行列の区分けの積は覚えるつもりがない

236

行列の区分け

$A = (a_{i j})$ を $(l, m)$ 型行列とし， $A$ を $p - 1$ 本の横線と $q - 1$ 本の縦線によって $p q$ 個のブロックに分ける。（ $1 \leq p \leq l$ ， $1 \leq q \leq m$ ）このとき，上から $s$ 番目，左から $t$ 番目のブロック（の行列）を $A_{s t}$ とするとき，

$\begin{equation} A= \begin{bmatrix} A_{11}&A_{12}&\cdots&A_{1q}\\ A_{21}&A_{22}&\cdots&A_{2q}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ A_{p1}&A_{p2}&\cdots&A_{pq} \end{bmatrix}\qquad {\tag{#}}\label{kuwake} \end{equation}$

と書く。これを行列の区分けまたはブロック分けという。

区分けの積

$A$ の区分けを( $\ref{kuwake}$ )式のようにし， $A_{s t}$ は $(l_{s}, m_{t})$ 型とする。
（ $1 \leq s \leq p, 1 \leq t \leq q$ ）
もちろん $\begin{matrix} (★) & {\begin{cases} l & = l_{1} + l_{2} + \dots + l_{p} \\ m & = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{q} \end{cases} \end{matrix}$
である。さて， $(m, n)$ 型 $B = (b_{i j})$ を
$B = [\begin{matrix} B_{11} & B_{12} & \dots & B_{1 r} \\ B_{21} & B_{22} & \dots & B_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ B_{q 1} & B_{q 2} & \dots & B_{q r} \end{matrix}]$
と $q r$ 個のブロックに分け， $B_{t u}$ は $(m_{t}, n_{u})$ 型とする。
（ $1 \leq t \leq q, 1 \leq u \leq r$ ）
このときも
$\begin{matrix} (♠) & {\begin{cases} m & = m_{1} + m_{2} + \dots + m_{q} \\ n & = n_{1} + n_{2} + \dots + n_{r} \end{cases} \end{matrix}$
となる。このとき自然数 $m$ の分割の仕方が，( $★$ )と( $♠$ )とで一致しているならば，積 $C = A B$ は次のように区分けされる。 $C = [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1 r} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2 r} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ C_{p 1} & C_{p 2} & \dots & C_{p r} \end{matrix}]$
ただし， $C_{s u}$ は $(l_{s}, n_{u})$ 型で， $C_{s u} = \sum_{t = 1}^{q} A_{s t} B_{t u} (= A_{s 1} B_{1 u} + A_{s 2} B_{2 u} + \dots + A_{s q} B_{q u})$
である。