Whitneyの例　～分類の障壁～

非調和比に対応するベクトルを$v_1,v_2,v_3,v_4$とする．
$\underline{\text{(i) について　}}$
$$\frac{1}{\sigma_{1,2,4,3}} = |v_2,v_4||v_1,v_3|/|v_1,v_4||v_2,v_3| = \sigma_{1,2,3,4}$$
$\sigma_{1,2,4,3}$の方も同様．

$\underline{\text{(ii) について }}$
$$\begin{array}{rcl} \sigma_{2,1,4,3} &=& |v_2,v_4||v_1,v_3|/|v_2,v_3||v_1,v_4|\\ \sigma_{3,4,1,2} &=& |v_3,v_1||v_4,v_2|/|v_3,v_2||v_4,v_1| \\ \sigma_{4,3,2,1} &=& |v_4,v_2||v_3,v_1|/|v_4,v_1||v_3,v_2| \end{array}$$
より，すべて$\sigma_{1,2,3,4}$に一致する．符号に関しては相殺されることに注意したい．

$\underline{\text{(iii) について }}$
(ii)より$4!=24$通りある並び通りのうち1つ当たり4個の等しい非調和比のセットが作れるため$24/4=6$個以下の要素があることが予想される．これが互い違いになるかは後ろの定理の証明で見てみよう．

$\underline{\text{(i) について }}$
$\begin{array}{rcl} \sigma(c_1v_1,c_2v_2,c_3v_3,c_4v_4) &=& |c_1v_1,c_3v_3||c_2v_2,c_4v_4|/|c_2v_2,c_3v_3||c_1v_1,c_4v_4|\\ &=& c_1c_2c_3c_4|v_1,v_3||v_2,v_4|/c_1c_2c_3c_4|v_2,v_3||v_1,v_4|\\ &=& \sigma(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{array}$

$\underline{\text{(ii) について }}$
まず以下のことを示そう．
$$|Av_1,Av_2|=|A||v_1,v_2|$$
行列の積と行列式は交換可能なため直ちに従う．よって
$$\begin{array}{rcl} \sigma(Av_1,Av_2,Av_3,Av_4) &=& |A|^2|v_1,v_3||v_2,v_4|/|A|^2|v_2,v_3||v_1,v_4|\\ &=& \sigma(v_1,v_2,v_3,v_4) \end{array}$$

$f_s \sim_{\mathcal{R}} f_t$を仮定する．
このとき次の$C^\infty$-微分同相写像$h:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2$が存在して，$f_s \ \circ h = f_t$となる．よって，$h(f_t^{-1} (0))) = f_t^{-1}(0)$となる．つまり0の逆像が$h$を噛ませることで一致する．
逆像のグラフ
このことから$dh_{(0,0)}(f_t^{-1}(0)) = f_t^{-1}(0)$が成り立つ．これはこの四本に伸びる直線がそれぞれの直線らに写ることを示している．つまり，4個の実２次元ベクトル
$$\DVec{1}{0}, \ \DVec{0}{1}, \ \DVec{1}{1},\ \DVec{t}{1}\ \ \ \ \ \ (1-1)$$
は正則行列$J_h(0,0)$($h$のヤコビ行列)によって，$c_i \not = 0 \ (i=1,2,3,4)$を用いて4個の実2次元ベクトル
$$c_1 \DVec{1}{0}, \ c_2 \DVec{0}{1}, \ c_3 \DVec{1}{1},\ c_4 \DVec{s}{1}\ \ \ \ \ \ (1-2)$$
のいずれかに写される．ここからのトリックでんえぇ？となるが非調和比を使う．4個の実2次元ベクトル
$$\DVec{1}{0}, \ \DVec{0}{1}, \ \DVec{1}{1},\ \DVec{t}{1}$$
で決まる非調和比を
$$\sigma(t) = \left| \begin{array}{cc} 1& 1\\ 0 &1 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} 0 & t\\ 1 & 1 \end{array} \right| \left/ \left| \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array} \right| \left| \begin{array}{cc} 1 & t\\ 0 & 1 \end{array} \right| \right. =t$$
とし，$\sigma(s)_{ijkl} = \sigma (v_i,v_j,v_k,v_l)(s)\ \ \ (i,j,k,l=1,2,3,4)$を４つのベクトル
$$v_1=\DVec{1}{0}, \ v_2=\DVec{0}{1}, \ v_3=\DVec{1}{1},\ v_4=\DVec{s}{1}$$
で決まる非調和比と補題3(1)から式(1-1)らのベクトルが式(1-2)のベクトルらに正則行列$J_h(0,0)$で写る．この非調和比は補題3(2)より保たれる．また，実係数がついても非調和比が補題3(1)より保たれるため$\sigma(t)$と$\sigma(s)_{i,j,k,l}$が一致することが分かる．
　補題2(3)より非調和比を計算していくと，
$$\begin{array}{ccccc} \sigma(s)_{1,2,3,4} &= & \Ratio{1}{1}{0}{1}\Ratio{0}{s}{1}{1}\left/ \Ratio{0}{1}{1}{1}\Ratio{1}{s}{0}{1} \right. & = &s\\ \sigma(s)_{1,2,4,3} &= & \Ratio{1}{s}{0}{1}\Ratio{0}{1}{1}{1}\left/ \Ratio{1}{1}{0}{1}\Ratio{0}{1}{s}{1} \right. & = &\frac{1}{s}\\ \sigma(s)_{1,3,2,4} &= & \Ratio{1}{0}{0}{1}\Ratio{1}{s}{1}{1}\left/ \Ratio{1}{s}{0}{1}\Ratio{1}{0}{0}{1} \right. & = &1-s\\ \sigma(s)_{1,3,4,2} &= & \Ratio{1}{s}{0}{1}\Ratio{1}{0}{1}{1}\left/ \Ratio{1}{0}{0}{1}\Ratio{1}{s}{1}{1} \right. & = &\frac{1}{1-s}\\ \sigma(s)_{1,4,2,3} &= & \Ratio{1}{0}{0}{1}\Ratio{s}{1}{1}{1}\left/ \Ratio{1}{1}{0}{1}\Ratio{s}{0}{1}{1} \right. & = &\frac{s-1}{s}\\ \sigma(s)_{1,4,3,2} &= & \Ratio{1}{1}{0}{1}\Ratio{s}{0}{1}{1}\left/ \Ratio{1}{0}{0}{1}\Ratio{s}{1}{1}{1} \right. & = &\frac{s}{s-1}\\ \end{array}$$
となり，どれかに$t$が一致している．範囲が$0< s,t<\frac{1}{2}$であるからすべてのグラフを描いてみると， 線形計画法
となるが，この中で$s,t$の範囲で適しているのは$s=t$のみである．