現代数学解説

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特異点論入門〜これほど簡単な入門記事は多分ない〜part2

代数幾何,大学数学,特異点論

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この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

アンドロイドは $K$ -同値の夢を見るか

実は連載でした

はい、実は連載だったんです！！

$K$ -同値

それじゃあパッパとやってきましょうね〜〜(やっつけ仕事)

R

-同値

$f, g \in E_{n, p}$ について $R$ -同値(right equivalent)とは
$f \sim_{R} g \overset{def}{⟺} \exists h : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0)$ :微分同相 s.t. $f = g \circ h$

つまり,定義域を微分同相で変換してあげたときに $f$ が $g$ に一致するなら, $f$ と $g$ は同じと見なそうね！！ってことです

$f = x y$ と $g = x^{2} - y^{2}$ は $R$ -同値
$∵ h (u, v) = (\frac{1}{2} (u + v), \frac{1}{2} (u - v))$ とすれば,
　 $g \circ h (x, y) = (\frac{1}{2} (x + y))^{2} - (\frac{1}{2} (x - y))^{2} = x y = f (x, y)$

これと似た要領で以下のような同値もあります

A

-同値

$f, g \in E_{n, p}$ について $A$ -同値とは
$f \sim_{A} g \overset{def}{⟺} \exists φ : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0), ϕ : (K^{p}, 0) \to (K^{p}, 0)$ :微分同相 s.t. $f = ϕ \circ g \circ φ$

今度は値域も微分同相で変換してあげてますね！ここからすぐに( $ϕ$ を恒等写像とすれば) $R$ -同値は $A$ -同値であるとわかります.ただ,逆は成り立ちません.

$f (x) = (x, x), g (x) = (x, x^{2}) \in E_{1, 2}$ は $A$ -同値であるが, $R$ -同値でない.
$∵ φ$ を恒等写像, $ϕ (u, v) = (u, v^{2})$ とすれば良いが,
　 $φ$ をどう取っても, $f \circ φ \neq g$ となる.

値域の方だけ変換してあげる同値のことを $R$ -同値に対して $L$ -同値(left equivalent)といいます.これに関しても $L$ -同値は $A$ -同値と言えますね！

学び始めの頃はここらへんの違いがよく分からず大変でしたね...同値の判定にも時間がかかりましたが,毎日感謝の座標変換1万回を繰り返していくと段々慣れていきます.最近になってくると祈る時間が増えてきましたしね！
(ネタが分からない人はすぐにMathlogを閉じてHUNTER $\times$ HUNTERを見てください！！少なくとも特異点論よりは大事です)

おいおい $K$ -同値はまだかよ

...と思った方、、、お　待　た　せ　い　た　し　ま　し　た！！
$K$ -同値の定義をします！！

K

-同値

$f, g \in E_{n, p}$ について $K$ -同値(contact equivalent)とは
$f \sim_{K} g \overset{def}{⟺} \exists φ : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0), A \in G L (p, E_{n})$ : $E_{n}$ 成分の $p \times p$ 行列 s.t. $f = A \cdot (g \circ φ)$

『 $K$ -同値は"微分同相変換"と"行列変換"両方の性質を持つ $♣$ 』
さて,意味を考えていきましょう.まず,行列変換の意味です.

$A = \begin{array}{r} (\begin{array}{cc} h_{11} & \dots & h_{1 p} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ h_{p 1} & \dots & h_{p p} \end{array}) \end{array}$ (ただし, $h_{i j} \in E_{n}$ )とする.
このとき, $f = \begin{array}{r} (\begin{array}{ccc} h_{11} & \dots & h_{1 p} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ h_{p 1} & \dots & h_{p p} \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} g_{1} \circ φ \\ ⋮ \\ g_{p} \circ φ \end{array}) = (\begin{array}{c} h_{11} \cdot g_{1} \circ φ + \dots + h_{1 p} \cdot g_{p} \circ φ \\ ⋮ \\ h_{p 1} \cdot g_{1} \circ φ + \dots + h_{p p} \cdot g_{p} \circ φ \end{array}) \end{array}$ となるので,
$f$ の成分 $f_{1} \dots f_{p}$ は $⟨ g_{1} \circ φ, \dots, g_{p} \circ φ ⟩_{E_{n}}$ :イデアルの元と思える

さてイデアルという言葉が登場しましたね！！さっきまで微分同相という幾何の言葉しか使っていなかったのに,急に代数として考えられてしまうわけです.これこそが特異点系の代数幾何の人が $K$ -同値を使う理由なのです！！

さてでは, $K$ -同値について重要な命題を紹介します.

