この記事は 仮の人 さん主催の Advent Math Calendar2023 (AMC2023)のDay7にあたる記事になります。競技数学をたしなむ人（競技数学er）が好き勝手数学等を語ろう!! という趣旨のアドベントカレンダーになってます。毎日面白い記事が上がってますので気になるものから全部読んでください。僕もDay3に 近畿大学数学コンテストの参戦記 を書いてますので、気になる人やコイツ誰だ？と思う人は読んでくださるとうれしいです。
今回は解析（微分積分）の内容になります。一部大学数学の内容もありますが、なるべく全体通して高校数学で読めるようにしてあります。
なお以下のパラメータ$a$が自然数$n$のときは 黒木玄先生のこちらのPDF でいろいろな手法で説明されてますので紹介させていただきます。
今回は具体的な「上がって下がる」「大きな」関数の大まかな形を捉えるという内容である。正の実数$a$に対して、定義域値域共に非負実数である関数$f_a(x):\mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R_{\geq 0}}$は以下の条件を満たすとする。
このとき、グラフ$y=f_a(x)$のおおまかな形を捉えるために平行移動および拡大縮小を施す。$y$軸方向については$y'=\displaystyle\frac{1}{f_a(x_a)}\,y$とする、つまり最大値$f_a(x_a)$だけ縮小すれば$y'$の最大値は$1$となる。$x$軸方向については、$-x_a$だけ平行移動して原点で最大値をとるようにするのはいいとして、$x$軸方向の縮小率$l_a$をどうすれば非自明な面白い形が出てくるかは気になる。つまり
$$ g(t):=\lim_{a \to \infty}\frac{1}{f_a(x_a)}f_a \left( x_a+l_at\right) \quad (t \in (\infty,\infty))$$
で定める$g(t)$について、縮小が足りなくて$g(t)=1\; (\forall t \in (\infty,\infty))$となったり逆に縮小しすぎて$g(t)=0\,(t\neq0)$とならないような、ちょうどいい縮小率$l_a$と概形$g(t)$を調べる。こういう操作を数学ではスケーリング（scaling）という。今回は$f_a(x):=x^ae^{-x}$という具体的な関数列についてスケーリングを施すことで$a$が十分大きいときのグラフ$y=f_a(x)$の大まかな形を探る。また、その結果を用いた応用例についても触れる。
$f_a(x):=x^ae^{-x}$とする。$f_a(x)$は$x=a$で最大値$(a/e)^a$をとる。$x=0$で最小値を取り$x=a$で最大値を取るため$x$軸方向の縮小率は$l_a=a$で良さそうな気がするが、$t\neq0$で$1+t< e^{t}$である（この不等式は微分を用いて示せる）ため
$$ \frac{f_a(a+at)}{f_a(a)}=\frac{(a+at)^ae^{-a-at}}{a^ae^{-a}}=\left(e^{-t}(1+t)\right)^a \to 0 \quad(a \to \infty)$$
となり、これは縮小しすぎてグラフが潰れてしまっている。
$$\log \frac{f_a(a+l_at)}{f_a(a)}=\log \frac{(a+l_at)^ae^{-a-l_at}}{a^ae^{-a}}=-l_at+a\log\left(1+\frac{l_at}{a}\right)$$
ここで$\varepsilon$が十分に小さいならば$\log(1+\varepsilon)\fallingdotseq \varepsilon-\dfrac{1}{2}\varepsilon^2$であることから
$$-l_at+a\log\left(1+\frac{l_at}{a}\right)\fallingdotseq -l_at+a \left(\frac{l_at}{a}-\frac{1}{2}\left(\frac{l_at}{a}\right)^2\right)=-\frac{l_a^2t^2}{2a}$$
であるため$l_a=\sqrt{a}$のときに$g(t)=\exp\left(-\dfrac{1}{2}t^2\right)$に収束することが予想でき、実際に成立する。
$f_a(x)=x^a e^{-x}$とする。このとき、任意の実数$t$について
$$ \lim_{a \to \infty}\frac{1}{f_a(a)}f_a \left( a+t\sqrt{a}\, \right)=\exp\left(-\dfrac{1}{2}t^2\right)$$
定理1の証明はある定数$C>0$について
$$|\varepsilon|<\frac{1}{2} \Rightarrow \left| \log(1+\varepsilon)-\left( \varepsilon-\frac{1}{2}\varepsilon^2 \right)\right|< C\varepsilon^3 $$
