする．$c(a-1)+b$は$c(b-1)+a$を割り切らないことを示せ

$d$を任意の正整数とするとき，$d(n!)-1$が合成数となる正整数$n$が無限に存在することを示せ

すべての正整数$n\geq 2$に対して，$2^n-1$は$3^n-1$を割り切らないことを示せ

すべての非負整数$n$に対し，$x^2+y^2+z^2=3^{2^n}$を満たし$\gcd(x,y,z)=1$となる整数$x,y,z$が存在することを示せ

$m,n\geq 3$を奇数の正整数とする．$2^m-1$は$3^n-1$を割り切らないことを示せ

$n$と互いに素な$n$以下のすべての正整数が素べきとなるような正整数$n$をすべて求めよ

$a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots$を任意のすべての正整数の置換とする．$\gcd(a_i,a_{i+1})\leq \dfrac{3}{4}i$となる正整数$i$が無限に存在することを示せ

$\lfloor\sqrt{3}d(n)\rfloor$が$n$を割り切るような正整数$n$が無限に存在することを示せ

$p|2^{q-1}-1$かつ$q|2^{p-1}-1$となる素数の組$(p,q)$が無限に存在することを示せ

a)以下の性質を持つ正整数$g$をすべて求めよ:
各奇素数$p$に対して$p$が$g^n-n$と$g^{n+1}-(n+1)$を割り切るような正整数$n$が存在する
b)以下の性質を持つ正整数$g$をすべて求めよ:
各奇素数$p$に対して$p$が$g^n-n^2$と$g^{n+1}-(n+1)^2$を割り切るような正整数$n$が存在する

$p^{q-1}-q^{p-1}=4n^2$を満たす異なる素数$p,q$と正整数$n$は存在しないことを示せ

$p^{q-1}-q^{p-1}=4n^3$を満たす異なる素数$p,q$と正整数$n$は存在しないことを示せ

$p< q< r< s$である素数の組$(p,q,r,s)$であって，$p^s-r^q=3$をみたすものをすべて求めよ

ちょうど$3$つの格子点を通る円の半径の最小値を求めよ

以下の性質を持つ正整数$n$をすべて求め，条件を満たすことを証明せよ:正の約数をちょうど$n$個持つ$n$の倍数が高々有限個しかない

整数$n>1$は以下の性質を持つ:すべての$n$の(正の)約数$d$に対して，$d+1$が$n+1$の約数である．$n$は素数であることを示せ

$\displaystyle\prod_{i=1}^n(i^3+1)=m^2$を満たす整数$1\leq m,1\leq n\leq 2009$をすべて求めよ

$\dfrac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$は合成数であることを示せ

$\sqrt{3}=1.b_1b_2b_3\cdots _{(2)}$を$\sqrt{3}$の$2$進表現とする．任意の正整数$n$に対して$b_n,b_{n+1},\cdots ,b_{2n}$の少なくとも$1$つは$1$に等しいことを示せ

$p|q^r+1,q|r^p+1,r|p^q+1$となる素数の順序付いた組$(p,q,r)$をすべて求めよ

$10$進法で$n-1$桁が$1$であり$1$桁が$7$であるすべての自然数が素数であるような自然数$n$をすべて求めよ

$3^a-5^b=2$を満たす整数$a,b$をすべて求めよ

$2^a-5^b=3$を満たす正整数$a,b$をすべて求めよ

$k$を非負整数，$m$を奇数の自然数とする．$m^n+n^m$が少なくとも$k$個の異なる素因数を持つような自然数$n$が存在することを示せ

$5^n$が$10$進法で$0$が$6$個連続するような正整数$n<10^6$が存在することを示せ

正整数$n$の正の約数$d$すべてに対して$d+2$が素数であるとき，$n$は$funny$な数である．正の約数の個数が最大となる$funny$な数をすべて求めよ

$d_1,d_2,\cdots ,d_r$を$n$の正の約数とし，$1=d_1< d_2<\cdots < d_r=n$とする．$(d_7)^2+(d_{15})^2=(d_{16})^2$のとき，$d_{17}$のとりうる値をすべて求めよ

$3^m+1$と$3^n+1$がともに$mn$で割り切れるような正整数$m,n$をすべて求めよ

任意の有理数は和が$0$となる$4$つの有理数の積で表せることを示せ

任意の正整数$m,n$に対して$2^k-m$が少なくとも$n$個の異なる素因数を持つ正整数$k$が常に存在することを示せ

$3^x+4^y=5^z$の正整数解$x,y,z$をすべて求めよ

自然数に対して定義され自然数値を取りうる関数$f$であって，すべての$n\in\mathbb{N}$とすべての素数$p$に対して
$(f(n))^p\equiv n\space (mod f(p))$
を満たすものをすべて求めよ

すべての正整数$n$に対して$a$が$b^n-n$を割り切らないような正整数$a,b$は存在するか

$n$が$2^n$を割り切り，$n-1$が$2^n-1$を割り切り，$n-2$が$2^n-2$を割り切るような正整数$n<10^{100}$をすべて求めよ

$p^{q+1}+q^{p+1}$が平方数となる素数の組$(p,q)$をすべて求めよ

$p$を奇素数とする．$\sqrt{2p}-\sqrt{x}-\sqrt{y}$が非負実数の中で最小の値を取るときの正整数$x,y$を求めよ

ある平面に正十二面体の頂点がないとき，その平面が正十二面体と交差する辺は最大でいくつあるか

$p$を素数とする．すべての正整数$n$に対して$n^p-p$が$q$で割り切れないような素数$q$が存在することを示せ

$\dfrac{(a+1)^n-a^n}{n}$が整数となる正整数の組$(a,n)$をすべて求めよ

$n$の各桁が$5$より大きく，$n^2$の各桁が$5$より小さいような正整数$n$は存在するか

$n^n+1$が完全数となるような正整数$n$を求めよ

整数$n\geq k\geq 0$に対し，$bibinomial$ $coefficient(\binom{n}{k})$を以下で定義する．
$(\binom{n}{k})=\dfrac{n!!}{k!!(n-k)!!}$
正整数の組$(n,k)$のうち，それに対応する$bibinominal$$coefficient$が整数となるものをすべて求めよ

$n\geq 2$を正整数とし，$\sigma(n)$を$n$の正の約数の和とする．$n$と互いに素な正整数のうち$n$番目に小さいものは$\sigma(n)$以上であることを示し，また等しくなるときの$n$を求めよ

すべての有理数$x,y$に対して$x-\dfrac{1}{x}+y-\dfrac{1}{y}=4$は成り立たないことを示せ

$1$と$-1$からなる数列$a_1,a_2,\cdots ,a_n$であって$a_1\cdot 1^2+a_2\cdot 2^2+\cdots +a_n\cdot n^2=0$を満たすものが存在するような正整数$n$をすべて求めよ

すべての頂点間の距離が整数となる六角形$ABCDEF$が存在することを示せ

$1000!$の末尾には$0$がいくつ並びますか？