$f = (f_{1}, \dots, f_{p}) \in E_{n, p}$ について,

$I_{f} \overset{def}{=} ⟨ f_{1}, \dots, f_{p} ⟩ \subset E_{n}$ :イデアル
$X_{f} \overset{def}{=} V (I_{f}) = {x \in K^{n} | \forall F \in I_{f}, F (x) = 0}$

$f, g \in E_{n, p}$ に対して,以下の(i)と(ii)は同値
　(i) $f \sim_{K} g$
　(ii) $\exists h : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0)$ :微分同相 s.t. $I_{g} = I_{f} \circ h$
また $X_{f}, X_{g}$ が被約(i.e. $E_{n} / I_{f}, E_{n} / I_{g}$ の冪零元は $0$ のみ)のときに(iii)も加えて同値
　(iii) $\exists h : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0)$ :微分同相 s.t. $X_{g} = h (X_{f})$

$K$ -同値というのは「微分同相写像でイデアルが移り合う」という意味があるのが分かります.(iii)は実はHilbertの零点定理から分かるのですが「図形も(被約であれば)イデアルに直に対応するので,微分同相で図形が移る」という意味になります！

定理1の

$f, g \in E_{n, p}$
このとき, $f \sim_{A} g \Rightarrow f \sim_{K} g$ が成立

$m_{p} = ⟨ x_{1}, \dots, x_{p} ⟩$ : $E_{p}$ の極大イデアル
$I_{f} := ⟨ f_{1}, \dots, f_{p} ⟩ = m_{p} \circ (f_{1}, \dots, f_{p})$
$h$ :微分同相に対して $m_{p} \circ h = m_{p}$ ("原点を通る関数"を"原点を通る関数に移す"ので)であることに注意.

$f = ϕ \circ g \circ φ$ とする.
(ただし $φ : (K^{n}, 0) \to (K^{n}, 0)$ , $ϕ : (K^{p}, 0) \to (K^{p}, 0)$ :微分同相)
定理1より $I_{g} = I_{f} \circ h$ を示せば良い.
$\begin{aligned} I_{f} = m_{p} \circ f & = m_{p} \circ (ϕ \circ g \circ φ) \\ = m_{p} \circ (g \circ φ) = I_{g} \circ φ \end{aligned}$
よって $f \sim_{K} g$

このことから $K$ -同値は上記の中で最も弱い同値ということになります.

接空間とMilnor数とTjurina数

詳しい議論は次回に回しますが, $f$ と $K$ -同値になるようなもの全体を多様体とみて(実はLie群になる) $f$ における接空間を求めてあげます.

$D_{n}$ : $(K^{n}, 0)$ 上の微分同相写像全体, $M_{n, p} := G L (p, E_{n})$ とする.
$K := D_{n} ⋊ M_{n, p}$ ：半直積群について,
$K \times E_{n, p} \to E_{n, p}; (h, A) \times f \mapsto A \cdot (f \circ h^{- 1})$ という群作用を考える.このとき, $f \sim_{K} g$ は $f, g$ が同じ $K$ 作用の軌道に入る

実は $K$ -同値の定義域側の座標変換は $h^{- 1}$ と書く慣習があります.上の定義3で $h$ のままで書いたのは後々面倒だからという理由があります.実際 $h$ は可逆なので定義3の上では問題はありません.しかし,半直積という言い方をするなら $h^{- 1}$ で書くべきなので(急遽慌てて)直しました.紛らわしくてすみません.

