次はBaileyによって1949年に示された公式である.
\begin{align} \BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q}{bcd}}&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}}\\ \BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}}&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a\to 1$とすると,
\begin{align}
1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\
&=1+\sum_{0< n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\
&=\BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q^2}{bcd}}
\end{align}
であるから, 1つ目の式を得る. 次に, Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=q$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\
&=\BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}}
\end{align}
と書けるので, 2つ目の式を得る.
より一般に, 全く同様に Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 から以下を得る.
非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}q&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_n}\\
\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+2}}q&=\frac{(q;q)_{n+1}(q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.