文献あり

ゲルファント－シュナイダーの定理を使ってe^πが超越数であることを示そう

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Gelfond-Schneiderの定理

代数的数と超越数

複素数 $α$ が代数的数であるとは, ある $0$ でない整数係数多項式 $f (x)$ が存在して, $α$ が $f (x)$ の根となる, 即ち $f (α) = 0$ を満たすときにいう. そのような多項式 $f (x)$ が存在しないとき, $α$ を超越数と呼ぶ.

虚数単位 $i$ は多項式 $x^{2} + 1$ の根であるから, 代数的数である. しかし, 円周率 $π$ やネイピア数 $e$ は超越数である.

$π$ と $e$ の超越性については, 例えば次.

http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi_trn.pdf

リンク先を見てもらっても分かるとおり, 超越性の証明は大変複雑である. そのような中で, 超越数を人工的に簡単に生成できてしまうのがGelfond-Schneiderの定理なのである.

Gelfond-Schneiderの定理

$a \neq 0, 1$ を代数的数, $b$ を有理数でない代数的数としたとき, $a^{b}$ は超越数である.

この定理の歴史について少し話しておく. 1920年, Alexander Gelfondは代数的数 $a \neq 0, 1$ , 正の非平方数 $b$ に対して $a^{i b}$ が超越数であることを示し, その後, 1930年にRodion Kuzmin（ロディオン・クズミン）が同じ状況下で $a^{b}$ が超越数であることを示した. 下の例に挙げたように, Kuzminの功績によりHilbert23の問題の第7問題のひとつ『 $2^{\sqrt{2}}$ は超越数か』が解決したことになる. そして1936年, Carl Siegel（カール・ジーゲル）が上の定理1を証明したのである.

$\sqrt{2}$ は有理数ではなく, 多項式 $x^{2} - 2$ の根だから代数的数である. よって, $2^{\sqrt{2}}$ は超越数である.

$e^{π}$ の超越性

さて, 本題に入ろうと思う. とはいえ, Gelfond-Schneiderの定理を用いれば非常に簡単に証明することができる.

$e^{π}$ は超越数である.

Gelfond-Schneiderの定理と例1より $i^{- 2 i}$ は超越数であり, Eulerの公式から
$\begin{array}{r} i^{- 2 i} = {(e^{\frac{i π}{2}})}^{- 2 i} = e^{\frac{i π}{2} \times (- 2 i)} = e^{π} . \end{array}$

参考：オイラー博士の素敵な数式, ポール・J・ナーイン, 小山信也訳, 日本評論社

参考文献

[1]

ポール・J・ナーイン, オイラー博士の素敵な数式, 日本評論社, 2008

投稿日：2020年11月20日

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