Baileyの3ψ3和公式から得られるLambert級数の恒等式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}
Baileyの${}_3\psi_3$和公式
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c,q^{-N};q)_n}{(q/b,q/c,q^{N+1};q)_n}\left(\frac{q^{N+1}}{bc}\right)^n&=\frac{(q,q/bc;q)_N}{(q/b,q/c;q)_N}
\end{align}
において$N\to\infty$として,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(q/b,q/c;q)_n}q^{\frac 12n(n-1)}\left(-\frac q{bc}\right)^n=\frac{(q,q/bc;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. ここで, $b=x, c=1/x$とすると,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-x)(1-x^{-1})}{(1-xq^n)(1-x^{-1}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(q/x,xq;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-x^{-1}}{(1-xq^n)(1-x^{-1}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{1+q^n}\left(\frac{1}{1-xq^n}+\frac {q^{-n}}{1-xq^{-n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{1}{1+q^n}\frac{1}{1-xq^n}+\frac{1}{1+q^n}\frac {q^{-n}}{1-xq^{-n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{1}{1+q^n}\frac{1}{1-xq^n}+\frac{q^n}{1+q^n}\frac {1}{1-xq^{n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\
&=\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n}
\end{align}
となる. ここで, 3行目から4行目への変形において, 2つ目の項を$n\mapsto -n$としている. これを代入して定理を得る.
この公式は三角関数の部分分数分解
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n}{n+x}&=\frac{\pi}{\sin\pi x}=\Gamma(x)\Gamma(1-x)
\end{align}
の$q$類似になっている.
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