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現代数学解説
文献あり

Baileyの3ψ3和公式

33
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$$\newcommand{bk}[0]{\boldsymbol{k}} \newcommand{bl}[0]{\boldsymbol{l}} \newcommand{BQ}[5]{{}_{#1}\psi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{calA}[0]{\mathcal{A}} \newcommand{calS}[0]{\mathcal{S}} \newcommand{CC}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{F}[5]{{}_{#1}F_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{Q}[5]{{}_{#1}\phi_{#2}\left[\begin{matrix}#3\\#4\end{matrix};#5\right]} \newcommand{QQ}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{ZZ}[0]{\mathbb{Z}} $$

次はBaileyによって1949年に示された公式である.

Baileyの${}_3\psi_3$和公式

\begin{align} \BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q}{bcd}}&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}}\\ \BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}}&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}} \end{align}

Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(q,aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
において, $a\to 1$とすると,
\begin{align} 1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_{\infty}}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
ここで,
\begin{align} &1+\sum_{0< n}\frac{(1+q^n)(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\ &=1+\sum_{0< n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(q/b,q/c,q/d;q)_n}\left(\frac{q}{bcd}\right)^n\\ &=\BQ33{b,c,d}{q/b,q/c,q/d}{\frac{q^2}{bcd}} \end{align}
であるから, 1つ目の式を得る. 次に, Rogersの${}_6\phi_5$和公式
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{1-aq^{2n}}{1-a}\frac{(a,b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{aq}{bcd}\right)^n&=\frac{(aq,aq/bc,aq/bd,aq/cd;q)_{\infty}}{(aq/b,aq/c,aq/d,aq/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
において, $a=q$として,
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n&=\frac{(q,q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_{\infty}}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_{\infty}} \end{align}
ここで,
\begin{align} &\sum_{0\leq n}\frac{(1-q^{2n+1})(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\ &=\sum_{0\leq n}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n+\sum_{n<0}\frac{(b,c,d;q)_n}{(aq/b,aq/c,aq/d;q)_n}\left(\frac{q^2}{bcd}\right)^n\\ &=\BQ33{b,c,d}{q^2/b,q^2/c,q^2/d}{\frac{q^2}{bcd}} \end{align}
と書けるので, 2つ目の式を得る.

より一般に, 全く同様に Jacksonの${}_8\phi_7$和公式 から以下を得る.

Bailey(1949)

非負整数$n$に対して,
\begin{align} \BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q/b,q/c,q/d,q/e,q^{n+1}}q&=\frac{(q,q/bc,q/bd,q/cd;q)_n}{(q/b,q/c,q/d,q/bcd;q)_n}\\ \BQ55{b,c,d,e,q^{-n}}{q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/e,q^{n+2}}q&=\frac{(q;q)_{n+1}(q^2/bc,q^2/bd,q^2/cd;q)_n}{(q^2/b,q^2/c,q^2/d,q^2/bcd;q)_n} \end{align}
が成り立つ.

参考文献

[1]
W. N. Bailey, On the analogue of Dixon's theorem for bilateral basic hypergeometric series., Quart. J. Math. Oxford Ser. (2), 1951, 318-320
投稿日:8日前
更新日:8日前
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Wataru
Wataru
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超幾何関数, 直交関数, 多重ゼータ値などに興味があります

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