それでは,接空間を求めていきましょう！
$f_{t} = A_{t} \cdot (f \circ h_{t})$ とおき,写像族 $f_{t}$ を $E_{n, p}$ 内の弧と見るときの接空間を考えたいです

設定

$A_{0}$ は単位行列, $h_{0}$ は恒等写像.すなわち $f_{0} = 0$ とする
この変換は原点を動かさないとするので, $h_{t} (0) = 0$ つまり, $x$ についての定数項はない
$f_{t}$ を $t = 0$ で微分したものが(写像族の弧の)接ベクトルになる
接ベクトルの集まりが接空間

$f_{t}$ の $t$ による微分は
$\frac{d}{d t} f_{t} (x) = A_{t}^{'} (x) \cdot (f \circ h_{t} (x)) + A_{t} (x) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (h_{t} (x)) \frac{d (x_{i} \circ h_{t})}{d t} (x))$
$t = 0$ を考えれば, $\frac{d}{d t} f_{t} (x) |_{t = 0} = A_{0}^{'} (x) \cdot (f \circ h_{0} (x)) + A_{0} (x) \cdot (\sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (h_{0} (x)) \cdot \frac{d (x_{i} \circ h_{t})}{d t} (x) |_{t = 0})$
左辺は $f$ における接ベクトルです.
右辺は $A \cdot f + ξ_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} + \dots + ξ_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}$ となります！
ただし $A = A_{0}^{'} (x) \in M_{n, p}$ で, $ξ_{i} = \frac{d (x_{i} \circ h_{t})}{d t} (x) |_{t = 0} \in m$ ( $x$ についての定数項はないので)とします.
$A$ と $ξ$ は任意係数です.接ベクトルの各成分は $f$ の成分を生成元とするイデアルと極大イデアル $\times$ ヤコビイデアルの元の和で表されるわけです.つまり接空間は $⟨ f_{1}, \dots, f_{p} ⟩_{E_{n, p}} + m J f$ になりますね！これを $T K f$ と表します.

上の方法と同様にして, $R$ -同値の接空間 $T R f$ が $m J f$ と分かります.確認してみましょう.

ここまではかなり雑にやってしまったと反省があります.別の回にしっかりやろうと思います(覚えてれば)

Milnor数(ミルナー数)とTjurina数(チュリナ数)について

$f \in E_{n}$ が原点 $O$ で孤立特異点を持つならば, $\dim E_{n} / J f$ が有限

ざっくり証明(間違ってたら言ってください)

$f$ が原点 $O$ で孤立特異点を持つ
$\Leftrightarrow \exists U \subset K^{n}$ : $0$ の近傍 s.t. $V (J f) \cap U = 0$
Hilbertの零点定理より, $J f \supset m^{\exists k}$ が成立.( $\supset$ は $U$ の外側での特異点に由来する)
$\dim E_{n} / J f < \dim E_{n} / m^{k} = # {1, x_{1}, \dots, x_{n}, \dots, x_{1}^{k}, \dots, x_{n}^{k}} < \infty$

$f$ が原点 $O$ で孤立特異点を持つとする.
Milnor代数 $M (f) = E_{n} / J f$
Tjurina代数 $T (f) = E_{n} / (J f + ⟨ f ⟩)$
また
Milnor数 $μ (f) = \dim_{K} M (f)$
Tjurina数 $τ (f) = \dim_{K} T (f)$
と定める.

ここでは定義と軽く性質を紹介するだけにしますが,これら2つが不変量として重要な働きをします！

$f \sim_{R} g \Rightarrow M (f) ≅ M (g)$ 即ち $μ (f) = μ (g)$
$f \sim_{K} g \Rightarrow T (f) ≅ T (g)$ 即ち $τ (f) = τ (g)$

また次のことが成り立ちます.

