Baileyの3ψ3和公式
次はBaileyによって1949年に示された公式である.
\begin{align} \BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q}{bcd}}&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}}\\ \BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}}&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a\to 1$とすると,
\begin{align}
1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\
&=1+\sum_{0< n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\
&=\BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q}{bcd}}
\end{align}
であるから, 1つ目の式を得る. 次に, Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
において, $a=q$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}}
\end{align}
ここで,
\begin{align}
&\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\
&=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\
&=\BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}}
\end{align}
と書けるので, 2つ目の式を得る.
${}_5\psi_5$和公式
より一般に, 全く同様に Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 から以下を得る.
$bcde=q^{n+1}$のとき, 非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}q&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_n}\\
\end{align}
$bcde=q^{n+3}$のとき, 非負整数$n$に対して,
\begin{align}
\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+2}}q&=\frac{(q;q)_{n+1}(q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_n}
\end{align}
が成り立つ.
足し合わせる順番を逆順にすると,
\begin{align}
\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}q&=\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}{q^2}
\end{align}
と書き換えることもできる.
ここで,
\begin{align}
&\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}q\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,d,e,q^{-n};q)_{k-n}}{(q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1};q)_{k-n}}q^{k-n}\\
&=\frac{(b,c,d,e,q^{-n};q)_{-n}}{(q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1};q)_{-n}}q^{-n}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^{-n},cq^{-n},dq^{-n},eq^{-n},q^{-2n};q)_k}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q;q)_{k}}q^{k}
\end{align}
ここで, $b,c,d,e$を$bq^n,cq^n,dq^n,eq^n$に置き換えると, 条件は$bcde=q^{1-3n}$となり,
\begin{align}
&\frac{(bq^n,cq^n,dq^n,eq^n,q^{-n};q)_{-n}}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q^{n+1};q)_{-n}}q^{-n}\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,d,e,q^{-2n};q)_k}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,q^{1-2n}/e,q;q)_{k}}q^{k}\\
&=\frac{(q,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-3n}/bcd;q)_n}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
&\Q54{b,c,d,e,q^{-2n}}{q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,q^{1-2n}/e}q\\
&=\frac{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q^{n+1};q)_{-n}}{(bq^n,cq^n,dq^n,eq^n,q^{-n};q)_{-n}}q^{n}\frac{(q,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-3n}/bcd;q)_n}\\
&=\frac{(q^{1-n}/e;q)_{-n}}{(q^{-n};q)_{-n}}q^{n}\frac{(b,c,d,e,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d;q)_{2n}(e;q)_n}\\
&=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,e;q)_{2n}}e^{n}
\end{align}
となる. 同様に
\begin{align}
&\BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+2}}q\\
&=\sum_{0\leq k}\frac{(b,c,d,e,q^{-n};q)_{k-n-1}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+1};q)_{k-n-1}}q^{k-n-1}\\
&=\frac{(b,c,d,e,q^{-n};q)_{-n-1}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+2};q)_{-n-1}}q^{-n-1}\sum_{0\leq k}\frac{(bq^{-n-1},cq^{-n-1},dq^{-n-1},eq^{-n-1},q^{-2n-1};q)_{k}}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q;q)_{k}}q^{k}\\
\end{align}
より, $b,c,d,e$を$bq^{n+1},cq^{n+1},dq^{n+1},eq^{n+1}$に置き換えると, $bcde=q^{-1-3n}$のとき,
\begin{align}
&\Q54{b,c,d,e,q^{-2n-1}}{q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,q^{-2n}/e}q\\
&=\frac{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{1-n}/e,q^{n+2};q)_{-n-1}}{(bq^{n+1},cq^{n+1},dq^{n+1},eq^{n+1},q^{-n};q)_{-n-1}}q^{n+1}\frac{(q;q)_{n+1}(q^{-2n}/bc,q^{-2n}/bd,q^{-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-n}/b,q^{1-n}/c,q^{1-n}/d,q^{-1-3n}/bcd;q)_n}\\
&=\frac{(q^{1-n}/e;q)_{-n-1}}{(q^{-n};q)_{-n-1}}q^{n+1}\frac{(b,c,d,e;q)_{n+1}(q^{-2n}/bc,q^{-2n}/bd,q^{-2n}/cd;q)_n}{(q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d;q)_{2n+1}(e;q)_n}\\
&=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e;q)_{n+1}(q^{-2n}/bc,q^{-2n}/bd,q^{-2n}/cd;q)_n}{(q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,e;q)_{2n+1}}e^{n+1}
\end{align}
となる. まとめると以下を得る.
$bcde=q^{1-3n}$のとき,
\begin{align}
&\Q54{b,c,d,e,q^{-2n}}{q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,q^{1-2n}/e}q\\
&=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e,q^{1-2n}/bc,q^{1-2n}/bd,q^{1-2n}/cd;q)_n}{(q^{1-2n}/b,q^{1-2n}/c,q^{1-2n}/d,e;q)_{2n}}e^{n}
\end{align}
が成り立つ. また$bcde=q^{-1-3n}$のとき,
\begin{align}
&\Q54{b,c,d,e,q^{-2n-1}}{q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,q^{-2n}/e}q\\
&=\frac{(q^{n+1},b,c,d,e;q)_{n+1}(q^{-2n}/bc,q^{-2n}/bd,q^{-2n}/cd;q)_n}{(q^{-2n}/b,q^{-2n}/c,q^{-2n}/d,e;q)_{2n+1}}e^{n+1}
\end{align}
が成り立つ.