が成立することが(Taylor展開の剰余項を評価したり単純に微分することで)示せるので、それを用いて$\log(1+\varepsilon)\fallingdotseq \varepsilon-\dfrac{1}{2}\varepsilon^2$の箇所を正当化すれば良い。
定理1から$a$が十分大きいときの$f_a(x)=x^ae^{-x}$のだいたいの形は$\exp\left(-\dfrac{1}{2}t^2\right)$であると思える（かもしれない）。$\exp\left(-\dfrac{1}{2}t^2\right)$は正規分布の確率密度関数（の定数倍）に一致する。このことについて、パラメータ$a$が自然数$n$のときの確率論的な解釈について触れる。指数分布（確率密度関数は$f_0(x)1_{\{x>0\}}=e^{-x}1_{\{x>0\}}$）に従う独立同分布な確率変数の列$(X_n)$について中心極限定理から
$$\frac{\sum_{k=1}^{n}X_k-n}{\sqrt{n}}$$
が$n \to \infty$として正規分布$N(0,1)$（確率密度関数は$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\left(-\frac{1}{2}x^2\right)$）に分布収束することに対応する。指数分布の一般化であるガンマ分布の再生性という性質から$\sum_{k=1}^{n}X_k$の分布が$f_{n-1}(x)1_{\{x>0\}}=x^{n-1}e^{-x}$に一致することが分かる。この事実が定理1と対応する。
定理1を用いるとStirlingの公式($ n!$の評価式)の証明を与えることが出来る。
以下で優収束定理という補題を用意しておく。おおざっぱに言えば一定の条件下では極限と積分が交換できるという補題である。極限と積分が交換できるというのは、直感的に言えば当たり前に成り立ってほしいことであるので、そんな細かいところは気にならないよという人は飛ばしてもらって系を読んでもらいたい。
非負値の(連続関数など積分可能な)関数$h(x)$について以下のように定める（広義Riemann積分、今回はLebesgue積分に一致する）。
$$\int_{-\infty}^{\infty}h(x)dx:=\lim_{t \to \infty} \int_{-t}^{t}h(x)dx$$
（わかる人に言うと積分可能関数とはLebesgue可積分関数のことである。可積分の概念や以下の優収束定理など気になる人は例えば「ルベーグ積分入門（伊藤清三）」を参照してほしい。）
非負値の(連続関数など積分可能な)関数$h_a(x):\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$の列$\{h_n\}$は、任意の実数$x$について$\displaystyle\lim_{a \to \infty}h_a(x)=h(x)$を満たす。また、$h_a(x)\leq H(x)\,(x\in \mathbb{R})$かつ$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}H(x)dx<\infty$を満たす$a$に依存しない関数$H(x)$が存在するとする（$H(x)$を優関数という）。
このとき、以下が成立する。
$$ \lim_{a \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}h_a(x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}h(x)dx$$
証明にはLebesgue積分論が要る（と認識している）ので割愛する。優関数の存在の仮定は（必要十分条件とはいかないものの）そこそこ本質的な仮定で、例えば
$$h_a(x)=a1_{(0,1/a)}(x)$$
や
$$h_a(x)=1_{(a,a+1)}(x)$$
は共に$h(x)=0$となるが$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}h_a(x)dx=1$であるため補題2は成立しない。
以下はStirlingの公式と呼ばれる主張である。
$\Gamma(a):=\displaystyle\int_{0}^{\infty}x^ae^{-x}dx$とする。このとき
$$\lim_{a \to \infty} \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{a}a^{a}e^{-a}}=\sqrt{2\pi}$$
$g_a(t)=\displaystyle\frac{1}{f_a(a)}f_n \left( a+t\sqrt{a}\, \right)1_{\{t\geq-\sqrt{a}\}}$とおく。
もし$g_a(t)$に優関数が存在するならば、定理1と補題2を適用して
