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現代数学解説
文献あり

Baileyの3ψ3和公式から得られるLambert級数の恒等式

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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{inv}[0]{\mathrm{inv}} \newcommand{maj}[0]{\mathrm{maj}} \newcommand{ol}[0]{\overline} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n}&=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(x,q/x;q)_{\infty}} \end{align}

Baileyの${}_3\psi_3$和公式
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c,q^{-N};q)_n}{(q/b,q/c,q^{N+1};q)_n}\left(\frac{q^{N+1}}{bc}\right)^n&=\frac{(q,q/bc;q)_N}{(q/b,q/c;q)_N} \end{align}
において$N\to\infty$として,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(b,c;q)_n}{(q/b,q/c;q)_n}q^{\frac 12n(n-1)}\left(-\frac q{bc}\right)^n=\frac{(q,q/bc;q)_{\infty}}{(q/b,q/c;q)_{\infty}} \end{align}
を得る. ここで, $b=x, c=1/x$とすると,
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(1-x)(1-x^{-1})}{(1-xq^n)(1-x^{-1}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}=\frac{(q;q)_{\infty}^2}{(q/x,xq;q)_{\infty}} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{n\in\ZZ}\frac{1-x^{-1}}{(1-xq^n)(1-x^{-1}q^n)}(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}\frac{1}{1+q^n}\left(\frac{1}{1-xq^n}+\frac {q^{-n}}{1-xq^{-n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{1}{1+q^n}\frac{1}{1-xq^n}+\frac{1}{1+q^n}\frac {q^{-n}}{1-xq^{-n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}\left(\frac{1}{1+q^n}\frac{1}{1-xq^n}+\frac{q^n}{1+q^n}\frac {1}{1-xq^{n}}\right)(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}\\ &=\sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{1-xq^n} \end{align}
となる. ここで, 3行目から4行目への変形において, 2つ目の項を$n\mapsto -n$としている. これを代入して定理を得る.

この公式は三角関数の部分分数分解
\begin{align} \sum_{n\in\ZZ}\frac{(-1)^n}{n+x}&=\frac{\pi}{\sin\pi x}=\Gamma(x)\Gamma(1-x) \end{align}
$q$類似になっている.

参考文献

[1]
G. E. Andrews, B. C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook, Part I, Springer, 2005
投稿日:20日前
更新日:20日前
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Wataru
Wataru
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53604
超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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