上の設定のもとで,

$K = C$ ならば, $f \sim_{K} g \Leftrightarrow T (f) ≅ T (g)$
$f \sim_{K} g \Rightarrow μ (f) = μ (g)$

思い出してください $K$ -同値は $R$ -同値より弱かったはずです.なのに！なのに！ $K$ -同値だけでもMilnor数が一致するんです！

最後にガチ強定理をやります
$↓$ その前の準備

$f \in E_{n}$ が $d$ 次の同次多項式(homogeneous polynomial) $\overset{def}{⟺} f$ に含まれる単項式が全て $d$ 次である.
$f \in E_{n}$ が重み $\underset{―}{w} = (w_{1}, \dots, w_{n}) \in Z_{>}^{n}$ ,次数 $d$ の重み付き同次多項式(weighted homogeneous polynomial) $\overset{def}{⟺} f$ に含まれる単項式 $x_{1}^{a_{1}} \dots x_{n}^{a_{n}}$ について, $w_{1} a_{1} + \dots + w_{n} a_{n} = d$ .

(分かりやすさと扱いやすさのために重みは正整数値にしました)
同次多項式はまぁわかると思います. $x^{2} + y z + w^{2}$ とか.
問題は重み付き同次多項式です.これに関しては具体例を見た方がいいかもしれません！

$x^{2} + y z + w^{2} \in E_{4}$ は重み $\underset{―}{w} = (1, 1, 1, 1)$ で次数 $2$ の重み付き同次多項式ですね
$x^{3} + y^{2} + x z \in E_{3}$ は重み $\underset{―}{w} = (2, 3, 4)$ で次数6の重み付き同次多項式です.実際, $x^{3}$ は $3 \times 2 = 6$ で, $y^{2}$ は $2 \times 3 = 6$ で, $x z$ は $2 + 4 = 6$ となり,全て重みをつけると同次式になりますね！

齋藤恭司

原点 $O$ で孤立特異点を持つ $f \in m \subset O_{n}$ (複素)について以下は同値

$\exists f_{0}$ :重み付き同次多項式 s.t. $f \sim_{R} f_{0}$
$\exists f_{0}$ :重み付き同次多項式 s.t. $f \sim_{K} f_{0}$
$T R f = T K f$
$f \in J f$
$f \in m J f$
$μ (f) = τ (f)$

これ使い方の例としてはMilnor数とTjurina数を調べて(計算自体は数式計算ソフトSingularで簡単にできる)同じだったら,重み付き同次多項式と同値になるとかです！
(それも $R$ , $K$ 問わずに！！)
冪級数は項が無限個並んで,しかも斉次とは限らない訳ですが,Milnor数とTjurina数を調べるだけで,簡単にできるかを考えることができる訳です！！割とすごくないですか！！
恐ろしく素晴らしい定理だ...俺じゃなきゃ見逃しちゃうね

さらに少し別話題にはなりますが,semi weighted homogeneousというものがあります. $g$ を重み付き同次多項式として,
$f = g$ +(高次の項)
というものをsemi wighted homogeneousと言います(日本語だと何て呼ぶのか知りません...重み付き半同次式とか...？)
素朴な疑問として, $f \sim_{K} g$ になるかどうかの疑問も出てきます.ただ必ずしもそうとは限らないことも分かります.
実は $μ (f) = μ (g)$ は正しいのですが,定理5を用いれば, $τ (g) = μ (g)$ が分かるので,以下のことが分かります.
$f \sim_{K} g \Leftrightarrow τ (f) = μ (f)$
よって常に $f \sim_{K} g$ とは限りません

まとめ

$R$ -同値, $A$ -同値, $K$ -同値をやりましたね
$R > A > K$ の順に強い同値ですね
特に $K$ -同値はイデアルに密接に関係しています
それぞれの同値の軌道の接空間を調べました
Milnor数とTjurina数について触れました
齋藤の定理の凄さに圧倒されましたね

今回はちょっと山盛りになってしまいました...ごめんなさい...

思った以上に連載きつい気がしてきました...ちょっと休...

次回「キュウサイ $\times$ ホダイ」

次を読む

参考文献

[1]

Alexandru Dimca, Topics on Real and Complex Singularities, Advanced Lectures in Mathematics, Springer Nature, 1981

投稿日：2024年12月10日

更新日：3月3日

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アンドロイドはK-同値の夢を見るか

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