$$ \lim_{a \to \infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{f_a(a)}f_a \left( a+t\sqrt{a}\, \right)1_{\{t\geq-\sqrt{a}\}}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt $$
$x=a+t\sqrt{a}$と置換して
$$ \int_{-\infty}^{\infty}f_a \left( a+t\sqrt{a}\, \right)1_{\{t\geq-\sqrt{a}\}}dt=\frac{1}{\sqrt{a}}\int_{0}^{\infty}f_a(x)dx=\frac{1}{\sqrt{a}}\Gamma(a)$$
Gauss積分
より
$$\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)dt = \sqrt{2\pi}$$
上の3つの式を組み合わせると$\displaystyle\lim_{a \to \infty} \frac{\Gamma(a)}{\sqrt{a}a^{a}e^{-a}}=\sqrt{2\pi}$を得る。
あとは$g_a(t)$の優関数の存在性を示す。ある定数$C>0$について
$$\log(1+x) \leq \max \left\{ x-Cx^2, \frac{1}{e-1}x \right\} \quad (x \geq0)$$
$$ \log(1+x) \leq x-\frac{1}{2}x^2 \quad(x<0)$$
が成立することに注意する（$\log (1+x)) > \dfrac{1}{e-1}x \Rightarrow x \in (0,e-1) $ であるため、$\log(1+x)\leq x-Cx^2 \;(x \in (0,e-1))$を満たす$ C$を取ればよい）。
この不等式から$t\geq 0$については
\begin{align}
g_a(t)&=\displaystyle\frac{1}{f_a(a)}f_a \left( a+t\sqrt{a}\, \right)1_{\{t\geq-\sqrt{a}\}} \\
&=\exp(-t\sqrt{a})\left( 1+ \frac{t}{\sqrt{a}}\right)^a 1_{\{t\geq-\sqrt{a}\}}\\
&\leq \exp(-t\sqrt{a}) \left( \max \left\{ \exp\left(\frac{t}{\sqrt{a}}-C\frac{t^2}{a}\right) , \exp\left( \frac{t}{(e-1)\sqrt{a}}\right) \right\} \right)^a \\
&\leq \max \left\{ \exp\left(-Ct^2\right) , \exp\left( -\frac{e-2}{e-1}t\sqrt{a}\right) \right\} \\
&\leq \max \left\{ \exp\left(-Ct^2\right) , \exp\left( -\frac{e-2}{e-1}t\right) \right\}
\end{align}
$t<0$については同様にして
$$g_a(t)\leq \exp\left(-\frac{1}{2}t^2\right)$$
が言える。$\exp\left(-Ct^2\right), \exp\left( -\dfrac{e-2}{e-1}t\right)1_{\{t\geq 0\}}$は共に$(-\infty,\infty)$で積分有限なので優関数の存在が示された。
$\Gamma(n)$について、部分積分を繰り返して
\begin{align}
\int_{0}^{\infty}x^ne^{-x}dx&=\left[ -x^ne^{-x}\right]_{0}^{\infty}+n\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx \\
&= n\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx \\
&=n!\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx \\
&=n!
\end{align}
つまり系の結果から以下を得る。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{n}n^{n}e^{-n}}=\sqrt{2\pi}$$
読んでいただきありがとうございました。実はもうひとつの具体的な関数列についてスケーリングも盛り込みたかったのですが、分量の関係上断念しました。ですので、また続きの記事を書きたいと思っています。お見せしたい不思議な現象もありますので、続きが出来ましたら読んでくださると嬉しいです。
あー！記事$2$つ書くの大変だった！でもMathlogもnoteも触れることが出来ていい経験になりました。ありがとうございました。再度の告知になりますが、 Advent Math Calendar2023 とその1記事である 近畿大学数学コンテストの参戦記 もよろしくお願いします。