【指摘】今日の数学1(記事番号791)に対する指摘

&&&thm 訂正版：二重否定律
$P$を命題とし，$≡$を論理学的同値とする．このとき$\neg(\neg\P)\equiv\P$が成立する．

&&&def 訂正版：和集合
$A$，$B$を集合とする．このとき
$$A\cup B\colon=\set{x}{\x\in\A\or\x\in\B}$$
と定義し，これを$A$と$B$との和集合という．すなわち形式的には
$$\a\in\A\cup\B\colon\Longleftrightarrow (\a\in\A)\vee(\a\in\B)$$
と定義する．

&&&def 訂正版：共通部分
$A$，$B$を集合とする．このとき
$$\A\cap B\colon=\set{x}{\x\in\A\and\x\in\B}$$
と定義し，これを$A$と$B$との共通部分という．すなわち形式的には
$$\a\in\A\cap\B\colon\Longleftrightarrow (\a\in\A)\and(\a\in\B)$$
と定める．

&&&def 訂正版：補集合
$M$を集合とし，$A$を$M$の部分集合とする．このとき
$$\compop{A}\coloneqq\set{x\in\M}{\x\in\M\and\x\notin\A}$$
と定義し，$\compop{A}$を$M$に於ける$A$の補集合という．すなわち形式的には
$$\a\in\compop{A}\colonLonglrarrow\neg(\a\in\A)\and\a\in\M$$
と定める．

&&&def 訂正版：差集合
$M$を集合とし，$A$および$B$を$M$の部分集合とする．このとき
$$\A-B\coloneqq\A\cap\compop{B}$$
と定義し，これを$A$と$B$との差集合という．特に
$$\compop{A}=M-A$$
が成立する．

$(証明)$
$$ ∀x(x∈(A^c)^c←→x∈A) $$
$を示したい．$
$(\rightarrow)　∀x(x∈(A^c)^c→x∈A)$
$そのためにA^cから元を適当に選び，これをa∈A^cとする．a∈(A^c)^cは$
$補集合の定義より(a\notin A)^cと書ける．これも補集合の定義から￢(a\notin A)$
$である．再び，補集合の定義から￢(￢(a∈A))である．ここで，定理$
$1(p.4)の二重否定律よりa∈Aを得る．それゆえ$
$$ a∈(A^c)^c→a∈A $$
$が成立する．そして，a∈A^cはA^cから適当に選んだので全称量化子に$
$係るxはaに制限される．すなわちx=aである．ゆえに$
$$ ∀x(x∈(A^c)^c→x∈A) $$
$が成り立つ．$
$(←)　x∈A→x∈(A^c)^c$
$逆も補集合の定義と二重否定律を用いれば，先と全く同様に示される$
$ので，定理が示された．□$
$補足$
$a∈A^cを適当に選ぶとは$
$A^c⊂A^cより写像$
$$ ∃f:A^c→A^c;x↦f(x)　(∀x∈A^c)\\ f(x):=x $$
$を定義し，その像集合f(A^c)⊂A^cに対して像f_i(x)∈f(A^c)を$
$$ f(A^c)=\{f_i(x)|∃x∈A^c,i=1,2,...\} $$
$適当(合理的・都合的)に選ぶことをいう．ゆえに，A^cの量は像の量に依存$
$するのでx=aが成り立ち，全称命題$
$$ ∀x(x∈(A^c)^c→x∈A) $$
が成立する．

&&&thm 訂正版：ド・モルガンの法則
$M$を集合とし，$A$を$M$の部分集合とする．このとき$\compop{\compop{A}}=A$が成立する．